距离空间的可分性与完备性.ppt

距离空间的可分性 有理数在实数集中的稠密性 第三节距离空间的可分性与完备性 距离空间的完备性 实数的完备性 一般距离空间的完备化 已知 在实直线上 存在一个处处稠密的可数子集Q 且成立完备性定理 即柯西收敛原理 问题 在一般的距离空间中 是否存在一个处处稠密的可数子集 完备性定理是否总成立 一 距离空间的可分性 1 距离空间中的稠密子集 定义1 稠密性 设X是距离空间 A X B X 1 B在A中稠密 若对于 x A xn B 使xn x n 2 B在X中处处稠密 或B是X的一个稠密子集 若对于 x X xn B 使xn x n 例1有理数集在R中处处稠密 例2Rn中的有理点集在Rn中稠密可数 例3多项式集合P在C a b Lp a b 中处处稠密 魏尔斯特拉斯一致逼近定理 x t C a b pn t P 使pn t x t n 即pn t 按C a b 中的距离收敛于x t 例4 a b 上的有界可测函数集合B a b 在Lp a b p 1 中处处稠密 证 x t Lp a b 定义函数列 xn t n 1 2 是 a b 上的有界可测函数 且有 x t Lp a b x t p L1 a b 0 0 使当E0 E a b m E0 时 有 N 当n N时 m E x n xn x n B a b 在Lp a b 中稠密 L积分的绝对连续性 例5 a b 上的连续函数集合C a b 按Lp a b 中的距离在Lp a b 中处处稠密 证 由上例知B a b 在Lp a b 中稠密 只要证明按Lp a b 中的距离C a b 在B a b 中稠密即可 x t B a b x t K 0 2K p y t C a b 使得m E x t y t 由鲁金定理 不妨设 y t K E0 E x t y t x y C a b 在B a b Lp a b 中稠密 2 距离空间的可分性 定义2 可分距离空间 设X是距离空间 X是可分距离空间 若X中存在一个处处稠密且可数的子集 注 1 A X是可分集 存在稠密点列 xn A 2 X不可分 X中没有任何处处稠密的可数子集 X是可分距离空间 存在稠密点列 xn X 例1R是可分的 有理数集在R中处处稠密 可数 例3多项式集合P是可分的 有理系数多项式集合P0在多项式集合P中可数稠密 例2Rn是可分的 Rn中的有理点集在Rn中稠密可数 例4C a b 是可分的 多项式集合P在C a b 中处处稠密 因而有理系数多项式集合P0在P C a b 中处处稠密可数 证 1 设x t C a b 由魏尔斯特拉斯一致逼近定理 0 p t P C a b 使 x p max x t p t 0 p0 t P0 P 使 p p0 max p t p0 t 0 p0 t P0 P C a b 使 x p0 max x t p0 t max x t p t max p t p0 t p0 t S x P0按C a b 中距离在C a b 中稠密 而P0 C a b 是可数集 因而C a b 可分的 p0 t S x P0按Lp a b 中距离在Lp a b 中稠密 而P0是可数集 因而Lp a b 可分的 证设x t C a b 由上例有 0 有理系数多项式p0 t P0 使 C x p0 max x t p0 t b a 1 p 例5Lp a b 是可分的 多项式集合P在C a b Lp a b 中稠密 有理系数多项式集合P0在Lp a b 中稠密可数 例6lp p 1 与c都是可分的 有理点集A x x1 xn 0 xi Q 在lp p 1 和c中都处处稠密 例7设X是离散距离空间 证明X可分 X是可数集 证 在离散距离空间中设有稠密真子集 所以X中唯一的稠密子集只有X自身 故X可分 X可数 注 可见并非所有的距离空间都是可分的 注 定义在任何一个势为 即不可数 非空集合上的离散距离空间一定是不可分的 上例中的A也是不可分的 2 证明m中没有可数稠密子集 反证法 设m可分 A0 x 1 2 n i K m可数 且在m中稠密 A0 xk xk 1 k 2 k n k A0 且A m S xk 1 3 k 1 2 A0可数 A不可 x y A x y 并 x0 A0 使S x0 1 3 x y 1 x y x x0 x0 y 1 3 1 3 2 3 矛盾 故m不可分 例8有界序列空间m都是不可分的 证 1 首先证明m中存在不可数集 设A x 1 2 n i 0or1 m x 1 n A y 1 n A x y x y sup i i 1 0 1 x 0 1 2 n i 0or1 A A m不可数 二 距离空间的完备性 1 距离空间中的基本列 或柯西列 定义3 基本列 设X是距离空间 xn X xn 是X中的基本列 若当m n 时 有xm xn 0 即对于 0 N N 当m n N时 有 xm xn 0 N 当m n N时 同时有 xn x N时 有 xm xn xn x xm x xn 是基本列2 但距离空间中基本列未必是收敛列 不同于实数域 例如 X 0 1 x y X x y x y 点列 xn 1 n 1 是X中的基本列 但它在X中不收敛3 距离空间中的任何基本列都是有界列 同实数域 例1R按通常距离 x y x y 完备 R上每个基本列都收敛 例2坐标平面上的有限点集X按通常的距离定义是完备的距离空间证 因为X中的基本列只能是 常驻点列 即其中元素列出有 x1 x2 xr xk xk xn xk 因此X是完备的 定义4 完备距离空间 X是完备距离空间 如果X中的任何基本列都收敛于X中的点 2 完备距离空间 注 1 在完备的距离空间中 基本列一定是收敛的 2 X是不完备的距离空间 是指X中存在着不收敛于X内的点的基本列 例3离散距离空间是完备的距离空间 证 因为离散距离空间中的基本列的元素都相同 因而收敛 例4C a b 按距离 x y max x t y t 是完备距离空间 证 设 xn C a b 是基本列 0 N N 当m n N时 有 xn xm max xn t xm t N时 有 xn t xm t x t 使得xn t x t 一致 柯西一致收敛定理 又xn xn t C a b xn t 在 a b 上连续 x t 在 a b 上连续 一致收敛函数列的保连续性质 x t C a b x C a b 使得xn x X是完备的 例5Rn按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的 证 x k Rn为一基本列 对于i 1 2 n 当k j N时 有 设xi k xi k i 1 2 n 令x x1 xn Rn k Rn按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的 xi k 是基本列 因而 xi k 收敛 0 N 当k j N时 有 0 N 当k N j 时 有 例6空间Lp a b lp l orm c均为完备的距离空间 证 x k l 为一基本列 对于i 1 2 n 当k j N时 有 xi k xi j 对每个i xi k 是基本列 因而收敛 设xi k xi k i 1 2 n 令x x1 xn 下面证x l 当n N时 有 x k l xi k Mk k 1 2 xi xi xi k xi k Mk i 1 2 x x1 x2 xn l 0 N 当k j N时 有 例7有理数集Q按距离 x y x y 是距离空间 但不完备 事实上 在有理数集Q中 有理数列 1 1 n n 收敛 因而是基本列 但其极限为e Q 故Q不完备 例8 a b 上实系数多项式全体P a b 按C a b 中通常的距离构成C a b 的子空间 但它是不完备的距离空间 事实上 存在多项式列pn t 一致收敛于x t x t C a b x t P a b 但是确实存在着不完备的距离空间 例9C 0 1 按距离构成的距离空间 是L1 0 1 的子空间 但它按 1 x y 不完备 m 1 2 xm C 0 1 是基本列 证 构造函数列 xm t C 0 1 如果存在x t 使 1 xm x 0 m 由于 显然x t C 0 1 所以C 0 1 按距离 1 x y 不完备 可以证明 xm 在C 0 1 中按 1 x y 不收敛 例10C a b 按距离构成的距离 空间是L2 a b 的子空间 但它按 2 x y 不完备 证 构造函数列 xn t C a b xn t 2 且在 a b 上处处有 勒贝格有界收敛定理 xn t 按距离 2收敛于x t xn t 是距离空间 C a b 2 中的基本列 距离空间中的任何收敛点列都是基本列 基本列 xn t 的极限函数x t a b 距离空间 C a b 2 不完备 注证明一个距离空间X不完备 通常有两种方法 1 构造X中的一个基本列 然后说明该基本列在X中无极限 2 直接构造X中的一个极限函数不属于X的收敛点列 该点列一定是X中的基本列 定理1 完备距离空间的性质 设X是完备距离空间 1 xn 是基本列 xn 是收敛点列 x X 使xn x2 F X F是X的闭子空间 F是X的完备子空间证 1 充分性 设 xn X x X xn x 0 N 0 当n N时 xn x N m N时 xn xm xn x x xm xn 是基本列 必要性 设 xn X是基本列 X完备 xn X是收敛点列 完备性定义 2 必要性 设 xn F X是基本列 F是X的闭子空间 X完备 xn 是基本列 x X 使xn x n F闭 x F F xn 在F中收敛 F完备 充分性 设F完备 xn F xn x xn F是基本列 F完备 x F F是闭的 3 完备距离空间的两个基本定理 定义5 稀疏集与第二纲集 设X是距离空间1 若X中任一个球都含有某一个球 使后者不含A的点 则称A为X中的稀疏集 疏朗集 2 若A An 每个An都在X内稀疏 则称A是在X内的第一纲集 而X内的非第一纲集的集合称为第二纲集 注 1 在稀疏集定义中 任意球 可以是开球或闭球 2 在R中 有理数集是第一纲集 而无理数集是第二纲集 定理3设X是距离空间 A是稀疏集 A不在X的任意球中稠密 证 设A稀疏 S x0 S x1 S x0 使S x1 A A不在S x0 中稠密 设A不在任一球中稠密 S x0 x1 S x0 但x1 A S x1 S x0 使S x1 A 定理4 第二纲集定理 设X是完备的距离空间 则X是第二纲集 推论 给定完备的距离空间X 若A X是第一纲集 则AC是第二纲集 例如 由于有理数是R内的第一纲集 故无理数是R内的第二纲集 注 1 闭球套定理是完备距离空间中的重要定理之一 刻划了距离空间的完备性 是实数中的康托区间套定理的推广 2 第二纲集定理是完备距离空间的重要定理之二 完备性可以使空间具有很好的性质和广泛的应用 对于不完备的距离空间 它在应用上将会造成很多困难 4 距离空间的完备化 问题 能否在不完备的距离空间中补充一些新 点 使之成为完备的距离空间 例如在有理数集Q中加入 无理数 便得到完备度量空间R 并且Q在R中稠密 这就是所谓的距离空间完备化问题 定义6 等距映射与等距同构 设 X X 和 Y Y