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高等数学期中测验卷（适用班级060715、060716）（适用时间 1小时）班级- 学号- 姓名- 成绩-一、填空 （每题3分，共6分）1 函数的单调下降区间为2 2. 函数的阶麦克劳林展开式为二、求下列极限 （每题8分，共32分）3. 解 原式- - 4 解：原式 5 解：原式=. 6. 解 原式 三、求下列导数和微分（每题8分，共32分）7设，求。 解：= 8.设，求。 解：两边取对数得， 两边求导， 故有. 9函数由确定, 求解: 方程两边分别对x求导，得到：，从而.10设 求 、解 = . 四、讨论题（12分）11设，讨论在上的连续性。若在某点处不连续，说明是哪类间断点，若可去，则补充（改变）定义，使其在该点连续。解：在和上是初等函数，因此和上连续。在点处，由于但故是第一类间断点中的可去间断点。改变定义则在（0，2）上连续。五、证明题12用“”语言证明 （6分）证：任取要使只要取则当时，恒有即13设证明方程只有2个实根。（12分）证明：不妨设由于是一个三次函数，故在上连续，在内可导，且易知由Rolle中值定理得：使- 当时，类似可得使-另一方面，由于是一个二次函数，故至多有两个实根。于是方程只有2个实根。-附加题：设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使.证：令，因为在上连续，且，则由零点存在定理在内至少存在一点，使，即. 下证唯一性。设在内存在两个点与，且，使，. 由于在上可导，故在上连续，在上可导，运用罗尔
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