极坐标---摆线.doc

設滾動圓的半徑為 a，固定圓的半徑為 ka，其中 k 是比 1 大的一個固定數。又設固定圓的圓心是原點 O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是 A(ka,0)。設滾動圓到達某個位置時，其圓心為 J、與固定圓的切點為 I，而滾動圓上的定點移動到 P(x,y)。設以 為始邊、 為終邊的有向角為 t 弧度，我們以 t 為參數（見圖九）。 圖九 因為弧 IP 與弧 IA 的長度相等，所以，有向角 是 kt 弧度。過 P 與 J 分別作水平直線與鉛垂直線，則可就 t 的值所屬的各種範圍分別討論（例如：圖九是 的情形），而得 這就是內擺線的參數方程式。 若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為 d，且在出發時的坐標為 (k-1)a+d,0)，則此定點在滾動過程中，所描繪曲線的參數方程式為 其次，若將圖九中的滾動圓改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方法，即可得外擺線的參數方程式為 其中 k 表示固定圓與滾動圓的半徑之比，。同理，將定點改成與滾動圓圓心的距離為 d，且在出發時的坐標為 (k+1)a-d,0，則可得外次擺線的參數方程式為 上述四組參數方程式可合併成下述形式： 其中 或 -1，而 、 且 。當 ，上述參數方程式，依 d=a 或 分別表示內擺線或內次擺線；當 時，上述參數方程式，依 d=a 或 分別表示外擺線或外次擺線。在圖二中，設 A 點是滾動圓上的定點在出發時的位置。我們選取一個坐標系，使得 A 點為原點而且滾動圓在 x 軸上向右滾動。假設動圓滾動到某位置時，圓心為 O，O 點至 x 軸的垂足為 I，圓上的定點的位置為 P(x,y)，以 為始邊， 為終邊的有向角為 t 弧度，P 點至直線 OI 的垂足為 M。又設滾動圓的半徑為 a。 因為滾動圓上的定點已由A點移動到P點，而滾動圓與x軸的切點已由 A 點轉移到 I 點，所以，滾動圓上的弧 PI 滾過線段 ，亦即： = 弧 PI 的長 = at。於是，可得 上面的表示法就是擺線的參數方程式。請注意：當 時， ；當 時， 。不過， 與 兩式卻對所有 t 值都成立。我們甚至可讓參數 t 代表任意實數，如此，擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。x 坐標每經歷一段長度為 的區間，圖形就恢復原狀。擺線與底線相交的點都是尖點 (cusp)。 當參數 t 由 0 增至 時，擺線就是圖二中由 A 至 C 至 B 的部分，其中 ，這一部分圖形稱為擺線的一拱 (arch)。同理，t 由 2 至 4、由 4 至 6、等所對應的圖形也都是一拱。 仿照前面的方法，我們也可求次擺線的參數方程式。假設一定點與滾動圓的圓心的距離為 d，底線是 x 軸，出發時定點的坐標為 (0,a-d)，其中 d 是滾動圓的半徑。當動圓滾到圖二所示的位置時，定點的位置在 上且與 O 點的距離為 d。由此可知其參數方程式為 習題：試根據上面參數方程式，說明長擺線 (da) 為什麼會與本身相交而形成迴圈（見圖一的下圖）。 在圖二中，當圓向前滾動時，P 點描繪出擺線，那麼 P 點在直線 OI 上的垂足 M 點會描繪出什麼圖形呢？1634年，Gilles Persone de Roberval（16021675年，法國人）考慮這條曲線，而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。所以，後世將這條曲線稱為 Roberval 曲線。圖二中的虛線，就是 Roberval 曲線在擺線一拱內的部分，根據前一小節所討論的結果，不難發現 Roberval 曲線的方程式為 。 在圖二中， 的中點是 ，而當 時，Roberval 曲線上的點 對 的對稱點是 。因為此對稱點也在 Roberval 曲線上，所以，Robertval 曲線在 A 與 C 間的部分對於點 成對稱。（圖二中的 M 與 N 就是一對對稱點。）由此可知：在以 與 為鄰邊的矩形中，Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。更進一步可得：Roberval 曲線與 AB 所圍區域的面積，等於以 與 為鄰邊的矩形面積的一半，此值等於 。 其次，我們討論擺線與 Roberval 曲線間的區域面積。此區域在 C 點的左、右兩側的面積顯然相等，所以，我們只須討論此區域左側部分的面積。圖二中以 為直徑的半圓，乃是滾動圓在出發時的左半部分，直線 PM 被此半圓截出一線段 。因為兩圓大小相等，而直線 PM 與兩圓圓心等距離，所以， = 。因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長，所以，依據 Bonaventura Cavalieri（15981647年，義大利人）在1629年所提出的 Cavalieri 原理，這兩個區域的面積相等。因此，擺線與 Roberbval 曲線所圍的區域（左、右兩部分）與滾動圓面積相等，此值等於 。 綜合前兩段的結果，可知擺線的一拱與其底線間的面積，等於滾動圓面積的三倍，亦即：。 圖二 附帶一提：Cavalieri 所提的原理，中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。 習題：試仿照本小節的方法，證明次擺線 , 的一拱與直線 y=a-d 所圍區域的面積為： 。 習題：試使用定積分計算上述所提的面積。 若曲線 C 的所有法線都是某一曲線 E 的切線，則曲線 E 稱為曲線 C 的漸屈線(evolute)。要討論曲線 C 的漸屈線，自然需要先討論曲線 C 的法線，但因法線是切線的垂直線，所以，我們需要先討論曲線 C 的切線。 擺線的切線如何求呢？我們知道當一動點 P 繞一固定點 I 旋轉時，P 點的軌跡是一圓弧，此圓弧在 P 點的切線就是過 P 點而與 垂直的直線。當一滾動圓在一直線上作不滑的滾動時，我們沒有一個可做為旋轉中心的固定點，但是，在滾動過程中，滾動圓與底線在每個時刻都有一個切點，這個切點就是該時刻的瞬間旋轉中心。若在某個時刻的瞬間旋轉中心是 I，而圓上某定點在此時刻已移動到 P 點，則此定點所描繪的擺線在 P 點的切線，就是過 P 點而與 垂直的直線 PJ，其中 J 是滾動圓過 I 的直徑的另一端點，直線 PI 則是此擺線過 P 點的法線。在直線 上選取一點 P，使 I 點成為 的中點。若 P 點的坐標是 ( )，則因為 I 點的坐標是 (as,0)，所以，P 點的坐標是 ( )。當 P 點描繪出擺線時，所有對應的 P 點描繪出什麼圖形呢？觀察 A 與 P 的相關位置，不難發現它們的位置關係，與擺線上的 C 點與參數是 的 Q 點位置關係相同，因為 C 的坐標是 ()，而 Q 點的坐標是 ( )。換言之，當 P 點描繪圖三中的擺線弧 APC 時，對應的 P 點就會描繪出與擺線 CQB 全等的弧 APA。事實上，弧 APA 乃是將弧 CQB 平移而得的（左移 單位、下移 2a 單位）。同理，當 P 點描繪出擺線弧 CQB 時，對應的 P 點就會描繪出弧 AQB，此弧乃是將擺線的下一拱的左半部分作同樣平移而得的。因此，對整個擺線而言，當 P 點描繪出整個擺線時，對應的 P 點會描繪出一個全等的擺線。若前者的參數方程式是 ,，則後者的參數方程式為 ,，後者乃是將前者先向左平移 單位，再向下平移 2a 單位而得的。我們將說明後者是前者的漸屈線。 因為 P 點的軌跡是一個全等的擺線，所以它必是當一個半徑為 a 的圓在直線 y=-2a 上滾動時，由圓周上某定點描繪而成的。因為 P 點與 P 點對 I 點對稱，所以當兩個滾動圓在 I 點相切時，上滾動圓通過 P 點而下滾動圓通過 P 點。此時，P 點的瞬間旋轉中心是直線 PI 與直線 y=-2a 的交點 I。於是，直線 PI 是第二個擺線在 P 點的法線，直線 PIP 是第二擺線在 P 點的切線。由此可知：原擺線的每條法線 PI 都與第二擺線相切。換言之，第二擺線是原擺線的漸屈線。曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質，這個性質對擺線的討論特別有用，我們先介紹這項性質。此性質的證明只需使用微積分的方法即可。 設曲線 E 是曲線 C 的漸屈線，P 與 Q 是曲線 C 上兩點，曲線 C 過 P、Q 的法線分別與漸屈線 E 相切於 P、Q，則在漸屈線 E 上，弧 PQ 的長等於 與 兩線段長的差。 在圖四中， 比 小，所以，PQ 弧的長等於 。這個性質可以作下面的幾何解說：假設有一條線纏繞在漸屈線 E 上，現在將一端點拉緊在 P 點，此時，在 P 往 Q 的部分，線仍然纏在漸屈線上，但在 P 往 P 的部分，則已經拉直成線段。接著，將線繼續拉緊解開，纏在 PQ 弧上的線逐漸被拉成線段，此時，因為有前面所提的性質，所以，在將線拉緊解開的過程中，線的端點必定沿著曲線 C 由 P 點移向 Q 點。 以擺線為例，在圖三中的漸屈線弧 APA 中，不論 P 點的位置在弧上何處，APA 弧的長度都是等於 PA 弧的長加上線段 的長。將 P 趨近 A，則 P 趨近 C。因此，擺線弧 APA 的長等於線段 的長，此值為 4a。因為擺線弧 APA 與擺線弧 CQB 全等，其長是擺線一拱 ACB 的一半，所以，可知：若滾動圓的半徑為 a，則擺線一拱的長度為 8a。 圖三 同理，在圖三中，PC 弧的長等於 QB 弧的長，此值等於線段 的長，也等於前的兩倍。因此，若 P 點的坐標是 ( )，則因為 J 的坐標是 (as,2a)，所以，PC 弧的長等於 。於是，AP 弧的長為 。 習題：試使用微積分方法證明上述有關擺線的弧長公式。在力學上，擺線具有很重要的性質，我們首先介紹它的等時性質 (tautochrone property)。 將擺線的一拱倒轉，亦即：對其底線作鏡射，則此段擺線的最高點 C 變成最低點，見圖三與五。此時，若一質點從此段擺線上任意點出發，在重力作用下沿擺線向下滑，則此質點到達最低點C所需的時間與出發點的位置無關，亦即：從任意兩相異點出發，它們到達C點的時間相同。這就是擺線的等時性質。 圖五是由擺線的一拱及其漸屈線等倒置而成，若我們以一條長為擺線一拱長之半的線繫住一個擺錘，另一端固定在漸屈線弧 AAB 的中點 A。當擺錘擺動時，線的上端纏在漸屈線上，而下端有一段拉直。由於線長等於擺線一拱長的一半，根據前小節的說明，擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。前段所提的等時性，則是表示：不論振幅為何，其週期是個定值，此定值等於 ，其中 a 是擺線的滾動圓的半徑，g 是重力加速度。 前段所提的設置，稱為擺線鐘 (cycloidal pendulum)，這是 Christiaan Huygens（16291695年，荷蘭人）在1673年所發明的，它是其有真正等時性的鐘擺。 要證明前面所提的等時性質，必須使用一些物理與微積分知識，讓我們略作說明如下：設倒置的擺線的參數方程式為 ，質點下滑的出發點 P 所對應的參數為 。（我們將參數 t 換成 ，以免誤以為它就是時間。）當質點下滑到參數為 的點時，根據能量守恆定律，質點喪失的位能轉變成動能，所以質點在該處的瞬時速度為 。 圖四 另一方面，弧長 s 的微分為 於是，質點滑落到最低點 C（見圖五）所需的時間為 此值等於 ，與 無關，而擺線鐘的週期則是此值的四倍。前段證明的細節留給有興趣的讀者自行補足。 圖五 擺線在力學上的另一項重要性質，乃是最速降性質 (brachistochrone property)，我們說明如下。 若一質點在重力作用下，由 P 點沿著某曲線滑落到較低的 Q 點，設 P 與 Q 不在同一鉛垂直線上，則當滑行的曲線是以 P 為尖點的一段倒轉的擺線弧時，質點由 P 點滑落到 Q 點所需的時間為最短。這就是擺線的最速降性質。 設 P 與 Q 的坐標分別是 P(x1,y1) 與 Q(x2,y2)，x1 y2，而 y=f(x) 是滿足 f(x1)=y1 與 f(x2)=y2 的一個函數，仿照前小節的方法，可知一質點沿著曲線 y=f(x) 由 P 點落到 Q 點所需的時間為 在所有此種函數 y=f(x) 中，那一個函數能使上述定積分的值最小，這個問題乃是一個以函數（或曲線）為變數的極值問題。研究這類問題的方法稱為變分法(calculus of variation)。它與微積分中討論極值的方法不相同，而且也困難得多。探討最速降曲線的問題，乃是變分學的先驅問題之一，一般的變分學書籍都會談到這個例子。 在最速降曲線問題中，有一個問題必須交待，那就是：對任意二點 P(x1,y1) 與 Q(x2,y2)，x1y2，有多少擺線以 P 為一尖點而又通過 Q 呢？答案是：恰有一條。這條擺線是這樣來的。首先，利用微積分或其他方法可以證明：恰有一個 滿足下式： 然後，令 ，則擺線 ,