04 第四节 隐函数的导数.doc

第四节 隐函数的导数分布图示 隐函数的导数 例1 例2 例3 例4 例5 对数求导法 例6 例7 例8 例9 由参数方程所确定的函数的导数 例10 例11 例12 例13 极坐标表示的曲线的切线 例14 例15 相关变化率 例16 例17 例18 例19 例20 内容小结 课堂练习 习题 2- 4 返回内容要点 一、隐函数的导数假设由方程所确定的函数为，则把它代回方程中，得到恒等式利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量求导，再解出所求导数，这就是隐函数求导法. 二、对数求导法：形如的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 三、参数方程表示的函数的导数设，具有单调连续的反函数, 则变量y与x构成复合函数关系 且 四、极坐标表示的曲线的切线设曲线的极坐标方程为.利用直角坐标与极坐标的关系 ，可写出其参数方程为，其中参数为极角. 按参数方程的求导法则，可得到曲线的切线斜率为 . 五、相关变化率： 设及都是可导函数, 如果变量x与y 之间存在某种关系, 则它们的变化率与之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例题选讲隐函数的导数 例1(E01) 求由下列方程所确定的函数的导数.解 在题设方程两边同时对自变量求导，得整理得 解得例2 求由方程所确定的隐函数的导数 解 方程两边对求导,解得 由原方程知所以例3 (E02) 求由方程所确定的函数在点处的切线方程.解 在题设方程两边同时对自变量求导，得解得在点处，于是，在点处的切线方程为，即例4 设 求在点处的值.解 方程两边对求导得代入得将方程(1)两边再对求导得 代入得 例5 (E03) 求由下列方程所确定的函数的二阶导数. 解 (代入)对数求导法例6 (E04) 设 求 .解 等式两边取对数得两边对求导得例7 (E05) 设，求 .解 在题设等式两边取对数 等式两边对求导，得解得例8 (E06) 设, 求 .解 等式两边取对数得上式两边对求导得例9 (E07) 求函数的导数. 解 参数方程表示的函数的导数例10 (E08) 求由参数方程 所表示的函数的导数.解 例11 (E09) 求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.解 例12 求方程 表示的函数的二阶导数.解 例13 如果不计空气的阻力，则抛射体的运动轨迹（图示见系统）的参数方程为其中分别是抛射体初速度的水平、铅直分量，g是重力加速度, t是飞行时间. 求时刻t抛射体的运动速度.解 因为速度的水平分量和铅直分量分别为所以抛射体的运动速度的大小为而速度的方向就是轨道的切线方向. 若是切线与轴正向的夹角，则根据导数的几何意义，有或例14 (E10) 求心形线在处的切线方程.解 将极坐标方程化为参数方程，得于是 ，又当时, 所以曲线上对应于参数的点处的切线方程为即例15 (E11) 求心形线的和.解 如图(图示见系统)，由得于是相关变化率例16 一汽车从离开观察员500米处离地面沿直上升, 其速率为140米/秒. 当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少? (图示见系统)解 设气球上升秒后，其高度为观察员视线的仰角为则上式两边对求导得 米/秒，当米时， (弧/分)极坐标表示的曲线的切线例17 一长为5米的梯子斜靠在墙上. 如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速率. (图示见系统)解 如图,表示梯子下端离墙的距离,表示梯子上端到地面的距离，这里都是时间的函数.于是 两边对求导，得 即注意到以及代入得 (米/秒)，即梯子上端向下滑落的速率为(米/秒).例18 河水以的体流量流入水库中, 水库形状是长为4000米, 顶角为的水槽, 问水深20米时, 水面每小时上升几米?解 如图(图示见系统), 上式两边对求导得米/小时,当米时, 米/小时（水面上升之速率）.例19(E12) 正在追逐一辆超速行驶的汽车的巡警车由正北向正南驶向一个垂直的十字路口，超速汽车已经拐过路口向正东方向驶去，当它离路口东向1.2千米时，巡警车离路口北向1.6千米，此时警察用雷达确定两车间的距离正以40千米/小时的速率增长（示意图见右）.若此刻巡警车的车速为100千米/小时，试问此刻超速车辆的速度是多少？解 以路口为原点，设在t时刻超速汽车和巡警车离路口的距离分别为x km、y km，则两车的直线距离s为km,易知x、y、s均为时间t的函数，且知分别表示超速汽车、巡警车在t时刻的瞬间速度，表示两车在t时刻的相对速度，将提问中的时刻记为.现对=的两边对t进行求导，得：=将时刻的数据，=2，（符号取负，是因为y值逐渐变小），代入上式，得=千米/小时故所求时刻超速车辆的速度为120千米/小时例20(E13) 现以18升/分钟的速度往一圆锥形水箱注水，水箱尖点朝下，底半径为0.5米，高为1米求注水高度为0.3米时水位上升的速度有多快（示意图见下）。解所求问题可归纳为求，表示注水t分钟后水箱内水位高度，此时水表面为一半径为h/2 米的圆，故我们可求得此时水箱内水的体积，从水的注入体积的角度考虑也可得到t分钟后往水箱注入了18t升的水，于是可得h和t的函数关系式：=18t化简得，对等式的两边关于t求导，得：，