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椭圆定义在解题中的巧妙应用 涡阳四中专题编写组审 编写：史学祥 椭圆第一定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将椭圆的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考. 一、利用椭圆第一定义求轨迹方程 例1 已知中，C（-1，0），B（1，0），求顶点A的轨迹方程.分析:用正弦定理将化为，由椭圆的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为6的椭圆.解析：由正弦定理及得，由椭圆的第一定义知顶点A的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为6的椭圆，=8顶点A的轨迹方程为（）.点评：本题考查了椭圆的第一定义、正弦定理及椭圆的标准方程，利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法.二、利用椭圆第一定义解决焦点三角形问题例2 已知，是椭圆的两个焦点，过与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是正三角形，求椭圆的离心率.分析：本题关键在于寻找、间关系，结合图形，容易找到此关系.解析：由是正三角形，得是为的直角三角形，设=，则，则=，由椭圆第一定义知， =，又=.点评:本题考查了椭圆的第一定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义.例3 已知椭圆()的焦点分别为，P是椭圆上一点，=，（1）求的最大值；（2）求的面积.分析：涉及到焦点三角形问题时，根据题意，配凑出形式，再利用椭圆的第一定义，解决有关问题.解析：（1）在椭圆上，=在中，=，= =（当且仅当时取等号），又余弦函数在上是减函数，当=时，=；（2）在中，由余弦定理知，= =，=.点评：解决椭圆上一点与两焦点构成的三角形问题时，要充分利用正弦定理、余弦定理、椭圆的第一定义，关键是配凑出的形式.三、利用第一定义计算椭圆上一点到两焦点的距离问题例4已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，弦AB=4，求的周长.分析：本题涉及椭圆上一点到两焦点的距离问题，利用椭圆第一定义求解.解析:因为，在椭圆上，所以=10，=10，+=10，而，即的周长为20.点评：凡涉及椭圆上一点到两焦点的距离问题，注意利用椭圆第一定义求解.在解决椭圆问题要有应用椭圆第一定义的意识，见到动点到两定点距离之和等于常数（常数大于两定点的距离）应想到其轨迹是椭圆，见到椭圆上一点应想到该
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