曾谨言 量子力学第一卷 习题答案解析9第九章.pdf

第九章 定态微扰论 1 设非简谐振子的哈密顿量为 22 0 2 22 2 1 2 x dx d H 为常数 取 22 0 2 2 0 2 1 2 x dx dh H 2 xH 试用定态微扰论求其能量及能量本征函 数 解 一级能量本征值修正量 本题是一维 无简并的 按本章 9 1 公式 1 k kk W 从 3 3 知道一维谐振子波函数是 xHe k x k x k k 2 22 2 但 1 x x k x k x kkk dxxHex k dxxE 23 3 1 22 2 2 但根据 3 3 一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的 或奇或偶 因而 xHn 2 必 定是个偶函数 2 式中被积函数就应是奇函数 又因积分限等值异号 结果有 0 1 k E 一级波函数修正值 据 9 1 公式 12b 0 0 0 0 n nk nk kk EE H 3 2 1 0 kEk 3 微扰矩阵元 nknk WH 要涉及厄密多项式相乘积的积分 为此利用关于 0 k 的一个递推公 式 90 p 问题 2 2 1 2 1 0 1 0 1 0 nnn nn x 4 将此式遍乘x 再重复使用 4 5 4 2 1 2 1 4 1 1 2 2 2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 2 1 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0 0 2 2 0 1 0 1 0 2 n nn nn nn nnn nn n nn nnn nnn x n x n x 再将此式遍乘x 重复使用 4 式 4 2 1 2 1 4 1 1 0 2 0 0 2 2 0 3 nn nn nn xn x nn x 3 2 1 1 1 3 3 2 1 8 1 0 3 0 1 0 1 0 3 3 nn nn nnnnn nnnnn 6 利用公式 6 来计算微扰矩阵元 nk W dxxxW knnk 2 将 6 式中的n换成k代入前一式 并注意 0 n 是正交归一化的 即 nkkn dxxx 0 0 dxkkk kkkk kkk a W k kk nnnk 3 2 1 1 1 33 2 1 8 1 0 3 0 1 0 1 0 3 3 0 7 3 2 1 1 1 3 3 2 1 8 2 1 1 3 2 kn kn knkn kkk kk kkkkk k是固定指标 故 nk W只有当n取下述四值时不为零 即 8 3 1 1 3 kkkkn 但要注意 当n取用一个值时 就不能再取其他值 所以n取定后 nk W的非零值是 7 式 中某个 的系数 3 的求和是式只有四项 2 1 2 1 0 0 nk nkEE nk 有 3 0 2 0 kk EE 0 1 0 kk EE 0 1 0 kk EE 3 0 3 0 kk EE 9 将 7 和 9 所决定的诸值代入 3 0 3 0 3 0 1 0 3 0 2 0 2 0 0 0 0 0 k kk kk k kk kk kn kk nx kk EE H EE H EE H 10 3 2 1 3 1 1 1 33 2 1 3 1 8 0 3 0 1 0 1 0 3 3 0 k kk nkk kkk kkkk kkk a 二能级量本征值修正量 按二级近似式是 n nk nk kkkk EE H HEE 0 0 2 0 11 其中0 kkkk WH 二级修正量是个数量的和 它也用 7 式来计算 并也包括四个项 0 3 0 2 3 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 3 0 2 3 2 1 kk kk kk kk kk kk kk kk k EE H EE H EE H EE H kE 3 2 1 3 1 1 99 2 1 3 1 1 8 2 1 22 6 2 kkkkk kkkk 13030 8 2 1 2 6 2 kkk 2 一维无限深势阱 ax 0 中的粒子受到微扰 0 1 2 2 0 2 ax a x a x a x xH 的作用 求基态能量的一级修正 图 345 解 本题是一维无简并问题 无微扰时的能量本征函数 a k a k sin 2 0 1 能量本征值 2 222 0 2a k Ek 2 对基态1 k 计算能量的一级修正量时 因微扰 H是分段连续的 因而要求两个积分式 的和 3 2 cos1 2 cos1 2 2 2 sin 2 2 sin 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 00 2 0 0 dxxa a x xdx a x a dx a x a x a dx a x a x a dxHdxHH a a a a a a a a a 利用定积分公式 px p px p x pxx x cos 1 sincos 2 4 代入 3 得 2 2 1 2 11 1 11 HE 附带地指出 对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算 可以用同样步骤得到 第K 个激发态的一级修正 1 1 1 2 1 2 cos1 2 cos1 2 2 2 2 0 2 1 11 k dxxa a xk xdx a xk a E k a a a 3 设有一个三维转子处于基态 转动惯量 I 它沿转轴方向有一个电偶极矩 D 现加上一个 外电场 可以视作微扰 试用微扰论求能量二级修正值 图 347 解 三维转子可看作哑铃状或棒状体 回绕其中点 0 作三维的转动 位置由球极座标 决定 由于点 棒一端 的矢径a是常量 哈密顿符是 1 22 1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 I l r l r l r r rr H 式中a是转子轴长度之半 I 是转动惯量 关于与棒身垂直的转轴 2 l 角动量平方算符 按114p 公式 29 sin 1 sin 1 sin 1 2 2 2 22 l 2 因此无微扰时 势能为零 而能量本征方程式是 1 2 l I 3 它的解是球谐函数 imm l lm eP ml mll Y cos 2 12 能量本征值是 3 2 1 0 2 1 2 lIllEl 4 假定转子是电偶极子 电矩是 D 则 D aq2 q电荷 同时加上沿z方向的电场 后 转子获得附加的偶矩电势能 V 作为微扰看待 cos DVWH 5 本题限于基态能量 但最低的能级相当于0 l 当不存在微扰时 基态能量本征值 0 00 00 1 00 0cossin 2 sincos d D ddYDYE 二能量修正值 可以利用球谐函数的递推公式 8 12 12 32 12 1 cos 1 22 1 22 ml mllm Y ll ml Y ll ml Y 在计算 01 H时可在上式中令1 0 lm得 002010 3 1 15 4 cosYYY 9 10 3 1 3 1 15 4 cos 2 0020 05 10 00 01 D DddD dYDYH YYY 计算 02 H时 可在 8 式中 令2 0 lm得 103020 15 4 35 9 cosYYY 11 0cos 20 00 02 dYDYH 球谐函数正交性 同理可证 02 H 04 H等都是零 零阶能量IIE 22 0 1 221 IIhE 22 0 221 代入 7 式 仅有一项 2 22 2 2 2 00 30 3 1 ID I D E 本题中的球谐函数的递推公式 8 可参看课本附录四 637 P 公式 37 38 等 4 yx平面内的转子 除了受到沿x方向的均匀电场的作用外 还受到沿x轴方向的 均匀磁场B 的作用 试用微扰理论计算转子的能量 解 平面转子可看作绕一固定点 0 转动的棒 可用棒与 0 x轴间夹角 定位 哈氏算 符 2 222 22 II l H 1 无微扰能量本征函数 im m e 2 1 2 图 350 转子是一偶极子 它具有电偶极矩 D 因而在平行于 0 x轴的电场 作用下具有偶极势能 cosDD 转子又在平行于z轴的匀强磁场中运动 由于电荷的运动相当于园电流 而电流在磁场中具 有磁势能 磁势能由磁距决定 磁距 z 又与角动量 l成正比 磁距 ic e l c e z 22 附加磁势能 ic Be B z 2 4 微扰算符 ic e DH 2 cos 5 当微扰未加上时 转子的本征方程式如下 2 22 2I 6 从这里得到能量的本征函数 im e 2 1 7 本征值是 0 22 2 m E I m 8 由此可知不论磁量子数是何值 能量总是二度简并的 但能证明 在考虑能量一级修正 量时 使用非简并微扰法和使用有简并微扰法二者的结果 对同一m值是相同的 用非简 并微扰法 先求矩阵元 9 2 2 1 4 1 1 1 1 4 4 22 2 cos 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 0 2 0 1 1 2 0 mmmmmm mmi mmimmi mmi mmimmi imim mm c BmeD mmi e c Bme mmi e mmi eD de c Bme d eeD de ic Be DeH 这个式子可以用来计算一级和二级能量修正值 对一级能量修正 c Bme c BmeD HE mmmmmmmm m 22 2 1 1 1 10 对二级能量修正值 0 0 2 mm m mm m EE H E 从 9 式知道 m只有二种值对于 2 m E有贡献 即 1 mm 1 mm 14 1 1 1 1 1 2 4 22 22 22222 22 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 2 m D mmmm ID EE H EE H E mm mm mm mm m 讨论 本题按照原理应当作为有简并的微扰问题处理 从 7 式可知相应于同一能级 I m Em 2 22 对应于两个不同的本征函数 im m e 2 1 0 im m e 2 1 0 因此在考虑微扰时 正确的零级波函数应表示作 0 12 0 11 0 1mm CC 0 22 0 21 0 2mm CC 11 代入有微扰的能量本征方程式以后 知道 0 2 0 1 的非平凡解要求下述久期方程式成立 0 1 1 EHH HEH mmmm mmmm 从矩阵元计算式 9 将mm 代入 得 0 mm H 又将mm 代入 得 12 2 c Bme H mm 要求另两个矩阵元 可以计算第一指标为 m 的矩阵元 它可以从 9 式推得 13 2 2 2 cos 2 1 1 1 2 0 mm mmmm imim mm e Be D de ci Be DeH 此式中分别代入mmmm 得0 mm H e Bme H mm 2 久期方程式是0 2 2 1 1 E e Bme E e Bme 其中与 m 对应的能量一级修正值是与非简并法结果相同的 但是用非简并法未能得到与 m 对应的一级修正值 5 一维谐振子的哈密顿为 2 2 22 0 2 1 2 Kx dx d H 假设它处在基态 若在加上一个弹性力作用 H 1 2 bx2 试用微扰论计算 H 对能量的一级修 正 并与严格解比较 解 用非简并微扰法 计算微扰矩阵元 质量记作 已知 0 k 能级 K nEk 2 1 0 dxxx b xHE kkkkk 02011 2 本题中 K 4 2 K 1 引用习题 1 所用的谐振子递推公式 2 1 12 1 2 1 0 2 0 0 2 2 0 2 kkkk kkkkkx 2 代入 1 再利用 0 k 正交归一性 2 1 4 2 12 2 1 2 1 k K bb kEk 3 再计算能量二级修正量 为此要计算指标不同的矩阵元 1 kn H 用 2 式 2 1 12 1 4 2 1 12 1 4 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 1 nknknk nnn x kkn nnnnn b dxnnnnn b H 再利用谐振子零能级本征值公式 2 1 0 nEn 但 K kn n nk nk k EE H E 0 0 2 2 2 1 2 1 2 16 4 2 kk kk kk kk a b 4 2 16 12 a bk 4 因此用微扰法算得的 正确到二级修正值的能量是 2 2 2 0 kkkk EEEE 4 2 2 8 2 1 2 2 1 2 1 a b k a b kk 82 1 2 1 42 2 2 bb k 82 1 2 1 2 2 K b K b k 5 如果用严格的本征方程式求解 则本题中 2 2 1 bxH 和 0 H的势能2 2 Kx为同类项可以合 并 哈氏算符为 2 2 2 2 22 xbK dx d H 6 直接看出 它的严格的能级是 bK kkEk 2 1 2 1 82 1 2 1 2 2 K b K b k 7 与近似 5 比较 发现近似值的绝对误差是 2 2 16 2 1 K b kEEE kk 在基态的情形 可令0 k 2 2 32K b E 6 设有自由粒子在长度为 L 的一维区域中运动 波函数满足周期性边界条件 2 2 LL 波函数的形式可选作 kx L k cos 2 0 kx L sin 2 0 但 2 1 0 2 n L n k 设粒子还受到一个陷阱作用 2 2 0 a x eVxH a L 试 用简并理论计算能量一级修正 解 见附图 若取势场为中心对称的无限深势阱 则题给的周期性条件和能量本征函 都能满足 原点 0 取在势阱中点 此点上微扰 H 有最大值 无微扰时 能量的本征值 2 222 0 2L n Ek 1 但 1 2 3 n 由于同一能级 n 一定 可以有两个不同的本征函数 kx L kx L x k sin 2 cos 2 因此对于 k 的任何值 n 任何值 简并度都是 2 按照简并微扰论 要计算微扰矩阵元 0 1 cos 2 kx L 又 0 2 sin 2 kx L 根据题意 dxHH L L 2 2 0 0 11 dxekx L V L L a x 2 2 20 2 2 cos 2 dxekx L V L L a x 2 2 0 2 2 2cos1 dxeee L V kix a x kix a x L L a x 2 1 22 2 2 0 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 00 dxedxee L V dxe L V kai a x kai a x ak a x 2 前式中的积分限 2 L 2 L 被扩充到 是因为在势阱外波函数为零 用定积 分公式 a dxe ax 2 3 于是 得 1 22 0 11 ak e L aV H 4 同理计算其它矩阵元 2 2 0 2 0 1 11 L L dxHH dxekxkx L V L L a x 2 2 0 2 2 cossin 2 积分中的被积函数是 x 的奇函数 又积分限又是等值异号的 所以有 0 21 12 HH 5 2 2 0 2 0 2 22 L L dxHH dxekx L V a x 2 2 2cos1 0 1 22 0 22 ak e L aV H 6 本题正确的零级波函数写作 0 212 0 111 0 1 cc 0 222 0 121 0 2 cc 代入总的能量算符H 的本征方程式 设 1 k E是本征方程值 则 1 k E满足久期方程式 0 1 22 21 12 1 11 K k EHH HEH 0 1 0 0 1 1 0 1 0 22 22 k ak k ak Ee L aV Ee L aV 所求一阶能量修正值 1 22 0 1 ak k e L aV E 本题的波数 k 和量子数 n 的关系亦可作 L n k 与课本一致 7 在一维无限深势阱 0 0 0 xax ax xV 中运动的粒子 受到微扰 H的作用 讨论粒子在空间几率分布的改变 2 2 0 ax a b a xb xH 解 一维无限深势阱的波函数的形式与所选择的参考系 的原点有密切关系 若选取势阱一端作为原点则能量的本 征函数可以是形式简单的 作如此选择时 若无微扰 则能量的本征函数 a xk a k sin 2 0 k 1 2 3 1 能量的本征值 2 222 0 2a k Ek 2 本题主要计算本征函数的近似值 计算微扰距阵元 dxbdxbH k a a k a nk 0 2 0 0 2 0 0 dx a xn a xk a b dx a xn a xk a b a a a sinsin 2 sinsin 2 2 2 0 dx a xnk a xnk a b dx a xnk a xnk a b a a a cos cos cos cos 2 2 0 a a a nk a xnk nk a xnk b nk a xnk nk a xnk b 2 2 0 sin sin sin sin 2 sin 2 sin 2 nk nk nk nk b 3 最后一式的值与 k n 的奇偶有关 但要注意到 k n 与 k n k n 2n 的奇偶性是相 同的 此外 若设 p 是个任意整数 奇偶不论 则有 p p 1 2 12sin 2 1 0 p 因此 3 式可归成二种情形 1 若 k n 奇数 令 k n 2p 1 则有 2 1 nk p因此 若 k n 奇数 有 2 2 1 11 2 nk nk nknk b H 2 2 22 1 4 nk kn bn 4 若 k n 偶数 显然有0 nk H 5 无简并的微扰中 波函数一级修正量是 0 0 0 1 n kn n nk nk k EE H 其中 2 22 2 22 0 0 nk a EE nk 6 考虑到 4 5 的结果 连同 6 式代入 1 k 的公式 得最后结果为两个无穷级数如下 k 为奇数时 0 2 1 2 0 22232 2 1 1 8 n kn n k nk bna k 为偶数时 0 2 1 3 1 22232 2 1 1 8 n kn n k nk bna 8 类氢离子中 电子与原子核的库仑作用为 r Ze rV 2 Ze 为核电荷 当核电荷增加 e Z Z 1 互相作用能增加 r Ze H 2 试用微扰论计算它对能量的一级 修正 并与严格解比较 解 不论是基态还是激发态 曾在第六章习题九中证明过 在类氢原子的任何态中矢径倒 数 r 1 的平均值是 an Z r 2 1 a 玻尔半径 2 2 e a 1 若将 r e2 当作微扰而求能量一级修正 则 an Ze d r e HE nlmnlmnnn 2 2 0 2 0 0 若求严格解 可以利用能级公式 an eZ n eZ En 2 22 22 42 0 22 2 1 2 2 2 22 0 an Ze an eZ E an e an Ze an eZ 2 2 2 2 2 2 22 12 3 将 1 与 3 比较 知道一级近似值的误差是 an e 2 2 2 9 一个粒子在二维无限深势阱 100 Hmn 不知道 所以有能按公式 n n Hmn EE E 0 0 1 100 2 1 2 求得二阶能量修正 但是由于 1 100 1 是知道的 所以可以根据 1 来求得 2 1 E 方法如 下 设 2 1 2 1 1 0 11 EEEE 将它代入有微分扰 H 在内的能量本征方程式 并设H W 0 2 1 2 1 1 0 1 1 0 0 EEE WH 1 2 0 1 0 0 0 WWHH 0 1 1 1 0 1 0 0 1 EEE 1 2 1 2 0 2 1 1 1 1 2 EEE 对比 2 的系数 并注意到 0 1 都是正交归一化的 因后者是前者线性式 0 2 1 1 1 1 1 EEW 左乘 0 积分 2 1 0 0 2 1 1 0 EdEdH 13 这样我们得到个简单的二级能量修正量公式 将 4 6 二式代入 13 ddrdr r arere ae E a r a r sincos 2 cos 1 2 2 22 2 1 ddrr r are ae r a r 2 0 3 0 2 2 22 cossin 2 2 利用积分公式 1 0 n axn a n dxex 于前一式经简化后 有 3 2 cossin 2 0 d 23 2 1 4 9 aE 14 按照原子电偶极矩 Dx的定义 它是用统计方法计算的单位体积中原子被电场形成的电 矩的总和 dezD 2 der cos 1 0 1 0 dre 1 0 cos 2 利用 13 14 3 2 9 aDz 3 2 9 a a原子极化系数 11 设氢原子处于 n 3 的态 求它的斯塔克分裂 解 氢原子处在 n 3 的态上时 波函数的简并度是933 简并的波函数可以用角量子 数 和磁量子数 m 加以编号 为了计算能量的一级修正值 需要用无微扰的简并波函数来构成微扰的矩阵 因此这组 简并波函数要采用一定的排列法 排列法有多种 按下述原则排列运算较方便 将磁量子数 m 相同的函数集成一组 这 样可得 5 组 m 2 1 0 1 2 各组按 m 值自大而小排列 在每一组中按 的值自大而小排列 2 1 0 结果如下 232131132300310320311321322 1 每一波函数的形式是 33 mm YrR 2 与 n 3 有关的 3 R共有三个 m Y 有九个 相同的函数可以相乘组合成一个 m 3 九种波 函数的显式如下 式中 a r a 玻尔半径 3 27 2 3 2 1 33 2 00 3 2 3 300 Ye a 1 0 1 6 1 1 627 8 1 3 3 31 m Ye a mm 4 2 1 0 1 2 3081 4 2 3 2 3 32 m Ye a mm 5 这里 m Y 的显式可以从数学手册或数学物理方法课本查到 但具体计算中实际上用不 着显式 不予写出 根据简并的微扰论 考虑微扰后 原来能级分裂 简并部分或全部消失 原来的能级是 a e a e E 1832 2 2 2 0 2 6 加上微扰 cos reWH 可令 e 则正确到一级修正值的近似能级是 1 3 0 3 3 EEE 7 修正量 1 3 E 在简并完全消失时有 9 个不同值 1 3 E决定于行列式方程 即久期方程式 0det 1 33 3 mmmm W 8 见课本 9 2 P311 式中 W 的指标 是二组三个文字 其意义很明白 因此要建立这个行列 式主要是计算矩阵元 W 它的计算式如下 drdrYRrYRW mm r mm 2 3 333 cos 9 cos 3 3 3 dYYdrrrRrR mm r 很清楚 W 的计算的分成与 r 有关积分 以及与角度有关积分二部分 可分开进行计算 关 于角度积分可以利用下一恒等式 本章题 3 用过 10 12 12 32 12 1 cos 1 22 1 22 mmm Y m Y m Y 9 式中以 r 有关的积分一般不会是 0 但与角度有关积分则在许多条件下可以是零 现 在考察 什么 a 若 m m 因为 imm m eP m m Y cos 4 12 因此 9 第二积分中含有 0 2 0 de mmi 因而得到 11 0 3 3 mmW m m b 若mm 则可以使用 10 式中 9 的第二个积分 由于诸 m Y 是正交归一化的 所以 9 的第二个积分简化为 dYY m ml cos 12 12 12 32 12 1 1 22 1 22 mm 从这个式子又知道 当 m m 时若又有 ll 则此积分为零 相应的矩阵元也是零即 0 3 3 mm W c 若 m m 但1 或1 则 12 可知 0 3 3 mm W 但1 14 d 若 m m 1 或1 这时矩阵元不为零 而由下面二式来计算 drrrRrR m W r mm 3 3 1 3 22 3 1 3 32 12 1 15 drrrRrR m W l r mm 3 31 3 22 3 1 3 12 12 16 根据以上四点我们能判定行列方程式 8 中各个行列元素 矩阵元素 的性质 为此可写 下一个 9 9 的行列式表格方程式 在行列式最高一行注明按 1 式排列的诸波函数 可省 去 3 rR 部分 在行列式最左一列依顺序写下复共轭函数 在两个函数 m Y 和 m Y 行列交 叉之处写下矩阵元 得下图形状 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 1 3 1 312 11 11 12 1 3 1 310 00 00 10 1 320 10 10 20 1 3 1 321 11 11 21 1 3 1 3 221112111020112122 22 11 12 00 10 20 11 21 22 E EW WE EW WEW WE EW WE E YYYYYYYYY Y Y Y Y Y Y Y Y Y 由于矩阵元在行列式中的排列是按 1 的方式 所以 m m 的诸元素集中在五个方块 形子矩阵里 虚线 而其余位置的矩阵元因 mm 而全部为 0 11 式 沿对角线诸元素 为零 13 式 1 的矩阵元为零 14 式 这相当于图中 3 3 矩阵右上角和左上角那 两个 图中对角线上的 1 3 E是特定的能量修正值 是本征方程得来的 不是矩阵元 总起来说 不为零的矩阵元仅有 8 个 它们用文字标出 空白的地点都表示矩阵元为零 此外因为球谐 函数的厄密性质 dYYW mmmm cos 3 3 3 3 cos mmmm WdYY 故不同值的矩阵元仅有四个 为方便起见 矩阵元指标省去共有的 3 字 它们是 17 10 0012 1120 1021 11 WWWW 从公式 16 知道要计算 17 只要计算两个不同的 31 R积分 再配合前面的系数便可以 在 16 式中令1 2 m 再利用 4 5 式中的 3231R R 0 2 3231 2 21 11 53 12 drrRRW de a a a 3 2 33 3 4 3 6 1 3081 4 627 8 5 1 aa 2 9 5 2 9 5 1 18 将0 2 m 代入 16 式 得 adrrRRW33 15 2 0 2 323120 10 19 若将1 2 m 代入 16 其结果与 m 1 相同 因而 20 2 9 21 1112 11 aWW 最后将0 1 m 代入 16 式 并且用 4 5 式中的 3031R R 得 0 3 323110 00 3 1 r drrRRW de a a a 3 2 32 3 4 3 27 2 3 2 1 6 1 33 2 627 8 3 1 aa63 29 3 1 21 将求得值 18 19 20 21 代入前述行列方程式的适当地位 再按照行列式的定义 可将沿对角线位置诸子行列式的连乘积的值作为行列式的值 0 00000000 0 2 9 000000 0 2 9 000000 000630000 0006333000 000033000 000000 2 9 0 000000 2 9 0 00000000 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 E Ea aE Ea aEa aE Ea aE E 22 0 630 6333 033 2 9 2 9 1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3 Ea aEa aE Ea aE E 即0 81 4 81 1 3 2 3 1 3 2 2 2 1 3 2 1 3 EaE a EE aE 9 9 0 2 9 2 9 2 9 2 9 0 0 1 3 这结果说明修正量 1 3 E是部分简并的 能级包括本身在内仅分裂为五个能级 用图表示如下 ae a e 9 18 2 单重 ae a e 2 9 18 2 二重 a e E 18 2 0 3 a e 18 2 三重 ae a e 2 9 18 2 二重 ae a e 9 18 2 单重 图中表示每个分裂能级的残余简并度 光谱线的分裂可根据上图和 0 2 E的分裂能级 课本 Sp O pr r0 P315 图 9 4 与本题的图 以及基态能级 0 1 E综合起来判断 各个已分裂的能级之间的跃迁必 需遵守 选择定则 参看课 11 4 由于简并没有完全消除 所以除掉两种单重态的零 级波函数 有微扰 其余各多重态零级波函数都不能确定 12 实际原子核不是一个点电荷 它有一定大小 可以视为一个均匀分布的球 测量表 明 电荷分布半径 3 1 0 ZrR p 厘米 23 0 1064 1 p r 试用微扰论估计这种 非点电荷 效应对原子的 1s 能级的修正 设 1s 电子波函数近似取为 类氢原子的 1s 在态波函数 解 根据电学原理 本题的困难在于确立正确的微扰算符 首 先假定全部电荷 Ze 集中在一个几何点 r 0 所算得的基态能量 是零级近似 最粗略的 这时不论 r 的大小如何 0 r 电势 用下式表示 r Ze V r 1 表示 这里不考虑电荷正负性 但若要精确求核的电势能 用一个半径 r0 具有总电荷 Ze 的均匀带电球来代表核 这 时球所产生的电势 rv就复杂些 按电学原理 点 P 的势能随着它在球面外还是球面内而 有不同的计算式 设一点的位矢是r a 在球内 0 rrr 这薄球壳对 P 所生 电势就和该球壳的电荷在中心 O 处所产生的电势一样 设电荷密度为 则 薄球壳对 P 的电势 4 4 2 2 drr r drr dv 整个厚球壳 SS0 电荷对 P 点的电势 3 3 2 3 3 4 2 2 4 3 0 2 0 22 0 2 0 22 0 22 00 1 r r r Ze rr r Ze rrdrrdvv rr rr r rr 因此 在球面 S0之内 一点 rP 的电势是 4 3 2 1 2 3 3 0 2 0 2 0 2 0 3 0 3 21 r r r Ze r r r Ze r Zer rvrvrv b 在球外 r r0 根据电学原理 在球外任一点 P r 处的电势 就和全部球形电荷 半径 r0 集中在中心 处所产生的一样 即 4 r Ze rv 根据 1 3 4 可确立微扰算符为 加负号因电子电荷 e为负 0 3 2 0 0 2 3 0 2 0 2 rr rr r Ze r r r Ze WH 5 其次根据这个微扰来计算基态 1s 原子的一级能量修正 假设这种原子的基态能级和氢原 子一样 即纵使原子是多电子的 但也可忽去内层电子的屏蔽效应 无微扰能级是 6 2 2 0 a Ze E 波函数和基态氢原子一样是 7 3 0 00 a Zr e a Z 按无简并微扰论 8 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 3 0 3 0 0 2 3 24 2 3 0 3 0 2 2 2 3 3 100 0 00 00 0 drdr r r r r e a eZ drdr r r r r r Ze e a Z dHH r a Zr a Zr 根据题意原子核所折合的球体是 10 13cm 的数量级 而玻尔半径cma 8 105 0 二者相 差 5 10倍 因而当 0 rr 时 a r 是个极小的数量 在 8 的积分式中近似地有 1 2 a Ze e 于是 8 式近似地成为 9 4 5 2 10 1 2 1 2 4 4 2 1 2 3 1 3 2 0 24 0 3 0 5 0 32 3 24 0 3 0 3 0 3 24 00 0 0 a reZ r r r rr a eZ rdr r r r r a eZ H r r r 13 设在H0表象中 H 的矩阵为 1 0 0 0 3 0 2 0 1 0 3 0 2 0 1 EEE Eba bE aE H 试用微扰论求能量的二级修正 解 本题的意义在于 并不知道无微扰算符 0 H 微扰 H和总的 一级近似 哈氏 算符H 的形式 也不知道零阶近似波函数 0 n 的形式 知道的是在 0 H表象中 0 HHH 的矩阵 但仅仅根据这矩阵的具体形式 按习惯用代表文字 本课本内 的涵义 可以知道 几点 1 能量本征值是分立的 因为用分立矩阵表示 若是连续能量本征值 不能用此表 示法 无 微 扰 能 量 本 征 值 有 三 个 0 3 0 2 0 1 EEE 本 征 函 数 0 3 0 2 0 1 因 0 1 0 1 0 1 0 EH 0 1 0 1 0 0 1 0 11 EdHH 2 微扰算符的的矩阵是 2 0 00 00 33 32 31 23 22 21 13 12 11 ba b a HHH HHH HHH H 根据无简并微扰论 一级能量修正量是 kk H 从 2 中看出 对角位置的矩阵元全是零 因此一级修正量 0 0 3 0 2 0 1 EEE 又二级能量公式是 kn n nk nk k EE H E 0 0 2 2 所需的矩阵元 nk H已经直接由式 2 表示出 毋需再加计算 因而有 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 31 0 2 0 1 2 21 0 0 1 2 1 2 1 EE a EE H EE H EE H E n n n 0 3 0 2 2 0 1 0 2 2 32 0 1 0 3 2 12 0 0 2 2 2 2 2 EE b EE H EE H EE H E n n n 0 2 0 3 2 0 1 0 3 2 0 1 0 3 2 13 0 2 0 3 2 23 0 0 3 2 3 2 3 EE b EE a EE H EE H EE H E n n n 14 设在H0表象中 1 0 2 0 1 为实数ba aEb baE H 用微扰论求能量修正量 到二级近似 严格求解与微扰论计算值比较 解 直接判断法 题给矩阵进行分解 有 2 0 0 0 2 0 10 0 E E HHHH 3 ab ba H 从矩阵 3 知道一级修正量 用对角矩阵元 和二级修正量 用非对角矩阵元 仿前一题 直接写出两个能级 正确到二级修正量 3 0 1 0 2 2 0 22 0 2 0 1 2 0 11 EE b aEE EE b aEE 严格求解法 这就是根据表象理论 分立表象中 本征方程可以书写成矩阵方程式形式 并 可以求得本征值和本征矢 用单列矩阵表示 我们设算符 H 1 具有本征矢 2 1 C C 本征值是 列矩阵方程式 4 2 1 2 1 0 2 0 1 C C C C aEb baE 展开后成两式 5 22 0 21 121 0 1 CCaEbC CbCCaE 又假设本征矢是归一化的 6 1 2 2 2 1 CC 5 式有 21C C非平凡解的条件是 0 0 2 0 1 aEb baE 2 2 0 2 0 1 0 2 0 1 2 0 2 0 1 2 2 0 b EEEE a baEaE 7 后一式可展开 4 1 2 2 2 0 2 0 1 2 2 0 2 0 1 0 2 0 1 EE bEEEE a 2 1 22 4 0 2 0 1 4 2 0 2 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0 1 EE b EE bEEEE a 8 7 是正确本征值解 共有二个 以复号 来区别 8 的级数展开式可分写为 3 0 2 0 1 4 0 2 0 1 2 0 11 1 a EE b EE b EE 3 0 1 0 2 4 0 1 0 2 2 0 22 2 a EE b EE b EE 中断在第三项的时侯便是二阶近似值 这与 3 对比便能知道两个能 级近似值的绝对误差是有下述上限的 3 0 2 0 1 4 1 11 EE b EEE 3 0 2 0 1 4 2 22 EE b EEE 1 在计及微扰后哈密顿量表示为 0 2 0 1 0 1 0 0 Eba bE aE H 2 1 用微扰论求 H 本征值准到