13.2011年全国高中数学联赛福建赛区预赛.pdf

3 4 中 等 数 学 2 0 1 1 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 2 0 1 0 0 3 4 0 5 一 填空题 每小题 6分 共 6 o分 1 函数 s i n 4 s i n C O S C O S 4 的最大值为 2 已知 Js 分别是等差数列 0 b 的前 n 项的和 且 鲁 n l 2 石 l z J 则 一 3 若函数 f x lo g 4 詈 在区间 1 2 上为增函数 则 口的取值范围 是 正切值为 2时 一 B C 罔1 5 已知定义在 R上的函数 满足 1 1 1 2 当0 0 3 对任意的实数 Y 均有 y 一 一 Y 2 f 1 一 则 6 已知实数 x y满足 3 x 4 y 2 4 8 则 丽 的最大值为 7 已知正整数 z 满足 x y z 1 4一 1 4一 Y 1 4一 且 Y b 口 其图像过点 1 0 并与直线 Y 一 a有公共 L 点 证明 0 旦 1 a 1 3 如 图 2 设 锐角 A B C的外接 圆为 2 0 1 2年第 1 期 3 5 I冬l 2 圆 厂 过点 B C作 圆 厂 的两条切线 交于点 P 联结 A P与 B C交于点 D 点 E F分别在边 A C A B上 使得 D E B A D F C A 证明 筹 2 B C F B E F 1 4 已知 e 一 一1 e为 自然对数 的底数 证明 1 0恒成立 去 对一切正整数 n均成立 1 5 已知 P P z P 是平 面内凸三十 五边形的3 5 个顶点 且 P P 2 P 3 中任何 两点之间的距 离不小 于 证 明 从这 3 5 个点中可以选 出五个 点 使得这五个点 中任 意两点之间的距离不小于 3 参 考 答 案 一 一1言 注意到 s i n 4 x s i n C O S C O S 4 s i n C O S 2 2 s i n 2 C 0 8 2 s i n C O S 1 一 s in 2 告 s in 2 一 s in 2 x 丢 詈 故 当 sin 2 吉 时 取 最 大 值 詈 2 4A 78 因为 a 与 b 均为等差数列 所以 a l o a 1 1 a l o a t l 一 一 b b 3 b l 8 b 6 b l 5 bl b 2 0 b 1 b 2 0 0 一 一 2一 1 一 1 一 bl b 2 0一 一4 x2 0 2 7 8 3 1 4 设 g 4 x a 由题设知 当0 a 1 时 g 在区间 1 2 上为增函 数 即 l 0 4 因此 a的取值范围为 1 4 4 2 由 l 面 A B C 知 D A上 A B 面 D A B上面A B C 如图 3 取 A B 的 中点 0 则 由题 设 知 C O上 A B C O 上 面 D A B 且 CO 作 O E上 D B于 点 联结 C E 则 叩 上 册 罔 从 而 O E C为二面角 一肋 一C的平 面角 设 D A 则 OE 1 3 6 中 等 数 学 E h t a n O E C O C 2 知 厢 2 2 故 舱 2 2 2 5 告 令 了2 y 了 1 由 3 得 一 了1 了 1 结 合 1 l 0 解 得 1 6 8 设点 P 在椭圆 2 2 l上 A 2 0 为椭 圆的右焦点 点 B 1 一2 在椭 圆内 设椭圆的左焦点为 2 0 长轴长为 2 a 则 丽 研 I P AI I P BI 2 a I P BI I P F 1 2 口 I Fl BI 8 当且仅当P是射线 B F 与椭圆的交点 时 上式等号成立 7 2 1 9 由题设知 均为小于 1 4的正整数 另一方面 将题设等式展开得 2 m 1 4 3 1 4 2 x y 1 4 x y y z 从而 7 I x y z 又x y 1 4 故 g 中至少有一个数 为 7 不妨设 z 7 则题设等式化为 x y 1 4一 1 4一 Y 1 4 此时 的最大值为 1 1 3 从而 2 的最大值为 1 1 3 7 21 9 8 记第 i 次比赛时取到tn 个新球的概率为 P n 易知 P l 是 Pl 1 I I 6 P l 2 5 3 0 故 耋 0 P J 小警 m E l l 6 3 3 6 3 7 而 而 而 而 P 2 1 0 c 小 m 乙 1 6 6 6 3 4 5 4 而 而 而 而 而 而 fi塞t 0 P l 小警 l 3 6 l 9 而 而 而 而 则蟛 0 2 9 2 0 1 3 设 n x 2 x一 易知 当 l 为正整数时 f C 为增 函数 当 n 2时 n 一 n n n 1 0 故 当 n 2时 方程 肼 2 一 l 0右 唯 一 实 根 且 1 2 0 1 2年第 1 期 3 7 从而 n n 1 b 口 知 a 0 又 由 6 口 知 0 一 6 0 0 故 0 1 1 3 1 由题设知 朋 P C ABP 1 8 0 一 A A C P 1 8 0 一 A BC 则 ABs i n ACB AB 一 A Cs i n A BC A C 2 因为 D E B A D F C A 所 以 四边 形 A E DF为平行四边形 于是 A F D E A E F D 且 一ED一 一 A B C B A C B C 从而 A F D E A B C D A E F D A C B D 又 筹 A C 2 B D A B 2 C D 则 E A C A C 2 B D A B 2 C D AF AB 3 8 中 等 数 学 因此 c E 四点共圆 故 B C F B E F 1 4 1 由f e 一l 知 当 0时 0时 f 0 因此 J 厂 在区间 0 上为减 函数 在 O 上为增 函数 从而 0 0 2 由 1 知不等式 1 e 恒成立 故对任意的正整数 n有 0 1 一 e 一 五 1 2 2 n 一 1 即0 O 寺 则 i 1 e 一 丁2i 1 一正 l e一 一e一1 1 5 先证明一个引理 引理设 P为 P 1 P 2 P 3 5 这 3 5个点 中的任意一点 则在余下的3 4个点中 至多 有六个点与点 P的距离小于 3 证明用反证法 如图4 假设有 7个点 不妨设为 P P 与点 P的距离小于 3 P 2 PI 网4 6 由 题设 知 P iP P i 1 1 8 0 i l 故 P P P i 1 2 6 这六个角中 至少有 一个 角不大于 3 0 不妨设 P P P 3 O 设 P P I P P 2 Y 则 P1 P2 y 2 2 x y c o s Pl PP2 Y 一2 x y c o s 3 0 y 2一 根据对称性不妨设 y 由于 l 3 y 3 因此 P I P 2 y 一 Y x y 一 卜 y 2 在区间 y 3 上为增函数 故P l P 2 3 9 一 3 y y 一 学 詈 一 警卜詈 从而 P P 与条件矛盾 回到原题 根据 引理 从 点 P 出发 的 3 4条线 段 P P P P P P 3 中至多有 6条线段的长 度小于 3 即至少有 2 8条线段的长度不小 于 3 不妨设线段 P P 2 P P 3 P P 的长度不 小于 3 再考虑从点 P 出发的 2 7条线段 P z P P P 4 P P 同理 至少有 2 1条线段的长 度不小于3 不妨设线段 P 2 P 3 P 2 P P P 2 3 的长度不小于 3 再考虑从点 P 出发的2 0条线段 P 尸 P P 5 P P 2 同理 至少有 1 4条线段 的长 度不 小 于 3 不妨 设 线 段 P 3 尸 4 P 3 P P P 的长度不小于 3 再考虑从点 P 出发的 l 3条线段 P P P 4 P 6 P 4 P 同理 至少有 7条线 段的长 度不 小 于 3 不 妨 设 线 段 P 4 P P