数学物理方程--- 3 Bessel 函3数.ppt

本章中心内容 第3章Bessel函数 求解多个自变量的方程 如果别人思考数学的真理像我一样深入持久 他也会找到我的发现 高斯 第一节 二阶线性常微分方程的幂级数解法 一 二阶线性微分方程解的结构 二阶微分方程的如下形式 y p x y q x y f x 称为二阶线性微分方程 简称二阶线性方程 f x 称为自由项 当f x 0时 称为二阶线性非齐次微分方程 简称二阶线性非齐次方程 当f x 恒为0时 称为二阶线性齐次微分方程 简称二阶线性齐次方程 方程中p x q x 和f x 都是自变量的已知连续函数 这类方程的特点是 右边是已知函数或零 左边每一项含y 或y 或y 且每项均为y 或y 或y的一次项 例如y xy y x2就是二阶线性非齐次方程 而y x y 2 y x2就不是二阶线性方程 定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解 y C1y1 C2y2 仍为该方程的解 证因为y1与y2是方程y p x y q x y 0的两个解 与 所以有 其中C1 C2是任意常数 则函数 于是有 y p x y q x y 0 所以y C1y1 C2y2是y p x y q x y 0的解 定义设函数y1 x 和y2 x 是定义在某区间I上的两个函数 k1y1 x k2y2 x 0 不失一般性 考察两个函数是否线性相关 我们往往采用另一种简单易行的方法 即看它们的比是否为常数 事实上 当y1 x 与y2 x 线性相关时 有k1y1 k2y2 0 其中k1 k2不全为0 如果存在两个不全为0的常数k1和k2 使 在区间I上恒成立 则称函数y1 x 与y2 x 在区间上是线性相关的 否则称为线性无关 即y1与y2之比为常数 反之 若y1与y2之比为常数 则y1 ly2 即y1 ly2 0 所以y1与y2线性相关 因此 如果两个函数的比是常数 则它们线性相关 例如函数y1 ex y2 e x 所以 它们是线性无关的 如果不是常数 则它们线性无关 定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y p x y q x y 0的两个线性无关的特解 y C1y1 C2y2 是该方程的通解 证因为y1与y2是方程y p x y q x y 0的解 所以 由定理1知y C1y1 C2y2也是该方程的解 又因为y1与y2线性无关 即y1与y2之比不为常数 故C1与C2不能合并为一个任意常数 因此y C1y1 C2y2是二阶线性齐次方程的通解 则 其中C1 C2为任意常数 所以它们中任一个都不能用另一个 形如y1 ky2或y2 k1y 来表示 定理3如果函数y 是线性非齐次方程的一个特解 y Y y 是线性非齐次方程的通解 证因为y 与Y分别是线性非齐次方程y p x y q x y f x 和线性齐次方程y p x y q x y 0的解 所以有 y p x y q x y f x Y p x Y q x Y 0 Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解 则 又因为y Y y y Y y 所以 y p x y q x y Y y p x Y y q x Y y Y p x Y q x Y y p x y q x y f x 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为 1 求线性齐次方程y p x y q x y 0的线性无关的两个特解y1与y2 得该方程的通解Y C1y1 C2y2 2 求线性非齐次方程y p x y q x y f x 的一个特解y 那么 线性非齐次方程的通解为y Y y 又Y是二阶线性齐次方程的通解 它含有两个任意常数 故y Y y 中含有两个任意常数 即y Y y 是线性非齐次方程y p x y q x y f x 的通解 这说明函数y Y y 是线性非齐次方程的解 y p x y q x y f1 x f2 x y p x y q x y f1 x 和 y p x y q x y f2 x 定理4设二阶线性非齐次方程为 的特解 证因为y1 与y2 分别是 与 的特解 y1 p x y1 q x y1 f1 x 与 y2 p x y2 q x y2 f2 x 于是有 f1 x f2 x 所以有 y1 p x y1 q x y1 y2 p x y2 q x y2 即y1 y2 满足方程 二 二阶常系数线性微分方程的解法 如果二阶线性微分方程为 y py qy f x 其中p q均为常数 则称该方程为二阶常系数线性微分方程 设二阶常系数线性齐次方程为 y py qy 0 考虑到左边p q均为常数 我们可以猜想该方程具有y erx形式的解 其中r为待定常数 将y rerx y r2erx及y erx代入上式 erx r2 pr q 0 1 二阶常系数线性齐次方程的解法 由于erx 0 因此 只要r满足方程 r2 pr q 0 即r是上述一元二次方程的根时 y erx就是 式的解 方程 称为方程 的特征方程 特征方程根称为特征根 得 1 特征方程具有两个不相等的实根r1与r2 2 特征方程具有两个相等的实根 这时 由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解y1 erx 还需再找一个与y1线性无关的特解y2 为此 设y2 u x y1 其中u x 为待定函数 将y2及其一阶 二阶导数y 2 uerx erx u x ru x y 2 erx u x 2ru x r2u x 代入方程y py qy 0中 得 因而它的通解为 所以y1与y2线性无关 都是 的解 即r1 r2 那么 这时函数 即 注意到是特征方程的重根 所以有r2 pr q 0 及2r p 0 且erx 0 因此只要u x 满足 则y2 uerx就是 式的解 为简便起见 取方程u x 0的一个解u x 于是得到方程 且与y1 erx线性无关的解y2 xerx 因此 式的通解为 3 特征方程具有一对共轭复根r1 a ib与r2 a ib 这时有两个线性无关的特解y1 e a ib x与y2 e a ib x 这是两个复数解 为了便于在实数范围内讨论问题 我们再找两个线性无关的实数解 由欧拉公式 这公式我们将在无穷级数章中补证 可得 于是有 由定理1知 以上两个函数eaxcosbx与eaxsinbx均为 式的解 且它们线性无关 因此 这时方程的通解为 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法 其步骤是 1 写出所给方程的特征方程 2 求出特征根 3 根据特征根的三种不同情况 写出对应的特解 并写出其通解 例1求方程y 2y 3y 0的通解 解该方程的特征方程为r2 2r 3 0 它有两个不等的实根r1 1 r2 3 其对应的两个线性无关的特解为y1 e x与y2 e3x 所以方程的通解为 例2求方程y 4y 4y 0的满足初始条件y 0 1 y 0 4的特解 解该方程的特征方程为r2 4r 4 0 求得 将y 0 1 y 0 4代入上两式 得C1 1 C2 2 y 1 2x e2x 其对应的两个线性无关的特解为y1 e2x与y2 xe2x 所以通解为 因此 所求特解为 它有重根r 2 例3求方程2y 2y 3y 0的通解 解该方程的特征方程为2r2 2r 3 0 它有共轭复根 对应的两个线性无关的解为 所以方程的通解为 例4求方程y 4y 0的通解 解该方程的特征方程为r2 4 0 它有共轭复根r1 2 2i 即a 0 b 2 对应的两个线性无关的解y1 cos2x y2 sin2x 所以方程的通解为 2 二阶常系数线性非齐次方程的解法 1 自由项f x 为多项式Pn x 设二阶常系数线性非齐次方程为 y py qy Pn x 其中Pn x 为x的n次多项式 当原方程 中y项的系数q 0时 k取0 当q 0 但p 0时 k取1 当p 0 q 0时 k取2 因为方程中p q均为常数且多项式的导数仍为多项式 所以可设 式的特解为 其中Qn x 与Pn x 是同次多项式 例5求方程y 2y y x2的一个特解 解因为自由项f x x2是x的二次多项式 则 代入原方程后 有 且y的系数q 1 0 取k 0 所以设特解为 比较两端x同次幂的系数 有 解得 A 1 B 4 C 6 故所求特解为 例6求方程y y x3 x 1的一个特解 解因为自由项f x x3 x 1是一个x的三次多项式 则 代入原方程后 有 且y的系数q 0 p 1 0 取k 1 所以设方程的特解为 比较两端x同次幂的系数 解得 故所求特解为 2 自由项f x 为Aeax型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y py qy Aeax 其中a A均为常数 由于p q为常数 且指数函数的导数仍为指数函数 其中B为待定常数 当a不是 式所对应的线性齐次方程的特征方程r2 pr q 0的根时 取k 0 当a是其特征方程单根时 取k 1 当 是其特征方程重根时 取k 2 因此 我们可以设 的特解 例7求方程y y y 2e2x的通解 解a 2它不是特征方程r2 r 1 0的根 取k 0 则 代入方程 得 故原方程的特解为 所以 设特解为 例8求方程y 2y 3y ex的特解 解a 1是特征方程r2 2r 3 0的单根 取k 1 则 代入方程 得 故原方程的特解为 所以 设特解为 3 自由项f x 为eax Acoswx Bsinwx 型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y py qy eax Acoswx Bsinwx 其中a A B均为常数 由于p q为常数 且指数函数的各阶导数仍为指数函数 正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数 因此 我们可以设 有特解 其中C D为待定常数 取k 0 是根时 取k 1 代入 式 求得C及D 当a wi不是 式所对应的齐次方程的特征方程的根时 例9求方程y 3y y excos2x的一个特解 解自由项f x excos2x为eax Acoswx Bsinwx 型的函数 则 且a wi 1 2i 它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程r2 3r 1 0的根 取k 0 所以设特解为 代入原方程 得 比较两端cos2x与sin2x的系数 得 解此方程组 得 故所求特解为 例10求方程y y sinx的一个特解 解自由项f x sinx为eax Acoswx Bsinwx 型的函数 且a 0 w 1 则 代入原方程 得 且a wi i是特征方程r2 1 0的根 取k 1 所以 设特解为 比较两端sinx与cosx的系数 得 故原方程的特解为 而对应齐次方程y y 0的通解为 Y C1cosx C2sinx 故原方程的通解为 例11方程y 4y x 1 sinx的通解 解自由项f x x 1 sinx可以看成f1 x x 1和f2 x sinx之和 y 4y x 1 y 4y sinx 和 方程 的特解易求得 设方程 的特解为 的特解 所以分别求方程 代入 得 3Asinx sinx 所以 得原方程的特解 原方程所对应的线性齐次方程为y 4y 0 其通解为 Y C1cos2x C2sin2x 故原方程的通解为 二 变系数线性方程的幂级数解法 定理1考虑下面的二阶变系数线性常微分方程 y p x y q x y 0 3 如果p x q x 在x0的邻域 解析 即在 邻域可展成Taylor级数 则方程 3 有如下形式的解析解 其中 可由待定系数法求出 例12求解下列方程 解 1 根据定理 可设解为 将该级数求一阶和二阶导数并将y x y x 和y x 代入到原方程 或 系数全为零 此即 可得 此题中 得 将上面的结果代入到 它们都是R上的解析函数 根 据定理 可设 将次级数带入原方程 可得 或 又 代入到 5 可得 展开可得 系数全为零 可得 代入 可得 练习 用幂级数方法解方程 第二节Bessel函数 一 函数 记 为 函数 它对任意 有定义 该广义积分收敛 其具有下面两条性质 证 下面求 令 并记 利用极坐标变换可得 所以 利用性质还可得到 延拓问题 将定义域延拓到 例如 当 时 定义 则 在区间 1 0 有定义 类似可以定义 在区间 2 1 上的值 如此继续下去 可以扩充到整个实轴 去掉负实数点集 其图象如下 例1计算下列积分 解 1 二 Bessel方程和Bessel函数 设 二阶线性常微分方程 称为r阶Bessel方程 r阶Bessel方程可以写成 利用幂级数解法 待定系数 注意到 令 其中 和 为待定常数 将 3 代入 1 有 有 即 整理 有 有 即 比较 前面的系数 可得 由于 故有 首先取 则由 4 可得 如果选取 则有 代入到 得到原方程的一个解 此函数称为r阶Bessel函数 通常记 如果 则由 4 式 可得 如果选取 则有 代入到 得到原方程的另一个解 此函数称为 r阶Bessel函数 通常记 注1当r为正整数时 例如 取 此时 当 时 的系数等于零 特别r m时 有 所以 对所有的实数r 都有意义 注2记 表达式中幂级数部分的系数为 直接计算 可得 即 表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大 类似可证 表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大 因此 中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数 注3注意到 在x 0右连续而 在x 0的邻域无界 故当r 0不等于整数时 是线性无关的 它们构成 原方程一个基解组 当r m时 直接计算可得 令 n阶第一类贝塞尔函数 1n不为整数时 贝塞尔方程的通解 n阶第二类贝塞尔函数 Neumann函数 n为整数时 2n为整数时 贝塞尔方程的通解 A B为任意常数 n为任意实数 性质1有界性 性质2奇偶性 三贝塞尔函数的性质 当n为正整数时 性质3递推性 例1求下列微积分 性质4初值 性质5零点 有无穷多个对称分布的零点 的零点趋于周期分布 性质6半奇数阶的贝塞尔函数 性质7大宗量近似 性质8正交性 贝塞尔函数的模 四 Bessel方程的特征值问题 前面我们遇到的特征值问题 都是二阶线性微分算子 带有不同边界条件下的特征值问题 而 相当于二阶线性微分算子 在一维的情形 当空间变量为 二维时 在直角坐标系下 在极坐标下 直接计算 可得 二阶线性微分算子 在圆域上的特征值问题即为 边界条件为 Direclet边界条件 或者 Newumann边界条件 下面利用分离变量法求解 1 令 并将其带入到 1 有 变形为 即 故有 对 2 有定理 定理对 2 其特征值和特征函数为 将 代入到 3 中 得到 方程 4 结合一定边界条件便是Bessel方程特征值问题 考虑Direclet边界条件下n阶Bessel方程特征值问题 其中 是一个正常数 n为非负数 为待定常数 称为 5 的特征值 而相应于 的非零解称为 5 的特征函数 对于Bessel方程特征值问题 5 有如下定理 定理1设n为非负整数 为 的第m个正 零点 即 的正根 则 5 的特征值和特征函数分 别为 特征函数系 关于权函数 是正交的 且有 其中 证明1 证明特征值非负 两边积分 由已知 可得 即 所以可得 2 求解特征值问题 当n 0 时 方程 化为 其解为 利用边界条件 可得 即 因此 不是特征值 即一切特征值都大于0 当 时 对原方程 作自变量变换 方程化为 记 则有 n阶Bessel方程的通解为 即 所以 由 可得 又由 得