20040100正四面体的截面个数.doc

正四面体的截面个数上海市嘉定一中 徐泼立体几何中基于特殊多面体的习题与试题已屡见不鲜。正四面体正是这样一个基本的几何体。本文就正四面体的截面个数问题做一些初浅的探讨。（一） 与距离有关的截面问题例1：到正四面体四个顶点距离都相等的平面的个数是_。解：第1种情况，取AB、AC、AD的中点E、F、G，则平面EFG满足条件。像这样三顶点在截面的一侧而第四个顶点在截面的另一侧的截面共有4个。（如图1）第2种情况，取AB、AC、CD、BD的中点H、I、J、K，则易证明平面HIJK是满足条件的截面。像这样其中有两个顶点在截面的一侧而另外两个顶点在截面的另一侧的截面共有3个。（如图2）ABCDABCDEFG图1图2HIJK故符合题意的截面个数为7。拓展：1）考虑题中A、B、C、D四个点如果不是正四面体的四个顶点也有同样的结论。故对此题稍作推广，即可得：到空间不共面的4个点A、B、C、D距离相等的平面个数为7个。2）另外，可将此题第1种情况理解为空间不共面的4个点A、B、C、D中，三个点到截面距离相等，另外一个点到截面的距离与前三个点到截面的距离之比为1:1。于是考虑可作另一种推广，如例2。例2：正四面体的四个顶点A、B、C、D，考虑具有如下性质的平面：A、B、C、D中有三个点到距离相等，另外一个点到的距离是前三个点到的距离的两倍，这样的平面的个数是_。ABCDEFGABCDHIJ 图3 图4解：第1种情况，截面平行于底面。如图3，在AB、AC、AD上各取点E、F、G，使得AE:EB=AF:FC=AG:GD=2:1。易证明截面EFG满足条件。像这样的截面共有4个。另外，如图4，可以在AB、AC、AD的延长线上分别取点H、I、J，使得AB:BH=AC:CI=AD:DJ=2:1。易证明截面HIJ满足条件。像这样的截面也共有4个。所以在第1种情况中，满足条件的截面共8个。ABCDABCDABCDKLMOPQRST第2种情况，截面不平行于底面，其中三点在截面的一侧，第四点在截面的另一侧。 图5 图6 图7如图5，在BC、CD上分别取中点K、L，在AC上取点M，使得AM:MC=2:1。容易证明截面KLM满足条件。同样如图6、图7，截面OPQ与截面RST都满足条件。以上三种情况都是A、B、D三点在截面的同侧。同理，还有当A、B、C,A、C、D,B、C、D在截面的同侧时也各有三个截面。所以，第2种情况中，共有34=12个满足条件的截面。CABDCABDCABDCABD第3种情况，截面不平行于底面，其中两点在截面的一侧，另外两点在截面的另一侧。YUXV 图8 图9 图10 图11如图8，取BC、CD中点V、X，在AB、AD上分别取点U、Y，使得AU:UB=AY:YD=2:1。易证点A到截面UVXY的距离与B、C、D到该截面的距离之比为2:1。图9、10、11中的截面分别表示点B、C、D到截面的距离是其余三点到截面距离的两倍。所以，当棱AC与BD在截面的两侧时，共有4个满足条件的截面。在第3种情况中，除了棱AC与BD在截面的两侧，还有AD与BC在截面异侧，AB与CD在截面异侧，共三种情形。故第3种情况中，共有满足条件的截面个数为43=12个。综上所述，共有满足条件的截面32个。拓展：1）如果题中A、B、C、D四个点不是正四面体的四个顶点也有同样的结论。2）空间不共面四点A、B、C、D中，三个点到截面距离相等，另外一个点到截面的距离与前三个点到截面的距离之比若为k:1 (k1)，或改为m:n(不妨设mn0)，则也应有同样结论。（二） 与角有关的截面问题例3：过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使得截面与底面BCD所成角为，则满足要求的不同截面个数为_。解：设点A在底面BCD内的射影为点O。在正四面体中易求得侧棱与底面所成的角的大小为，侧面与底面所成二面角的大小为。CABDOEFHCABDEHGOF 图12 图13第1种情况，截面与棱平行。如图12，等腰三角形AEF中，AE=AF。如图所示，截面AEF与底面BCD所成二面角的平面角为。由于OH，那么就可以取到。像这样的截面共有3个。如图13，等腰三角形AEF中，AE=AF。如图所示，截面AEF与底面BCD所成二面角的平面角为。由于OHOCH，得OGOH，则有AHOAGO=。那么就可以取到。像这样的截面共有6个。第3种情况，如图15，等腰三角形AEF中，AE=AF，但截面与棱不平行。取EF中点H，则EF与AH垂直。截面AEF与底面BCD所成二面角的平面角即为。由于H点在底面三角形