数值计算方法答案.pdf

1 数值计算方法数值计算方法 习题一 习题一 2 2 2 2 习题二 习题二 6 6 6 6 习题三 习题三 15151515 习题四 习题四 29292929 习题五 习题五 37373737 习题六 习题六 62626262 习题七 习题七 70707070 2009200920092009 9 9 9 9 9 9 9 9 2 习题一习题一 1 设x 0 相对误差为 2 求x 4 x的相对误差 解 由自变量的误差对函数值引起误差的公式 f xx f xfxx f xf x 得 1 f xx 时 11 2 1 22 x xxxx x 2 4 f xx 时 44 4 4 4 2 8 x xxxx x 2 设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数 即误差不超过最后一位的半个单位 试指出他 们各有几位有效数字 1 12 1x 2 12 10 x 3 12 100 x 解 由教材 9 P关于 121 2 mn xa aa bbb 型数的有效数字的结论 易得上面三个数的有效 数字位数分别为 3 4 5 3 用十进制四位浮点数计算 1 31 97 2 456 0 1352 2 31 97 2 456 0 1352 哪个较精确 解 1 31 97 2 456 0 1352 21 0 3197 100 2456 10 0 1352 fl fl 2 0 3443 100 1352 fl 0 3457 2 10 2 31 97 2 456 0 1352 21 0 3197 10 0 2456 10 flfl 21 0 3197 100 2591 10 fl 0 3456 2 10 易见 31 97 2 456 0 1352 0 345612 2 10 故 2 的计算结果较精确 4 计算正方形面积时 若要求面积的允许相对误差为 1 测量边长所允许的相对误差限为多 少 3 解 设该正方形的边长为x 面积为 2 f xx 由 f xx f xfxx f xf x 解得 f xf x x xfx 2 22 f x xf x xx i 0 5 5 下面计算y的公式哪个算得准确些 为什么 1 已知1x A 2 11 y xxx xx B 11 yxx xx 3 已知1x A 2 2sinx y x B 1 cos2x y x 4 A 980y B 1 980 y 解 当两个同 异 号相近数相减 加 时 相对误差可能很大 会严重丧失有效数字 当两 个数相乘 除 时 大因子 小除数 可能使积 商 的绝对值误差增大许多 故在设计算法 时应尽量避免上述情况发生 1 A 中两个相近数相减 而 B 中避免了这种情况 故 B 算得准确些 2 B 中两个相近数相减 而 A 中避免了这种情况 故 A 算得准确些 3 A 中 2 sinx使得误差增大 而 B 中避免了这种情况发生 故 B 算得准确些 4 A 中两个相近数相减 而 B 中避免了这种情况 故 B 算得准确些 6 用消元法求解线性代数方程组 1515 12 12 1010 2 xx xx 假定使用十进制三位浮点数计算 问结果是否可靠 解 使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为 11616 12 111 12 0 100 100 100 100 100 10 1 0 100 100 100 100 200 10 2 xx xx 1 2 得 1616 2 0 100 100 100 10 x 即 1 2 0 100 10 x 把 2 x的值代入 1 得 1 0 000 x 把 2 x的值代入 2 得 1 1 0 100 10 x 4 解 1 1 10 100 10 20 000 10 x x 不满足 2 式 解 1 1 10 100 10 20 100 10 x x 不满足 1 式 故在十进制三位浮 点数解该方程用消元法计算结果不可靠 7 计算函数 32 331f xxxx 和 3 3 12 19g xxxxx 在处的函数值 采用 十进制三位浮点数计算 哪个结果较正确 解 110657 010480 0 310219 0 10480 0 19 2 1111 f 110657 0 10144 0 10105 0 122 1 0 167 10 19 2 g110219 0 310219 0 81 0 11 110219 0 10123 0 11 1 0 169 10 即 1 0 167 10f x 1 0 169 10g x 而当2 19x 时 32 331xxx 的精确值为 1 6852 故 g x的算法较正确 8 8 8 8 按照公式计算下面的和值 取十进制三位浮点数计算 1 6 1 1 3i i 2 1 6 1 3i i 解 1 6 23456 1 1111111 3333333 i i 0 3330 111 0 0370 0120 0040 001 489 0 2 1 65432 6 1111111 3333333 i i 0 001 0 0040 0120 0370 111 0 333 489 0 9 已知三角形面积 1 sin 2 SabC 其中0 2 C 证明 SabC 证明 由自变量的误差对函数值的影响公式 12 12 1 12 n in ni i ni xf x xx f x xxx f x xxx 得 aS a b CbS a b CCS a b C S a b CabC S a b CaS a b CbS a b CC sin sin cos sinsinsin abC SbCaaCbabCC abCabCabC 5 C abC tgC abC 当0 2 C 时 CtgC 命题得证 习题二习题二 1 找出下列方程在0 x 附近的含根区间 6 1 cos0 xx 2 3cos0 xx 3 sin 0 x xe 4 2 0 x xe 解 1 设 cosf xxx 则 0 1f 1 0 4597f 由 f x的连续性知在 1 0 x 内 f x 0 有根 同题 1 的方法可得 2 3 4 的零点附近的含根区间分别为 0 1 0 2 0 1 2 用二分法求方程sin10 xx 在 0 2内的根的近似值并分析误差 解 令 sin1f xxx 则有 0 10f sincos0fxxxx 0 2x 所以函数 f x在 0 2上严格单调增且有唯一实根x 本题中求根使得误差不超过 4 10 则由误差估计式 1 2 k k ab x 所需迭代次数k满足 4 1 10 2 02 时 x 单调递减 而 1 3 1 59171596 1 6 1 390625 因此 当 1 3 1 6x 时 1 3 1 6x 又当 1 3 1 6x 时 33 22 0 921 1 3 x x 0 x 所以当 1 3 1 6x 时 1 3 1 6x 又当 1 3 1 6x 时 22 22 33 221 6 0 5521 33 1 1 1 3 x x x 所以对任意初值 1 3 1 6x 原方程的根除外 迭代格式 1 1 1 k k x x 0 1 2 k 发 散 8 4 确定 xx 的简单迭代法 1 kk xx 的收敛区间 a b 如果收敛 试估计使精度达到 4 10 时所需的迭代次数并进行计算 A 2 2 3 x ex x B 2 5 2x x C sincos 2 xx x 解 A 方程为032 2 xxe x 设xxexf x 32 2 则01 0 f 0 0 8987 5 0 f 故有根区间为 5 0 0 题中 2 2 3 x ex x 3333 0 3 02 3 2 0 eex x x 故迭代公式 2 2 3 x ex x 在含根区间 5 0 0 内收敛 B 方程为052 23 xx 设52 23 xxxf 则0 1 875 5 2 f 故有根区间为 3 5 2 题中 2 5 2x x 10 64 5 2 10 10 33 f 0 0 6182 1 f 故有含根区间 1 0 题中 sincos 2 xx x 15 0 2 0sin0cos 2 sincos f 02 2 f 满足0 1 1 ff 由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为 0 1x 时迭代法收敛 牛顿迭代格式为 k k k k k k k kk x x x x x xf xf xx 3 22 6 2 1 k k x 01 13 5 22 60714285714286 32 45425636007828 42 44949437160697 52 44948974278755 62 44948974278318 72 44948974278318 在第 6 部迭代后 迭代点得小数点后 14 位已无变化 故可取2783182 44948974 6 x 双点弦割法 双点弦割法迭代格式为 kk kk kk kk k kk xx xx xx xfxf xf xx 1 1 1 1 1 6 k k x 01 10 13 5 22 11111111111111 32 38613861386139 42 45425636007828 52 44942735725712 62 44948968214144 72 44948974278395 82 44948974278318 92 44948974278318 在第 8 部迭代后 迭代点得小数点后 14 位已无变化 双点弦割法 双点弦割法迭代格式为 k k k k k kk xx xx xx xfxf xf xx 0 0 0 0 1 6 k k x 01 13 5 22 11111111111111 32 60714285714286 42 38613861386139 52 47660818713450 62 43818334735072 72 45425636007828 82 44748955456412 92 45033071771908 102 44913644779691 112 44963821399228 122 44942735725712 132 44951595791130 142 44947872716250 152 44949437160696 162 44948779773504 172 44949056010085 182 44948939934302 192 44948988709816 11 202 44948968214143 212 44948976826509 222 44948973207557 232 44948974728256 242 44948974089252 252 44948974357764 262 44948974244934 272 44948974292346 282 44948974272423 292 44948974280795 302 44948974277277 312 44948974278755 322 44948974278134 31 k以后 迭代点得小数点后 11 位已无变化 因收敛速度较慢 故只精确到小数点后 11 位 7 建立利用方程 3 0 xc 求 3 0 c c 的 Newton 迭代格式 并讨论算法的收敛性 解 牛顿迭代格式为 2 3 2 3 1 3 2 3 k k k k k k k kk x cx x cx x xf xf xx 令cxxf 3 因为当0 x时 03 2 xxf 06 xxf 故对于任何满足0 3 0 cxxf 即 3 0 cx 的初值 0 x 上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于 3 c 8 建立利用方程 2 0 c x x 求 3 0 c c 的 Newton 迭代格式 并讨论算法的收敛性 解 牛顿迭代格式为 cx cx x c x c x x xf xf xx k k k k k kk 2 3 2 1 3 3 2 1 令 2 c f xx x 因为当0 x时 0 2 1 3 x c xf 0 6 4 x c xf 故对于任何满足0 3 0 cxxf 12 即 3 0 0cx 的初值 0 x 上述 Newton 迭代产生的迭代序列收敛于 3 c 9 判断用 Newton 迭代求解方程 f xsign xx 的收敛性 解 由 x x xf 0 0 x x i当0 x时 xxf 0 2 1 x xf 0 4 1 3 x xf 要使 Newton 迭代法 收敛对于初值 0 x 需满足0 00 x时 Newton 迭代法不收敛 ii当0 x时 同上的分析方法可得 初值也不存在的 故当0 或 2 00 20 xx 或 3 0 02x x k x k 2 0 1 lim 故迭代序列 k x不收敛 2 当 00 20 xx 或时 1 1 0 x 0lim k k x 迭代序列 k x收敛 但不收敛于方程的 解 3 当20 0 x时 1 1 0 又 1 11 2 0 a A 1 L A 其中 1 21 1 11 1 1 1 1 11 10 1 n a a L a a 显然 1 L非奇异 对任何 x0 有 1 0L x A 正定 1111 0 T TT L xA L xxL AL x 11 T L AL正定 又 11 T L AL 1 11 2 0 0 a A 而 1 11 0a 故 2 A正定 17 1 当 A 对角占优时 1 1 n iiij ij aa 2 2 n iiij ij aa 1 1 1 1 1 1 1 1 11111111 2 n iiiiijij ij j aa aaaa aa 1 1 1 1 1 1 1 1 11111111 1 2 11 1 n iiiiijij ij j a aa aa aa a a 1 1 1 1 1 1 1 1 11111111 1 2 11 1 n iiiiijij ij j a aa aa aa a a 1 1 1 1 1 1111 1 2 1 11 1 nn iiijij ij jij j aaaa a a 1 1 1 1 1 1111 1 2 1 11 1 nn iiijij ij jij j aaaaa a 1 1 1 1 1 11111 1 2 11 1 n iiiji ij j aaaaa a 1 1 11 1 1 11 1 n ij ij j aa a 0 故 2 A对角占优 4 证明 1 两个单位上 下 三角形矩阵的乘积仍为单位上 下 三角形矩阵 2 两个上 下 三角形矩阵的乘积仍为上 下 三角形矩阵 证明 1 不妨考虑证单位下三角矩阵 单位上三角矩阵证明方法相同 设AB C其中 00 1 1 ijn n i ji j jiji AjiBjiCc ajibji 当 i 时 18 1 0 kj ni ijikkjikkj kkj jikb ca ba b 0 时 当i j时 当i j时 1 1 n iiikkiii ii k ca ba b 1 ni ijikkjikkj kkj ca ba b 当i j时 所以 C 为单位上三角矩阵 2 证明方法类似 1 5 证明单位上 下 三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上 下 三角形矩阵 非奇异上 下 三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上 下 三角形矩阵 证明 6 用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组 1 1 2 3 4 22351 12124 25327 13230 x x x x 解 1 1 1 2 131 1 211 2 L 0 X 2235 51 1 22 33 22 3 U 1 7 2 9 2 3 y 2 1 2 1 x 2 1 2 3 4 12342 1491610 18276444 1 1681256190 x x x x 解 19 1 11 131 1761 L 1234 2612 624 24 U 2 8 18 24 y 1 1 1 1 x 3 1 2 3 4 81362718252 361166268148 2762984474x x x x 解 9 410 358 2617 L 28 26 15 7 y 4 3 2 1 x 4 1 2 3 4 42 42312 280 2 45 4445 816 928 245 217 4522 957 35 87 4519 6650 945 x x x x 解 2 1 22 11 41 5 1 522 13 L 6 14 4 78 6 75 6 y 1 2 0 8 1 7 2 x 7 求解矩阵方程 123412 47101446 142231451417 X 解 X 1 123412 47101446 142231451417 111 000 101 20 8 用追赶法解线性代数方程组 213 1315 1113 213 X 解 1 2b 2 3b 3 1b 4 1b 2 1a 3 1a 4 2a 1 1c 2 1c 3 1c 11 2lb 111 1 2ucl 2221 5 2 lba u 222 2 5 ucl 3332 3 5 lba u 333 5 3 ucl 4443 7 3 lba u 1 3 2 y 22122 7 5 ydy al 33233 8 3 ydy al 44344 1ydy al 44 1xy 3334 1xyu x 2223 1xyu x 1112 1xyu x 1 1 1 1 x 10 证明等价关系 121 1 xxxx n 证明 2 2 1 1 x max n ii i n i xxx 又 1 1 111 max nnn ii i n iii xxxxnx 所以 1 x x n 由 Cauchy 不等式知 2 11 nn ii ii xx 所以 12 xx 综上说述 即证 11 证明由 0 max p p x p Ax A x 定义的 是 n n R 中的范数 21 证明 显然 0 0 0 max maxmax p p x p p P pp xx pp AB x A x Bx AX BA xx pA0 且 00 p AA 任意常数 0 max p p x p Ax A x 0 max p x p Ax x 0 max p x p Ax x A A B 0 max p x p AB x x 0 max p x p AXBx x 0 max Pp x p AXBx x 0 0 maxmax p P xx pp Bx AX xx pA pB 12 证明 1 1 1 max n i j j n i Aa 证明 对任何 1 1x 由于 1 1 i x 故 1 111 111 max max max nnn ijjijjij j nj nj n iii Axa xaxa 因此 1 1 1 max n ij j n i Aa 另一方面 设指标 o j满足 1 11 max o nn ijij j n ii aa 定义 x如下 10 10 o o ij ij a x a 显然 x 1 而且 1 111 max oo o nnn ijiijij j j n iii Axa xaa 从而 1 1 1 max o n jij j n i AxAxa 即成立 1 111 1 1 max max n ij xj n i AAxAxa 综上得命题成立 22 13 研究线形代数方程组 1 2 1 0001 0012 001 1 000 1 0002 000 x x 的性态 并求精确解 设近似解 2 0 x 计算余量rbAx 以及近似解的相对误差 x x x 解 因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为 1000 1001 1000 1000 条件数为 4 0020e 003 远大于 1 所以其为病态的 其精确解为 1 1 x 余量为 r 2 001 2 000 1 0001 0012 1 0001 0000 0 001 0 1 1 4142 1 xx 1 1 4142 1 x 所以 100 xx x 14 计算 Hilbert 矩阵 111 1 23 1111 2341 1111 1221 n n Hn nnnn 解 先求出 3456 HHHH的逆矩阵 1111 3456 HHHH 然后 计算 3 H 1 3 H 4 H 1 4 H 5 H 1 5 H 6 H 1 6 H 得出 3 748cond H 3 4 3 10cond H 5 5 9 10cond H 7 6 6 10cond H 15 求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解 取初始向量 0 X 0 23 123 123 123 31 1 3620 3374 xxx xxx xxx 12 123 234 34 1056 510425 2 4811 511 xx xxx xxx xx 解 1 雅可比迭代式为 1 123 1 213 1 312 1 1 3 1 2 6 1 43 7 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取 0 0 0 0 x 则 1 1 3 0 4 7 x 2 1 7 5 14 3 7 x 2 雅可比迭代式为 1 12 1 213 1 324 1 43 1 65 10 1 2554 10 1 114 8 1 11 5 kk kkk kkk kk xx xxx xxx xx 取 0 0 0 0 0 x 则 1 3 5 5 2 11 8 11 5 x 2 13 20 33 20 2 5 99 40 x 24 16 若要求精度 3 10 k xx 知 需要 10 次迭代 2 雅可比迭代矩阵为 1 000 2 12 00 25 11 00 28 1 000 5 J B 同上 需要 22 次迭代 17 求用高斯 塞德尔迭代求解 15 题的两次迭代解 取初始向量 0 X 0 1 高斯赛德迭代式 1 123 1 1 213 1 1 1 312 1 1 3 1 2 6 1 43 7 kkk kkk kkk xxx xxx xxx 取 0 0 0 0 x 则 1 1 3 1 6 1 2 x 2 1 9 2 9 13 21 x 25 2 高斯赛德迭代式 1 12 1 1 213 1 1 324 1 1 43 1 65 10 1 2554 10 1 114 8 1 11 5 kk kkk kkk kk xx xxx xxx xx 取 0 0 0 0 0 x 则 1 0 6000 2 2000 2 7500 2 2550 x 2 0 5000 2 6400 0 3369 2 2674 x 18 求用 SOR 迭代 1 1 求解 15 题的两次迭代解 取初始向量 0 X 0 解 1 1 11123 1 1 22213 1 1 1 33312 1 1 3 1 3 1 1 6 2 6 1 1 7 43 7 kkkkk kkkkk kkkkk xxxxx xxxxx xxxxx k 0 1 取 0 0 0 0 x 则 1 0 3333 0 1833 0 5007 x 2 0 0492 0 1923 0 5880 x 2 1 1112 1 1 22213 1 1 33324 1 1 4443 1 1 10 65 10 1 102554 10 1 8114 8 1 511 5 kkkk kkkkk kkkkk kkkk xxxx xxxxx xxxxx xxxx k 0 1 26 取 0 0 0 0 0 x 则 1 0 6000 2 1700 0 1815 2 2399 x 2 0 6535 2 5625 0 2554 2 0322 x 19 设有线性代数方程组 123 123 123 21 2224 25 xxx xxx xxx 1 判断雅克比迭代的收敛性 2 判断高斯 塞德尔迭代的收敛性 解 1 雅克比迭代矩阵 011 202 110 J B J IB 11 22 11 2 50 5 1 2 J B 故雅克比迭代发散 2 高斯 塞德尔迭代矩阵 1 200011 220002 112000 G S B 1 00 2 011 11 0002 22 000 11 0 42 11 0 22 11 0 22 1 00 2 2 1 0 2 G S IB 1 1 2 G S B 1 12 0 1 2 23 2 1 23 所以 232 3 2 1 2 1 2 2895Nxxxxxx 13 给出数表 33 i x123 i y2412 j y 3 试求 Hermite 多项式插值 解 12 2 24 1 3 4 24 5 8 312 2 3 2 1 1 2 4 1 2 Nxxxxx 32 4193114xxx 14 利用差分性质证明 1 2 1 21 nnn 12 1 6 1 21 222 nnnn 15 设对每一个整数 j 有 1 j j f 计算 j f 6 并对该函数做一个差分表 解 1 1 j 2 1 1 j 2 1 j 3 2 1 j 2 1 j 4 1 j 4 3 1 j 2 1 j 4 1 j 8 1 j 5 4 1 j 2 1 j 4 1 j 8 1 j 16 1 j 6 5 1 j 2 1 j 4 1 j 8 1 j 16 1 j 32 1 j 7 6 1 j 2 1 j 4 1 j 8 1 j 16 1 j 32 1 j 64 1 j 所以 6 64 1 j j f 34 16设函数11 251 12 xxy取等距样条节点 h nihixi 2 1 0 1 1 计算函数在这些节点处的函数值 并作 解 取 0 1 26 y 21 1 125 11 yh 21 125 1 yihi 2 2 251 50 i i i x x y 12 3 1 2 1 1 251 2 jh h hxxxx xS jj 1 3 2 1 1 251 2 jh h hxxxx jj 2 2 22 1 1 1 1 1 251 1 1 50 h hjxhjx hj hj 2 2 22 1 1 1 251 1 50 h jhxjhx jh jh 17 给定插值条件数据 i x0123 i y0000 和端点条件 1 0 1 30 mm 2 0 1 30 MM 试分别求满足上述条件的三次样条插值的分段表达式 解 1 易知 hi 1 j 1 2 i 1 2i 0 1 2 3 由基本方程组 jjjjji cmmm 11 2 和 1 11 3 j jjj j jj j h yy h yyj c 即有 02 2 1 0 2 1 2 2 1 21 210 mm mmm 解出 15 4 1 m 15 1 2 m 当 1 0 x时 1511 1 15 1 15 4 1 1 1 15 4 1 22 xxxxxxxxxxxxS 35 当 2 1 x时 2 1 15 1 1 2 15 4 22 xxxxxS 37 1 2 15 1 xxx 当 3 2 x时 1 3 15 1 2 xxxS 2 因为 jjjjji cmmm 11 2 0 j d0 j cj 0 1 2 3 1 0 m0 3 m 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 M M N 解出 2 15 0 0 N 15 4 1 M 15 1 2 M 由 j jjj j j jjj j j j j j j j h xxhM y h xxhM y h xx M h xx MxS 1 22 1 1 1 3 1 6 6 6 6 知 3 2 4 20 3 90 1 2 1 125 20 1 90 1 1 0 2619 1 90 1 xxxx xxxx xxxx xS 18 证明函数 00 0 3 x xx xS 对任何含 0 为节点的分划都是三次样条函数 19 证明式 4 4 32 线性无关 36 习题五习题五 1 求最小二乘拟合直线拟合如下数据 a k x 2 1012 k y12334 解 由 1 2 1 m kk k m k k xxyy b xx ayb x 其中 1 1 m k k xx m 1 1 m k k yy m 计算可得0 x 2 6y 1 7 m kk k xxyy 2 1 10 m k k xx 0 7b 2 6ayb x 该组数据的最小二乘拟合直线为 2 60 7yx b k x 4 2024 k y1 22 86 27 813 2 解 解 法 同 上 题 用matlab计 算 得0 x 6 24y 1 58 m kk k xxyy 2 1 40 m k k xx 1 45b 6 24ayb x 该组数据的最小二乘拟合直线为 6 241 45yx c k x0 00 250 500 751 00 k y1 00001 28401 64872 11702 7183 解 解法同上题 37 用matlab计算得0 5x 1 7536y 1 1 0674 m kk k xxyy 2 1 0 625 m k k xx 1 7078b 0 8997ayb x 该组数据的最小二乘拟合直线为 0 89971 7078yx 2 求最小二乘拟合一次 二次和三次多项式 拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形 a k x1 01 11 31 51 92 1 k y1 841 962 212 452 943 18 解 1 一次最小二乘拟合多项式 做法如题一 1 4833 x 2 4300 y m k k xx 1 2 0 9683 1 1810 1 m k kk yyxx m k k m k kk xx yyxx b 1 2 1 1 2196 0 6209 xbya 该一次最小二乘拟合多项式为 xbxaxp2196 1 6209 0 11 21 41 61 822 22 4 1 8 2 2 2 2 4 2 6 2 8 3 3 2 x y 2 二次最小二乘拟合多项式 设二次最小二乘拟合多项式为 2 210 xaxaaxp 由 教材分析知 系数满足如下正规方程组 38 m k kk m k kk m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k xy xy y a a a xxx xxx xxm 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 把表中的数值代入得 0962 38 808 22 9 8 8629 42023 2417 14 023 2417 149 8 17 149 86 2 1 0 a a a 解得 01085343 0 253293 1 5965807 0 2 1 0 a a a 该二次最小二乘拟合多项式为 22 210 1085343 0253293 15965807 0 xxxaxaaxp 11 21 41 61 822 22 4 1 8 2 2 2 2 4 2 6 2 8 3 3 2 x y 3 三 次 最 小 二 乘 拟 合 多 项 式 设 三 次 最 小 二 乘 拟 合 多 项 式 为 3 3 2 210 xaxaxaaxp 由教材分析知 系数满足如下正规方程组 39 m k kk m k kk m k kk m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k xy xy xy y a a a a xxxx xxxx xxxx xxxm 1 3 1 2 1 1 3 2 1 0 1 6 1 5 1 4 1 3 1 5 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 把表中的数值代入得 1883 67 0962 38 8080 22 9 8 8010 1515192 798629 42023 24 5192 798629 42023 2417 14 8629 42023 2417 149 8 023 2417 149 86 3 2 1 0 a a a a 解得 001004723 0 03533252 0 185010 1 6290193 0 3 2 1 0 a a a a 该三次最小二乘拟合多项式为 323 3 2 210 001004723 003533252 0185010 16290193 0 xxxxaxaxaaxp 11 21 41 61 822 22 4 1 8 2 2 2 2 4 2 6 2 8 3 3 2 3 4 3 6 x y b 40 k x4 04 24 54 75 15 55 96 36 87 1 k y102 56113 18130 11142 05167 53195 14224 87256 73299 50326 72 解 1 一次最小二乘拟合 做法如题一 4100 5 x 8390 951 y m k k xx 1 2 7090 0 1 9531 717 1 m k kk yyxx 0845 72 1 2 1 m k k m k kk xx yyxx b 1382 194 xbya 该一次最小二乘拟合多项式为 xbxaxp0845 721382 194 44 555 566 577 5 50 100 150 200 250 300 350 x y 2 二次最小二乘拟合多项式 设二次最小二乘拟合多项式为 2 210 xaxaaxp 由 教材分析知 系数满足如下正规方程组 m k kk m k kk m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k xy xy y a a a xxx xxx xxm 1 2 1 1 2 1 0 1 4 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 把表中的数值代入得 68007 11367 1 54 105238 175939 303 8 175939 3091 54 39 3031 5410 2 1 0 a a a 解得 61821 6 14352 1 23556 1 2 1 0 a a a 41 该二次最小二乘拟合多项式为 22 210 61821 614352 1123556 1 xxxaxaaxp 44 555 566 577 5 100 150 200 250 300 350 x y 3 三 次 最 小 二 乘 拟 合 多 项 式 设 三 次 最 小 二 乘 拟 合 多 项 式 为 3 3 2 210 xaxaxaaxp 由教材分析知 系数满足如下正规方程组 m k kk m k kk m k kk m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k m k k xy xy xy y a a a a xxxx xxxx xxxx xxxm 1 3 1 2 1 1 3 2 1 0 1 6 1 5 1 4 1 3 1 5 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 把表中的数值代入得 417730 68007 11367 1 54 40562064608105238 1759 64608105238 175939 303 105238 175939 3031 54 8 175939 3031 5410 3 2 1 0 a a a a 解得 0136742 0 84557 6 37919 2 42904 3 3 2 1 0 a a a a 该三次最小二乘拟合多项式为 32 0136742 0 84557 6 37919 2 42904 3 xxxxp 42 44 555 566 577 5 100 150 200 250 300 350 x y 3 证明正弦函数组 xnxxx 1sin 3sin 2sin sin 在点集 1 0 nk n k xX k 上线性无关 证明 假设存在 121 n ccc 使得 0 1sin 2sinsin 121 xncxcxc n 成立 由x取值于X 当nk 0 时 上述等式显然成立 当1 2 1 nk 时 由方程组 0 1 sin 1 3 sin 1 2 sin 1 sin 0 1 3 sin 3 sin 6 sin 3 sin 0 1 2 sin 6 sin 2 sin 2 sin 0 1 sin 3 sin 2 sinsin 2 321 2 321 3 2 21 321 n n c n n c n n c n n c n n c n c n c n c n n c n c n c n c n n c n c n c n c n n n n 要判断函数组xnxxx 1sin 3sin 2sin sin 在点集X上线性无关或线性 由线性代数知 识 只需判断上面导出的线性方程组的系数矩阵的行列式是否为零即可 系数行列式为 43 Adet n n n n n n n n n n nnn n n nnn n n nnn 2 2 2 1 sin 1 3 sin 1 2 sin 1 sin 1 3 sin 3 sin 6 sin 3 sin 1 2 sin 6 sin 2 sin 2 sin 1 sin 3 sin 2 sinsin 数学归纳法 当2 n时 01 2 sindet A 当3 n时 0 3 sin 3 sin2 3 4 sin 3 2 sin 3 2 sin 3 sin det A 假设当1 kn时 0det A 当kn 时 分两种情况 1 12 mkn 考察行列式的第i行和第1 in行 1 mi 元素的关系易知 n in n i 1 sinsin n in n i 1 2 sin 2 sin n in n i 1 3 sin 3 sin n in n i 1 4 sin 4 sin n inn n in 1 2 sin 2 sin n inn n in 1 1 sin 1 sin 所以我们可以把第1 in行上元素与第i行对应元素相加 1 mi 则行列式转化为 0 1 2 sin20 1 3 sin20 1 sin2 0 2 1 sin20 1 3 sin20 1 sin2 1 sin 2 sin 3 sin 2 sinsin 1 sin 2 sin 3 sin 2 sinsin n nn n n n n n nm n m n m n nm n nm n m n m n m n n n n nnn 再 将第i行对应元素与第1 in行上元素的一半对应相减 1 mi 则行列式转化为 44 0 1 2 sin20 1 3 sin20 1 sin2 0 2 1 sin20 1 3 sin20 1 sin2 1 sin00 2 sin0 1 sin00 2 sin0 n nn n n n n n nm n m n m n nm n m n n n 最后把第i列与第1 in列交换则可把行列式转化为如下的块对角行列式 CB C B A mm 1 0 0 1 det 由归纳假设0 0 CB 所以0det A 2 当mkn2 时的处理方法类似 这里从略 所以对于任意的2 n 0det A成立 由0det A我们知道前面的线性方程组有唯一的零解 即仅当0 21 n ccc 时 0 1sin 2sinsin 121 xncxcxc n 成立 所以得证 4 求解例 5 1 1 解 该问题得数据表格为 x 58108150228 y 88225365687 由数据做草图观察可设 b axT 令TYln xXln aAln 于是方程转化为一次最小二乘拟合求 bXAY 数据表格转化为 xXln 4 06044 68215 01065 4293 yYln 4 47735 41615 89996 5323 7956 4 4 4 1 k k X X 5814 5 4 4 1 k k Y Y 4998 1 4 1 2 4 1 k k k kk XX YYXX b 6108 1 XbYA 一次最小二乘拟合多项式为 XbXAY4998 16108 1 转化为原方程得未知数得方程 4998 1 1997 0 xT 此即为所求得拟合曲线 45 406080100120140160180200220240 0 100 200 300 400 500 600 700 5 求形如xbxacossin 的函数拟合如下数据 3 0 1 50 01 53 0 0 1385 2 15870 83302 2774 0 5110 解 xsin 0 xcos 1 1 k 5 4 3 2 1 k问题变为求 10 xbxaxp 使得min 2 5 1 k kk yxp 相应得正规方程组为 5 1 1 5 1 2 1 5 1 10 5 1 0 5 1 01 5 1 2 0 k kk k k k kk k kk k kk k k xybxaxx xybxxax 由于 5 1 5 1 2 2 0 2 0298 sin kk kk xx 0 cos sin 5 1 5 1 10 k kk k kk xxxx 2 9702 cos 5 1 5 1 2 2 1 kk kk xx 3724 4 sin 5 1 5 1 0 k kk k kk xyxy 4844 1 cos 5 1 5 1 1 k kk k kk xyxy 正规方程组为 4844 1 9702 2 0 3724 4 00298 2 ba ba 其解为 1541 2 a 4998 0 b 因此 所求的拟合函数为 xxxpcos4998 0 sin1541 2 46 6 求拟合函数 bx ae xp 1 1000 拟合如下数据 01234 200400650850950 解 令 1 1000 ln y Y xX 1000ln A bB 则数据表格转化为 xX 01234 1 1000 ln y Y 1 38630 4055 0 6190 1 7346 2 9444 问题变为求该组数据的一次最小二乘拟合 BxAY 计算 5 1 2 k k XX 7012 0 5 1 k k YY 0802 1 10 8015 10 5 1 2 5 1 k k k kk XX YYXX B 4591 1 XBYA 故一次最小二乘拟合多项式为 XY0802 14591 1 转化为原未知数 3021 4 A ea 0802 1 Bb 所求拟合函数为 x e xp 0802 1 3021 4 1 1000 7 设 为内积空间Y中的内积 证明 fff 为Y中的范数 证明 要证 f为范数即需要证明下列范数公理 1 齐次性 ff 2 三角不等式 gfgf 3 正定性 0 f 00 ff 222 fxfxxfxfff b a b a 2 2 22 gfggffgggfffgfgfgf gfgf 这里 应用了SchwarzCauchy 不等式 由 f得定义易见0 f 0 0 0 22 fxfxfxfff b a 得证 47 8 证明性质 5 2 3 证明 必要性 设 n 10 于 ba线性无关 采用反证法 若行列式0 10 11101 01000 10 nnnn n n n G 于是 齐次方程组 1 0 0 0 nic j n j ji 有非零解 0 1 0 ccc 即存在不全为零解 1 0 njcj 使得 1 0 0 0 nic j n j ji 记 n j jj xcy 0 于是有0 0 0 n j ijjij n j ji cxcy 从而有 0 0 0 j n j jj n j j ycxcyyy 故