数学建模数码相机定位论文.doc

数码相机定位摘 要本文涉及到数码相机的成像问题。我们根据数码相机的成像和光学原理，对所要解决的具体问题给出了不同的模型。针对问题一，我们根据光学原理，建立最为理想的投影成像模型小孔成像模型。利用小孔成像原理及三角形几何定理得出靶心与图像平面上对应像的几何关系，求出靶心在数码相机像平面的像坐标，进而推广到多点，我们在靶心的小范围邻域内，取一组离散数据作为研究对象，利用反距离加权的思想，得到权重矩阵，最终在平均意义下，得到像的坐标。针对问题二，我们在数码相机成像过程中，需要对相机参数进行标定，因此建立线性数码相机模型（针孔模型），借助画图工具确定近似于实际像点的像素坐标，并且利用最小二乘法，求得数码相机的参数矩阵，在此基础上建立实际点和像点相应的模型，求得像点的坐标如下所示：（-156.8172，-114.6524）、（-152.9729，-22.7530）、（-145.5450，164.0570）、（158.3592，138.2742）、（144.0030，-171.6788）。针对问题三，由问题二中的画图工具可以得到近似于实际像的像素坐标，利用问题二求解出的参数矩阵，再把实际点的坐标代入模型二，得到相应的像的坐标，再进行模型检验、误差分析和稳定性分析，得出的结论是模型二的误差比较小，精度比较高，从而模型二比模型一更优越。针对问题四，假设两部相机中一部相机的位置和参数已知，在此基础上利用问题二的思想建立相应的线性模型，来确定两部数码相机的相对位置为（其中是由确定）在论文的最后，我们又对问题进行进一步讨论，得出可以考虑透镜的畸变因素，建立非线性模型。关键词：小孔成像原理；反距离加权；针孔模型；最小二乘法；相机标定一、问题的背景与重述1.问题的背景随着中国国民人均收入的增加，人们的消费水平也得到相应的提高，从而用在物质享受方面的投入也随之增加。数码相机已经走下高高的价格神坛，摘去了高贵的桂冠，众多的家庭把购买数码相机纳入了自己的日程。进而人们可以利用数码相机来进行定位。数码相机是一种集光、机、电为一体的数字化产品, 集成了影像信息的采集、转换、储存、传输等部件，可方便地传输至计算机内处理。和专业的测量型相机相比，数码相机镜头畸变大，没有框标，内定向元素也是未知的.但由于使用上的便利和价格优势，以及影像后处理的快捷、方便、适阳性，数码相机受到越来越多的专业技术人员的关注.数码相机的数字摄影测量技术在工业制造、土木工程、医学、考古、地理测绘等行业的应用越来越广泛。随着现代交通的日益发展，形形色色的道路交通监管设备已经成为交通、管理的必备设施，这些设备通常被形象的称为“电子警察”，因此数码相机定位在交通监管（电子警察）方面也有广泛的应用。2.问题的重述数码相机定位就是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部规定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法就是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 图一 ：靶标示意图 图二：靶标的像基于这些已掌握的资料，我们需要讨论以下问题：（1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，这里坐标系原点取在该相机的光学中心，平面平行于像平面；（2）对由图一、图二分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像平面上的像坐标，该相机的像距（即焦点到像平面距离）是1577个像素单位（1毫米约为3.78个像素单位），相机分辨率为1024768；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、问题假设1.假设靶心坐标一定，并且两部相机的内参一致；2.假设图中的基本单元已经匹配，照相机的焦距不发生变化；3.假设题目中所给数据、图像真实确切，没有太大误差存在，并且客观反映现实情况。三、符号说明：代表反距离加权向量； ：代表归一化后的权重向量；：代表第个点到该像的距离；,: 分别代表投影矩阵,旋转矩阵，平移向量；,：分别代表焦距，物距，视距,像距；：代表靶心邻域内的任意点坐标；：代表像平面中心邻域内的任意点坐标；，：分别代表靶心坐标，和该点在像平面的摄影坐标；，：分别代表空间任一点在世界坐标系中的齐次坐标，和该点在图像平面的成像点坐标。四、问题分析问题一：要求建立数学模型和算法以确定靶心在该相机像平面的像坐标。通过分析，首先我们根据光学原理，知道最为理想的投影成像模型应该是光学中的小孔成像模型，因为物体的光线是通过小孔投射到成像平面上，并形成实像，不存在透镜造成的畸变的影响,因此可以任意取一点建立小孔成像模型得到靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，进而我们可以在靶心的小范围内，取一组离散数据作为研究对象，在平均的意义下进行反距离加权，得到权重矩阵，最后得知像点的位置。问题二：要求我们对由图一和图二分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的坐标。 1.我们要对世界坐标系、数码相机坐标系、像平面坐标系和计算机图像坐标系的含义有一定的理解，经过查资料可以得到以下内容：1）世界坐标系：也称真实或现实世界坐标系，或全局坐标系。它是客观世界的绝对坐标，由用户任意定义的三维空间坐标系。一般的3场景都用这个坐标系来表示；2）数码相机坐标系：以小孔数码相机模型的聚点中心为原点，以数码相机光轴为轴建立三维直角坐标系。一般与图像物理坐标系的平行，且采用前投影模型；3）图像坐标系，分为图像像素坐标系和图像物理坐标系两种：图像物理坐标系：其原点为透镜光轴与成像平面的交点，与轴分别平行于摄像机坐标系的与轴，是平面直角坐标系，单位为毫米；图像像素坐标系计算机图像坐标系：固定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系，其原点位于图像左上角，平行于图像物理坐标系的和轴。对于数字图像，分别为行列方向。2.我们对数码相机进行标定，标定的参数包括外方位参数和内方位参数，我们可以建立线性模型（针孔模型），求出数码相机的投影矩阵,也就得出标定的参数。利用画图工具对图一进行分析，可以找出每个像区域中的多个坐标，再根据在平均意义的效果下对这些点进行取平均值得出像的像素坐标。再利用像素坐标和实物的圆心坐标，代入线性模型，便可以求出数码相机的参数矩阵。利用参数矩阵和实物的圆心坐标，建立线性模型二，求解实物圆心所对应的像坐标。问题三：由问题二中的画图工具可以得到近似于实际像的像素坐标，利用问题二求解出参数矩阵，再把实际点的坐标代入模型二，得到相应的像的坐标，再对两个模型进行检验、误差分析和稳定性分析。问题四：要求建立用此靶标给出两部固定相机位置的数学模型和方法。假设两部数码相机的内参矩阵相同，并且空间任意点在两部数码相机上像的位置坐标是确定的，于是我们可以假设两部数码相机其中一部的位置确定，并且内方位参数和外方位参数也已知.然后在内方位参数和外方位参数为定值的基础上建立线性模型，求解模型，从而确定数码相机的相对位置。五、模型建立与求解问题一：在连续的基础上考虑靶标上圆的圆心在该相机像平面的像的坐标。首先我们可以以一个点为研究对象，根据小孔成像原理建立模型，随后在以其为圆心的邻域内，取一组离散数据作为研究对象，在平均的意义下，进行反距离加权。1.基于物体的光线是通过小孔投射到成像平面上，并形成实像，不存在透镜造成的畸变的影响，因此我们可以根据光学原理，建立光学中最为理想的投影成像模型-小孔成像模型。由于实际的成像系统通常为透镜成像系统，我们可以得到透镜成像的一般规律如下:物距特点应用2倒立、缩小、实像、对侧照相机=2倒立、等大、实像、对侧2倒立、放大、实像、对侧幻灯机=不成像正立、放大、虚像、同侧放大镜根据图表可知：数码相机的投影成像应该是当2时，成倒立、缩小、实像、对侧的像。数码相机的投影成像的基本原理：其中代表视距，代表焦距,代表物距，图三：数码相机成像的等效示意图可得公式： (1)下面只考虑单点的忽略镜头畸变的小孔模型：图四：小孔成像原理图分析上图，利用几何相似三角形关系，有三角形与三角形相似，三角形与三角形相似，根据三角形几何定理，得到： 有三角形与三角形相似，三角形与三角形相似，根据三角形几何原理，得到： (2) (3)将式（1）分别与式（2）、式（3）联立，我们可以很容易验证，上图所示的视觉坐标系中，实际点在数码相机坐标系下的坐标与图像平面上的该点的实像之间有如下的几何关系：2. 在靶心的小范围邻域内，取一组离散数据作为研究对象，在平均意义下，进行反距离加权，求得靶标上圆的圆心在该相机像平面的像的坐标。在靶心点的小范围的邻域内，任意取个点，可设圆心点P在像平面的摄影坐标为，个点在像平面的摄影坐标为。进一步构造反距离加权向量，即：=，可得出 ，其中代表第个点到该像的距离，对加权向量进行归一化得到权重向量:由单点推广到多点，可得： 在平均意义和反距离加权下，可得到在像平面的摄影坐标，即： 即：模型一 算法：1)只考虑单点的实物在摄像机平面下的像的坐标,利用小孔成像模型，根据三角形几何相似原理，得到模型为:2)考虑由单点推广到多点的情况：在靶心的小范围邻域内，取一组离散数据作为研究对象；在平均意义下构造反距离加权向量，对加权向量进行归一化得到权重向量:，由此就可以得到模型一.问题二：1.先求得数码相机的投影矩阵,对数码相机进行内在标定。 数码相机系统存在较大的成像误差，故在使用前要进行参数的标定，以提高成像精度。为了定量地描述光学成像过程，根据世界坐标系、数码相机坐标系、像平面坐标系和计算机图像坐标系的相互关系，我们可以建立线性摄像机模型（针孔模型）。其中坐标系之间的变换关系如下：图五:标定系统的坐标系 定义了上述各种空间坐标系后，就可以建立两两不同坐标变换之间的关系。（1）世界坐标系与摄像机坐标系的变换关系 世界坐标系中的点到数码相机坐标系的变换可以由一个正交变换矩阵和一个平移变换矩阵表示为:齐次坐标表示为： 其中，是世界坐标系原点在数码相机坐标系中的坐标，矩阵是正交旋转矩阵矩阵元素满足（2）图像坐标系与数码相机坐标系变换关系如图四所示，数码相机坐标系中的物点在图像物理坐标系中像点坐标为： 齐次坐标表示为： 将上式的图像坐标系进一步转化为图像坐标系： 其次坐标表示为：其中，是图像中心（光轴与图像平面的交点）坐标，分别为一个像素在与方向上的物理尺寸，分别为与方向上的采样频率，即单位长度像素个数。由此可得物点与图像像素坐标系中像点的变换关系：其中，分别定义为和方向的等效焦距，等4个参数只与数码相机内部结构有关，因此称为数码相机内部参数。（3）世界坐标系与图像坐标系变换关系（共线方程）由（1）、（2）可以得出世界坐标系与图像坐标系变换关系：进而有（1）、（2）经过代换可得到世界坐标系与图像坐标系的齐次坐标表示为：然后可设空间的任意一点，它在世界坐标系中的齐次坐标为，该点在图像平面上的成像点为。根据世界坐标系与图像坐标系的齐次坐标表示方程即上式,我们可以得到： ，（为未知尺度因子） （4）其中为投影矩阵的第行第列元素。上式包含三个方程：将第一式除第三式，第二式除第三式分别消去后，可得如下两个关于的线性方程： (5) 上式表示，如果标定板上有个已知点，并已知它们的空间坐标与它们的图像点坐标，则我们有个矩阵元素的线性方程，下面用矩阵形式写出这些方程： = (6) 由式(5)可见，矩阵乘以任意不为零的常数并不影响与的关系，因此，在式(6)中可以指定=1, 因为=1不具有旋转和平移的不变性，解将随着世界坐标系的选取不同而变化。从而得到关于矩阵其他元素的个线性方程，这些未知元素的个数为11个，计为11维向量将式(6)简写成 （7）其中，为式(6)左边矩阵，为未知的11维向量，为式(6)右边的维向量,为已知向量，当时，我们可用最小二乘法求出上述线性方程的解为： (8)向量与构成了所求解的矩阵。由上可见，从空间6个以上已知点与它们的图像点坐标，便可以构成12个线性方程，由此可求出矩阵。矩阵是由4个内部参数和6个外部参数构成的，因此是由10个独立变量构成。但是矩阵为3x4矩阵，有12个参数，由于在求解的过程中指定为一非零常数，这样矩阵就有11个参数，所以这11个参数并非相互独立，而是存在一定的制约关系。下面将详细讨论这种制约关系:其中为旋转矩阵的第行，为平行向量的三个分量。上式可以改写为 考虑到旋转矩阵R是正交单位矩阵。由上式可以得到= 另,显然与坐标变换矩阵无关，只与摄像机内部参数有关，上式恒等于一常数。这个条件便可以作为矩阵的一个约束条件。由(6)式得到：其中，为矩阵，为矩阵。 根据最小二乘法准则知道，要求解满足约束条件的矩阵，即在的条件下，求出取最小值时的令 即 (9)由(9)式得到 (10) 设为矩阵的特征值所对应的特征向量，然而特征值存在多个，所以需要进一步确定采取哪一个特征值。把可以得到 要使最小，以满足最小二乘条件，应取为矩阵的最小的那个特征值，则为对应的那个特征向量，并由(10)式可得到。这样就求出了满足约束条件的的矩阵。2.利用1中求到的投影矩阵建立模型二求解像点坐标。由题设可知圆心的坐标为，利用画图工具对图一进行分析，可以找出每个像区域中的多个坐标，再根据在平均意义的效果下对这些点进行取平均值得出近似于像的实际像素坐标为。利用画图工具得出近似于实际像的像素坐标（坐标中心取正方形像区域的中心为原点）如下表格所示：实际靶心像点像素坐标轴轴-161.6374-127.9506-154.2644-27.9599-137.7968188.8632151.8233131.6264150.7077-166.2114世界坐标系选取在物平面上，中心为物平面中心则可以计算出实际点坐标：靶心坐标轴轴-189-189-189-75.6-189189189189189-189然后把像素坐标与实际点圆心的坐标代入（4）式便可以得出数码相机的参数矩阵。设圆心在该相机像平面上的像点坐标，建立模型二：代入实际坐标可以求得像坐标为：理论上像点像素坐标轴轴-156.8172-114.6524-152.9729-22.7530-145.5450164.0570158.3592138.2742144.0030-171.6788问题三：1误差分析利用画图工具对图一进行分析，可以找出每个像区域中的多个坐标，再根据在平均意义的效果下对这些点进行取平均值得出近似于像的实际像素坐标如下表格所示：实际靶心像点像素坐标轴轴-161.6374-127.9506-154.2644-27.9599-137.7968188.8632151.8233131.6264150.7077-166.2114利用其中五个点的坐标和对应已知的实际物体的坐标，代入问题二中的线性方程中利用最小二乘法得出参数矩阵。把每个实像点的坐标（在世界坐标系下）代入模型二中得到理论上每个像点的像素坐标。如下表所示： 理论像点像素坐标轴轴-156.8172-114.6524-152.9729-22.7530-145.5450164.0570158.3592138.2742144.0030-171.6788然后对模型而进行误差分析如下：绝对误差=绝对误差轴轴0.029820.103930.008370.186230.0562290.131340.0430490.0505050.044490.032894由上图表可以看出，绝对误差比较小，精度比较高，所以模型二的建立方法可行。又因为模型二考虑数码相机的参数矩阵，而模型一则是光学理论中最理想、最简单的小孔成像模型，并没有考虑参数矩阵，因此模型二的精度比模型一高，进而模型二比模型一更优越。2稳定性分析问题二是利用实际点和像点求出的参数矩阵，并在此基础上建立模型求解像点的坐标。而在求解M时我们可用最小二乘法求出上述线性方程的解为： 则向量与构成了所求解的矩阵在求解过程中用到的逆矩阵，而并不是所有的矩阵都有逆矩阵。所以可能为病态矩阵，当为病态矩阵时求解结果就不准确了，由此可知模型二的稳定性不好。但是换一种迭代的方法计算矩阵，就避免了病态的存在了。问题四：建立双数码相机的相对位置位的模型如下：图六：用双数码相机观察空间点假设：1.两部相机中其中一部相机（）的位置是已知的，记为；另一部相机（）的位置坐标为（未知）。2.相机的外方位参数矩阵和内方位参数矩阵已经标定。3.相机的内方位参数矩阵与相同，外方位参数矩阵（未知）。4.已知像素点的坐标为，实物坐标为（未知）。建立线性模型三如下： 条件要求如下： 再把数码相机的坐标原点（0 0 0），代入模型中求得数码相机的世界坐标为如下式所示： 由、可以求的，于是可以确定和的值为。由式可以求的世界坐标为 把带入式就可以得到结果 然后利用和的坐标便可以计算出两数码相机的相对位置为：（其中是由确定）.六、模型的评价1.模型一运用了小孔成像模型，而且最为理想的投影成像模型应该是光学中的小孔成像模型，因为物体的光线是通过小孔投射到成像平面上，并形成实像。2.模型二在模型一的基础之上考虑了透镜的系统因素的影响，进而更进一步得到与真实值比较接近的结果。3.比较模型一与模型二，可以得到模型一把问题简单化，并没有考虑到透镜的系统因素，而模型二恰恰考虑到这一点，所以模型二比模型一比较优越一些。4. 模型二我们考虑了系统因素，因而建立的是线性的针孔模型，但是在实际中，由于受到透镜设计的复杂性和工艺水平等因素的影响，实际透镜成像系统不可能严格满足针孔模型，而产生所谓的