(文章)走进圆中的几何变换.doc

彰显数学魅力 演绎网站传奇 彰显数学魅力 演绎网站传奇 学数学学数学 用数学专页报用数学专页报 第 1 页 共 4 页 版权所有版权所有 少智报少智报 数学专页数学专页 走进圆中的几何变换走进圆中的几何变换 在近几年的各地中考中 几何变换作为一种数学思想与方法 不断地被命题者青睐与 关注 在现行的初中数学课本中 主要存在平移 旋转和轴对称 即翻折 三种几何变换 它 们最大的特征都是不改变图形的形状和大小 只改变图形位置的变换 而圆作为初中阶段 最核心最重要的内容 越来越被作为呈现知识和能力的载体 为此 让我们结合各地中考 试题 一同走进圆中的变换世界 感受它的魅力与亮点 一 利用平移构造一 利用平移构造 例例 1 如图 P 内含于 O O的弦AB切 P 于点C 且OPAB 若 阴影部分的面积为 9 则弦AB的长为 A 3B 4 C 6 D 9 思路点拨 思路点拨 两圆内含 阴影部分的面积为 9 如果将 P 向左平移 与 O 构造同心圆 此时阴影部分的图形为环形 如图 2 则此时 COB 已构造成直角 三角形 解析 解析 环形的面积为 222222 9RrRrOBOC 则弦 AB 2BC 22 2 3OBOC 6 故此题选 C 点评 点评 通过对小圆的左移 构造出两圆为同心圆的特殊位置 并进而形成了一个圆环的阴 影部分 由切线的性质并进而构造出圆的垂径定理 勾股定理等需要知识 二 利用翻折构造二 利用翻折构造 例例 2 如图 O 的半径为 2 C1是函数 y 1 2 x2的图象 C2是 函数 y 1 2 x2的图象 则阴影部分的面积是 思路点拨 思路点拨 图中阴影部分是由三种不规则的图形的构成 通过观察发现 如果借助翻 折变换的数学思想方法 便可将 X 轴下方的阴影部分翻折上去 与另两部分阴影刚好构造 成半圆形 此时的阴影部分面积刚好半圆形的面积 此题便可快速解决 解析 解析 阴影部分的面积为半圆形的面积 2 1 22 2 点评 点评 翻折问题的实质是轴对称变换 把握翻折的两部分是全等图形 重合图形 通 过翻折 将非特殊图形转化为特殊图形 半圆形 解题的关键是面积的割补及转化的数学 思想方法 三 利用旋转构造三 利用旋转构造 例例 3 1 如图 1 圆内接 ABC 中 AB BC CA OD OE 为 O 的半径 OD BC 于 点 F OE AC 于点 G 求证 阴影部分四边形 OFCG 的面积是 ABC 面积的 3 1 2 如图 2 若 DOE 保持 120 角度不变 求证 当 DOE 绕着 O 点旋转时 由两条半径 和 ABC 的两条边围成的图形 图中阴影部分 面积始终是 ABC 例 1 图 1 BAC PO 例 1 图 2 BAC O 彰显数学魅力 演绎网站传奇 彰显数学魅力 演绎网站传奇 学数学学数学 用数学专页报用数学专页报 第 2 页 共 4 页 版权所有版权所有 少智报少智报 数学专页数学专页 面积的 3 1 思路点拨 思路点拨 如图 连 OA OC 则由于 DOE AOC 120 也就是 FOC 绕 O 点 逆时针旋转 120 得到 EOA 此时阴影部分的面积为 AOC 的面积 而 AOC 的面积是 整个三角形 ABC 的面积的三分之一 解析解析 证明 过点 O 作 OH AB 于点 H 等边 ABC 是 O 的内接三角形 OD BC OH AB OE AC B C 60 BHO BFO CFO CGO 90 BH BF CF CG OH OF OG FOH FOG 180 60 120 四边形 四边形 同理 四边形 四边形 四边形 四边形 四边形 AHOGBHOFCFOG S SS四边形四边形四边形 又 ABCAHOGBHOFCFOGCFOG S S S 3SS 四边形四边形四边形四边形 ABCCFOG 1 S S 3 四边形 证明 过圆心 分别作 垂足为 则有 OMF ONG 90 OM ON MON FOG 120 MON FON FOG FON 即 MOF NOG MOF NOG ABCCFOGCMON 1 S S 3 S 四边形四边形 若 DOE 保持 120 角度不变 当 DOE 绕着 O 点旋转时 由两条半径和 ABC 的两条边围成的图形 图中阴影部分 面积始终是 ABC 的面积的 3 1 点评 点评 旋转变换是将已知图形 或其中一部分 绕一点进行旋转 构造出新的图形 进而 揭示条件和结论之间的内在联系 找到解题的途径 由特殊到一般是我们常用的一种数学 思考方法 本题的关键在于充分利用旋转变换和面积的割补法来完成 实战演练 请编辑根据需要选用 实战演练 请编辑根据需要选用 1 如图 已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8 0 的半径为 2 圆心在正方形的中心上 将纸片按图示方式折叠 使 EA 恰好与 0 相切于点 A EFA 与 0 除切点外无重叠部分 延长 FA 交 CD 边于点 G 则 A G 的长是 第 1 题 彰显数学魅力 演绎网站传奇 彰显数学魅力 演绎网站传奇 学数学学数学 用数学专页报用数学专页报 第 3 页 共 4 页 版权所有版权所有 少智报少智报 数学专页数学专页 2 如图 A B 的圆心 A B 在直线 l 上 两圆半径都为 1cm 开始时圆心距 AB 4cm 现 A B 同时沿直线 l 以每秒 2cm 的速度相向移动 则当两圆相切时 A 运动的时间为 秒 3 如图 A 和 B 都与 x 轴和 y 轴相切 圆心 A 和圆心 B 都在反比例函数 1 y x 的图象 上 则图中阴影部分的面积等于 4 如图 圆心角都是 90 的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起 连结 AC BD 1 求证 AC BD 2 若图中阴影部分的面积是 2 4 3 cm OA 2cm 求 OC 的长 参考答案参考答案 1 16 3 2 2 4 6 3 4 解 1 证明 第 2 题 第 3 题 第 4 题 彰显数学魅力 演绎网站传奇 彰显数学魅力 演绎网站传奇 学数