(已修改)理学院 数学10-3班 伍惠莲 17号(学年论文-线性规划在经济中的应用)123.doc

学号： 10124090317 学年论文题 目 ：线性规划在经济中的应用Title : Application of linear programming in the economy学院 理学院 专业 数学与应用数学（师范）班级 数学10-3 学生 伍惠莲 指导教师（职称） 龚小玉（讲师） 完成时间 2012 年 4 月 1 日至 2012 年 4 月 10日指导教师评语：评分： 签名： 摘要线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策在经济领域里，这种问题很多对线性规划应用四原则进行了研究，从一些例子谈起，介绍了线性规划理论如何在经济领域里，解决这类问题，对经济管理中有限资源进行合理分配，从而获得最佳经济效益目前，线性规划发展非常迅速，已渗透到经济活动的各个领域关键词：线性规划应用四原则 经济活动 数学方法 AbstractLinear programming is a fundamental branch of operations research, which is widely used in science and technology and existing mathematical methods, to solve practical problems, to help decision makers to choose the optimal policy and decision making. In the economic field, the problem of a lot of. The application of linear programming four principles are studied, starting from some examples, describes how the theory of linear programming in the economic field, to solve this kind of problem, rational allocation of limited resources in economic management, so as to obtain the best economic benefit. At present, the linear programming is developing very fast, it has penetrated into every field of economic activities.Keywords: Application of linear programming to four principles economic activity method in mathematics15 引言在日常生活中，遇到重大问题需要决策时，总要作一番规划：如何利用已有的人、财、物等条件，取得的工作效果有些人习惯于凭经验决定，对重大问题常导致差之毫厘，失之千里的后果经验是靠不住的，只有当经验升为理论是才具有可靠性最可靠的方法是将问题量化，利用数学方法找出好的答案：先将与问题有关的已知条件及要解决的目标都转化为数学式子，通过数学运算，求出最好的解决方案这是日常工作中讲究效益问题所反映出的“最优化”要求线性规划正是“最优化”理论的其中一个重要分支线性规划工作的一个很重要任务是在数量上计算出各种“最优”为日常工作中的经济利益服务下面仅从一些实际例子谈谈如何利用线性规划理论指导日常工作中的经济活动这些实例包括线性规划应用四则：合理利用线材问题、配料问题、生产与库存的优化安排问题、连续投资问题1. 线性规划应用四原则11 合理利用线材问题例10 现要做100套钢架，每套需用长为 2.9m，2.1m 和 1.5m 的元钢各一根已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省？ 分析：最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，每根材料剩下料头0.9m（7.4-2.9-2.1-1.5=0.9) 为了做100套钢架，需用原材料100根，共有90m料头若改为用套裁，这可以节约原材料下面有几种套裁方案，都可以考虑采用见表1-11：表1-11解：为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案设按方案下料的原材料根数为x1,方案为x2，方案为x3，方案为x4,方案为x5根据表1-11的方案，可列出以下数学模型： 在以上约束条件中加入人工变量x6,x7,x8；然后用表1-12进行计算表1-12第1次计算：第2次计算 最终计算表（第3次计算）由计算得到最优下料方案是：按方案下料30根；方案下料10根；方案下料50根即需90根原材料可以制造100有非基变量的检验数为零，所以存在多重最优解12 配料问题例11 某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1-13和表1-14该厂应如何安排生产，使利润收入为最大?表1-13 表1-14解： 如以AC表示产品A中C的成分，AP表示产品A 中P的成分，依次类推根据表1-13有：这里，AC+AH+AP=A；BC+BP+BH=B （1-40）将（1-40）逐个带入（1-39）并整理得到表1-14表明：加入到产品A、B、D的原材料C总量每天不超过100kg，P的总量不超过100kg，H总量不超过60kg由此得约束条件AC+BC+DC100,AP+BP+DP100,AH+BH+DH60.在约束条件中共有9个变量，为计算和叙述方便，分别用x1,x9表示令x1=Ac, x2=Ap, x3=AH,x4=BC, x5=BP, x6=BH,x7=DC, x8=DP, x9=DH. 约束条件可表示为： 目标函数：目的是使利润最大，即产品价格减去原材料的价格为最大 产品价格为： 50(x1+x2+x3)产品A 35(x4+x5+x6) 产品B 25(x7+x8+x9) 产品D 原材料价格为： 65(x1+x4+x7)原材料C 25(x2+x5+x8) 原材料P 35(x3+x6+x9) 原材料H为了得到初始解，在约束条件中加入松弛变量x10x16，得到数学模型：例11的线性规划模型用单纯形法计算，经过四次迭代，得最优解为： x1=100,x2=50,x3=50.这表示：需要用原料C为100kg，P为50kg，H为50kg，构成产品A即每天只生产产品A为200kg，分别需要用原料C为100kg，P为50kg，H为50kg 从最终计算表中得到，总利润是z=500元/天1.3 生产与库存的优化安排问题例12 某工厂生产五种产品(i=1,5)，上半年各月对每种产品的最大市场需求量为dij(i=1,5; j=1,6)已知每件产品的单件售价为Si元，生产每件产品所需要工时为ai，单件成本为Ci元；该工厂上半年各月正常生产工时为rj(j=1,6)，各月内允许的最大加班工时为rj;Ci为加班单件成本又每月生产的各种产品如当月销售不完，可以库存库存费用为Hi(元/件月)假设1月初所有产品的库存为零，要求6月底各产品库存量分别为ki件现要求为该工厂制定一个生产计划，在尽可能利用生产能力的条件下，获取最大利润？解：设xij和xij分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量；yij为i种产品在第j月的销售量，wij为第i种产品第j月末的库存量根据题意，可用以下模型描述： (1) 各种产品每月的生产量不能超过允许的生产能力，表示为：(2) 各种产品每月销售量不超过市场最大需求量 yi jdij (i=1,5;j=1,6)(3) 每月末库存量等于上月末库存量加上该月产量减掉当月的销售量(4) 满足各变量的非负约束 (5) 该工厂上半年总盈利最大可表示为： 1.4 连续投资问题例13某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大?解： (1) 确定决策变量这是一个连续投资问题，与时间有关但这里设法用线性规划方法，静态地处理以xiA,xiB,xiC,xiD(i=1,2,，5)分别表示第i年年初给项目A，B，C，D的投资额，它们都是待定的未知变量根据给定的条件，将变量列于表1-15中表1-15(2) 投资额应等于手中拥有的资金额由于项目D每年都可以投资，并且当年末即能回收本息所以该部门每年应把资金全部投出去，手中不应当有剩余的呆滞资金因此：第一年：该部门年初拥有100000元，所以有：x1A+x1D=100000； 第二年：因第一年给项目A的投资要到第二年末才能回收所以该部门在第二年初拥有资金额仅为项目D在第一年回收的本息x1D(1+6%)于是第二年的投资分配是：x2A+x2C+x2D=1.06x1D ；第三年：年初的资金额是从项目A第一年投资及项目D第二年投资中回收的本利总和：x1A(1+15%)及x2D(1+6%)于是第三年的资金分配为 x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D ； 第四年：与以上分析相同，可得x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D ；第五年：x5D=1.15x3A+1.06x4D 此外，由于对项目B、C的投资有限额的规定，即：x3B40000，x2C30000(3) 目标函数 问题是要求在第五年末该部门手中拥有的资金额达到最大，与五年末资金有关的变量是：x4A,x3B,x2C,x5D;因此这个目标函数可表示为： max z=1.15x4A+1.40x2C+1.25x3B+1.06x5D(4) 数学模型经过以上分析，这个与时间有关的投资问题可以用以下线性规划模型来描述：(5) 用两阶段单纯形法计算结果得到：第一年： x1A=34783元，x1D=65217元；第二年： x2A=39130元，x2C=30000元，x2D=0；第三年： x3A=0，x3B=40000元，x3D=0；第四年： x4A=45000元，x4D=0；第五年： x5D=0；到第五年末该部门拥有资金总额为143,750元，即盈利43.75%另一个的投资方案：第一年： x1A=71698元，x1D=28300元；第二年： x2A=0元，x2C=30000元，x2D=0；第三年： x3A=42453元，x3B=40000元，x3D=0；第四年： x4A=0元，x4D=0；第五年： x5D=48820元还可以有其他的方案结论综上所述，线性规划理论主要有两大类：一是一项任务确定后，如何统筹规划，尽量做到用最少的人力物力资源去完成这一任务；二已有一定数量的人力物力资源，如何规划使用，使完成的任务最多这两类问题是一个问题的两个方面，即寻找整个问题的某种指标的最优解线性规划应用四原则有：合理利用线材问题、配料问题、生产与库存的优化安排问题、连续投资问题，而求解线性规划的有效方法有：图上作业法、椭圆算法、卡马卡算法、单纯形法等，各种算法有其特点和优点，但都不能替代理论较完善、实用性强的单纯形法如今，线性规划理论发展非常迅速，已渗透到经济活动的各个领域：除了合理利用线材问题、配料问题、生产与库存的优化安排问题、连续投资问题，还有交通运输、人事指派外、城市规划、工农业布局、服务网点、设备利用、环境优化、国防建设等随着计算机技术的迅猛发展，线性规划的应用日益广泛各种新的算法不断出现，如内点法、大步长跟踪算法、鞍面算法等在我国，线性规划方法已成为国家重点推广的现代管理方法之一参考文献：1管梅谷，郑汉鼎.线性规划.济南:山东科学技术出版社,1983.