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第一章 基本概念15 数环和数域1 证明，如果一个数环,那么有无限多个元素。证明：法一（正面证明）： 为数环加法具有封闭性且为两两不同的数 （否则，可以推出）有无限多个元素法二（反证法）：假设有有限多个元素不妨设为个 为数环加法具有封闭性为两两不同的数且为中元，矛盾假设不正确，即： 有无限多个元素2 证明：是数域。证明： 令 F为复数集C的非空子集又对有： F为数环又对有：及所以F的除法封闭所以F为数域。3 证明：是一个数环。不是一个数域。证明：（1）为数环的证明： 为复数集的非空子集又对任意的有：为数环 （2）不是数域的证明： 但 对除法不具封闭性 不是数域4 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。两个数环的并是不是数环？证明：（1）两个数环的交还是数环： 任取两个数环 ， 令 为复数集C的非空子集 对任意的有： 为数环 同理：为数环（2）两个数域的交还是一个数域 任取两个数环 令 根据（1）知是一个数环 对任意的有是数域同理 ，即： 为数域（3）两个数环的并不一定是数环 取数环：， 令 ， 但 即的加法不封闭 不是数环5 设是一整数，令： 由例1，是一个数环。设，记： 证明：（i）是一个数环。 证明：是复数集的非空子集对任意的有：对加，乘，减运算具有封闭性为数环。（ii） 证明：充分性： 对任意的 （1） （2） 由（1）、（2）知： 必要性： （iii）是的最大公因数分析：本题实际上是证明集合相等，只要证明相互包含即可。证明：先证 对任意的有： 再证： （1）又对任意的 （2） （3）由（1）、（3）知： （4）由（2）、（4）
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