本科毕业论文(设题 目 量子力学中的代数解法.pdf

分类号 分类号 O413O413单位代码 单位代码 107107 密密级 级 一般一般学学号 号 10719040140161071904014016 本科毕业论文 设计 本科毕业论文 设计 题题目 目 量子力学中的代数解法量子力学中的代数解法 专专业 业 物理学物理学 姓姓名 名 曹曹盼盼 指导教师 指导教师 白少民白少民 职职称 称 教教授授 答辩日期 答辩日期 二二 0000 八年六月三日八年六月三日 1 量子力学中的代数方法 摘要 确定力学量的本征值和本征态问题是研究量子力学的重要内容 我们习 惯上采用解析方法直接求解定态 Schr dinger 方程 当考虑束缚态时还可以用代数方 法求解 本文通过一定的思路构造出量子数的升降算符 并用升降算符确定了谐振子和 氢原子等的能级及其波函数 进一步丰富了因子化方法 结果表明 用代数方法求得的 波函数不仅在形式上简单而且在许多实际问题中都容易应用 关键词 因子化方法 构造算符 束缚态 TheTheThe The AlgebraicAlgebraicAlgebraic Algebraic MethodMethodMethod Method s s s s ininin in QuantumQuantumQuantum Quantum MechanicsMechanicsMechanics Mechanics Abstract Abstract Abstract Abstract Determine the eignvalue and eignfunction of an operator is of great importance in quantum mechanics Weare accustomed to solve Schr dinger equation directly by analytic method and can also make it by algebraic method when considering bound states This paper will construct the raising and lowering operators of a quantum number using a special idea and apply these operators to work out the allowed energies and wavefunctions of harmonic oscillator and hydrogen atom etc and further enrich the factorization method The results show that the wavefunctions obtained by algebraic method isnot only simple in form but also easy to apply in some practical problems KeyKeyKey Key words words words words factorization method construct operator bound states 2 量子体系的本征值及其对应的本征态问题一直是研究量子力学的重要内容 除了 通常的解析方法之外我们还可以采用代数方法求解 近年来 在物理学各前沿领域中 代数方法 包括群及群表示理论 不仅被广泛用来处理本征值问题 而且在超对称量 子力学中也得到了进一步的发展 本文分三部分 第一部分以一维谐振子的量子现象为 例 阐明代数解法的基本思路 并用解析方法进行对比求解 第二部分应用代数解法的 思路 求解带电粒子在匀强磁场中的运动情况和氢原子的本征值以及本征态问题 第三 部分对两种方法进行对比研究 1 1 1 1 一维谐振子 简谐运动是自然界中很普遍的运动形式 任何体系在平衡位置附近的小振动 例如 分子的振动 晶格的振动 原子核表面振动以及辐射场的振动等 在选择适当的坐标 之后 往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐运动 对于某些复杂的运动 只要振幅 足够小 就可以近似地看成谐振子模型 量子谐振子可看作由质量为的小球和劲度系数为的轻质弹簧组成的系统 不考mk 虑摩擦 其定态方程为Schrodinger 22 22 2 1 1 1 22 d mxxEx m dx 1 11 11 1 1 1 代数解法 代数解法的基本想法是构造一对升降算符和 并用和表示 或A A A A A A H 其它 算符如下 A AEHA AEH 其中 或 的作用是使对应的量子数升1 或降 1 然后根据一定的条件得出能A A 级的上限或下限 再求出相应的态 最终可通过或的连续作用求得所有的态与能A A 级 将方程 1 1 的量改写为Hamilton 2222 1 2 Hpmx m 与比较可设H AC m xipAD m xip 代入 式有 22222222 1 2 CD pmxmEpmx m 3 22222222 1 2 CD pmxmEpmx m 对比可取 则 1 2 CD m 11 22 Am xipAm xip mm 2 2EE 可以表示为H 2 2HA AHA A 分别用和作用在上 有A A A A 2 1 2 A AEa 2 1 2 A AEb 用作用在式 有A 1 2 a 2 1 2 A A AEAc 比较和式 可以看成是增加一个能量单位 为了进 1 2 b 1 2 c 2E 2E 一步了解的作用 将作用在上 得A HA 2 2 1 3 H AA AAAA AEA 可见的作用相当于把能级抬升一个 像一只猫爬上了一节梯子 如果用连续A A 作用在上 的本征值就均匀的增加 相应的态也随之增加 可以证明 2 所 HE 得的就是的所有本征态与本征值 分别记为和 可见的作用是使量子数H n n EA n 增 1 同样可以说明的作用是使量子数减 1 此时 A n 2 nn E 并且满足 2 nn E 1 nn 式 和 就是我们构造升降算符的基础 根据束缚态所要求的归一化条件 必定存在一个最低的态 即基态 相应的 0 4 能量为 则 0 E 000 0 AHE 解得 1 4 2 00 exp 1 4 22 mm xE 用连续作用上可求得所有的波函数和能级A 0 0 1 0 1 2 2 n nnn A AEnn 1 5 求解归一化系数 根据的作用可设 则 n AA 11 nnnnnn AcAd 易知 又由和两式得 11 22 Am xipAAm xipA mm 1 2 a 1 2 b 1 nnnn A AnA An 则 1 nn cndn 可见如果和具有一定的厄米共轭关系 求解归一化系数和时将很方便 A A n c n d 因此在构造算符时要对此加以考虑 通过列举前几项可归纳出 则 n A 1 n A n 0 1 n n A n 1 21 21 2 1 2 解析方法解析方法解析方法 解析方法 解析方法就是根据一定的束缚态边界条件直接求解偏微分方程 改变的标度 使x 方程 1 1 简洁一些 可令 方程 1 1 变为 x a KE b 222 22 22 2 dm ama b K d 为使和的系数为 1 取 长度量纲 能量量纲 即改变 Ka m 2b x 和的标度可使方程 1 1 变为E 5 2 2 2 1 6 d K d 其中是长度以为单位 是能量以为单位 aKb 先考虑当很大时方程 1 6 的渐近行为 方程 1 6 变为 2 2 2 d d 其解具有形式 当很大时 趋近于 0 要求 不妨设 22 2 2 AeBe 0B 2 2 1 7 he 代入方程 1 6 得 2 2 2 1 0 1 8 d hdh Kh dd 采用级数方法求解方程 1 8 设代入方程 1 6 化 2 012 0 jj j haaaa 简得 2 0 1 2 2 1 0 j jjj j jjajaKa 上式恒成立要求方括号内的项为 0 即 2 21 1 2 jj jK aa jj 观察递推公式可知系数分为两类 从开始的偶次项和从开始的奇次项 当很大 j a 0 a 1 aj 时 c 为常数 22 2221 2 2 jjj aaac jj jj 则 此时具有的形式不满足束缚态边条件 为了得 21 2 j hcce j 2 2 e 到物理上有意义的解 和式必须在某一项上截断 即要求 对应的能量 h n21Kn 1 2 0 1 2 1 9 2 EKnn 根据截断要求要么只有偶次项要么只有奇次项 系数递推关系为 h 6 图 1 1谐振子基态概率分布 2 2 1 2 jj nj aa jj 称为多项式 一般取最高次项系数 那么归一化后可得 h Hermite2n n a 2 1 4 2 1 1 10 2 nn n m he n 至此用解析方法完全解出和 这和代数解法的结果 1 5 式一致 n E n 1 31 31 3 1 3 谐振子的讨论谐振子的讨论谐振子的讨论 谐振子的讨论 首先 对谐振子基态 2 1 2 2 00 e 2 m E 在 即 处找到谐振子的0 0 x 概率最大 见图 1 1 但根据经典力学 谐 振子在处运动速度最快 停留时间0 x 最短 即在附近找到粒子的概率最0 x 小 与量子力学结论正好相反 这是除能 级分立之外量子力学与经典力学的又一 个不同 其次 由于基态能量为 根据 2 经典理论 粒子将限制在的范围 1 但量子力学的计算结果却表明在经典禁区 即 粒子出现的概率不为 0 并且 1 22 10 15 73 eded 这是一种量子效应 在基态下表现的 特别突出 但当较大时 量子图像就与经n 典图像趋于一致 图 1 2 是的情形 20n 虚线是经典力学的结论 想想把单摆的摆 球换成含沙子的漏斗在摆动过程中所形成 的 沙子堆 的图像就很容易明白 图像反 映着在不同位置摆球停留的时间 即存在 几率随位置的变化情况 可用速度的倒数 即时间对位置的导数表征 与量子结论 实线曲线 比较可知 在时量子20n 的几率分布与经典的几率分布图像已是一 图 1 2谐振子 n 20 的概率分布 7 致的 这也体现着在 大量子数 的极限条件下 微观世界服从的规律可以用经典物 理作很好的近似 1 41 41 4 1 4 谐振子升降算符的应用谐振子升降算符的应用谐振子升降算符的应用 谐振子升降算符的应用 如果把算符分别用和表示 就很容易的求出它们的平均值和矩阵元 为 x pA A 了使得应用形式简洁一些 对和的系数进行调整 令A A 1111 22 aAm xipaAm xip mm 由算符的构造过程可知 这不影响和的性质 此时 A A 1 22 i xaapaam m 将用符号表示 有 则 n Dirac 1 1 1annnann n 1 0 2 xn x nn aan m 11 1 1 2 mnmnmn xm x nnn m 0 2 i pn aanm 11 1 2 mnmnmn i pm p nnnm 知道矩阵元就可以很容易的解决微扰论和跃迁等相关问题 2 2 2 2 代数方法应用代数方法应用代数方法应用 代数方法应用 2 12 12 1 2 1 匀强磁场中运动的带电粒子匀强磁场中运动的带电粒子匀强磁场中运动的带电粒子 匀强磁场中运动的带电粒子 质量为 带电量为的粒子处在电磁场中运动的算符为mqHamilton 2 1 2 1 2 HpqAq m 其中 A BA E t 只考虑均匀磁场 与标势无关 0 相应的失势可表为 A 1 2 ABr 8 设 则有代入 2 1 式得B Bk 0 22 xyz BB Ay Ax A 22 222 22 2282 xy z yx pp pqBq B Hxpypxy mmmm 可看作独立的两部分 沿轴的自由运动 和沿平面的运动 即Hz z Hxoy xy H 22 22 22 2 2 228 xy xyyx pp qBq B Hxpypxy mmm 通过观察发现的系数分别相同 根据 2222 xyyx ppxyxpyp 22 uiv uivuvi uvvu 可设并使其满足 xyxy AC pipD xiyAF pipG xiy 2 3 xyxyxyxy A AEHA AEHa 即A AA A 将和代入比较系数可取 因具有角A A A A 2 3 a 1 28 qB CFGDi mm qB m 频率的量纲 可记为 则 11 2828 xyxy mm ApipixiyApipixiy mmmm 2 2 2 3 xyxy EEb 式和与谐振子的情况完全相同 因此的本征值和本征态也是分立的 2 3 a 2 3 b xy H 分别可记为和 并且有 那么构造的和确是量子数的升降算符 n E n 1nn A A n 同样根据束缚态要求的归一化条件 可求得基态能级和波函数 由 0 E 0 得 000 0 AHE 0 0 0 0 0 2 2 0 2 2 im x x m m y y m 解得 9 22 4 0 4 m xy m x ye 并考虑轴的运动有z 22 2 4 00 1 2 4 4222 z m xy ip z z pm x y zeeE m 用与谐振子同样的方法可求出其它激发的态 那么我们就用升降算符的方法求出了 能级 Landu 2 22 22 2 2 2 氢原子的本征值和本征态氢原子的本征值和本征态氢原子的本征值和本征态 氢原子的本征值和本征态 理想的氢原子模型是无自旋的单电子在点电荷的库仑场中运动 其定态 方程为Schrodinger 22 2 0 1 2 5 24 e rEr mr 在球坐标系下对分离变量 有 r m l rR r Y 其中为球谐函数 解是已知的 并且 m l Y 满足径向方程0 1 2 1 lmlll R r 2 2 22 22 0 22 1 0 2 6 4 El ddmEme rrrl lRr drdr 其中和 是两个参量 解的形式与它们有关 考虑束缚态的情况 为 负 值 El R rE 可令 为一参数 是能量 2 R E n E n 2 2 2 0 13 6 24 R me EeV Rydberg 是半径 2r na 2 0 2 4 0 053anm em Bohr 并用代替 即令 系数保证归一化 此时径向方程变为 nl R nl Rr 3 2 2 nlnl RrR na 2 2 1 2 7 4 nlnl dd nRl lRa dd 10 为以后书写简单 记 下面用代数方法求解式 nlnl RR 2 7 a 方程式可写为 2 7 a 1 2 7 nlnl WRl lRb 2 1 2 7 nlnl l l MRRc 其中 222 2 22 21 2 44 ddddn WnM dddd 因与量子数和 都有关系 预期和有可能分解出两对升降算符和 nl RnlWM A n 不妨先假设与对应与对应 为了求出最终的归一化系数 分解 B l W A n M B l 出的一对因子有一定的厄米共轭关系将是很方便的 因 2 3 dddd dddd 考虑到每对因子都相差一个负号 故将 式改写如下 1 1 2 8 nl A nA nl lWa 1 1 2 8 nl A nA nl lWb 即 1 nlnlnl A nA n RR 1 nlnlnl A nA n RR 2 1 1 2 8 nl l l B lB lMc 2 1 1 2 8 nl l l B lB lMd 即 1 nlnlnl B lB l RR 1 nlnlnl B lB l RR 显然 2 8 与 式在本质上式一样的 其中和两种组合中 1 A nA n 1 A nA n 11 的的增减是为了满足 式 n 构造量子数的升降算符 设n nnnn dd A nDEF A nDYG dd 分别代入和式 解得 2 8 a 2 8 b 1 11 1 22 nnnnn n n DEFGFD F E 取 即 1 1 1 1 2 nnnn DEYFnGn 1 1 2 1 1 2 d A nn d d A nn d 此时 显然有 1 1 1 1 nlnl n nl ln nl l 1 2 9 nlnl 2 9 式说明的作用的确是量子数的升降算符 并且保持量子数 不变 可设 A n nl 1 1 nlnnlnlnnl A n Rc RA n Rd R 确定能级 由物理量的代换知表示能量 根据束缚态的归一化条件 氢原子存在n 最低的能量使得 0 n E 0 0 0 n l A n R 用作用在上式 并应用式得 0 1 A n 2 8 b 00 0000 1 1 0 n ln l A nA n Rnl nlR 根据定义取正数 则 因 取非负的整数 则 并且取大于 的一切整n 0 1nl l 0 1n nl 数 那么基态能量 1 2 0 13 6 R E EeV n 其它能级为 2 1 2 3 0 1 2 1 2 10 R n E Enln n 12 这与解析解完全一样 确定系数和 根据假设 n c n d 易证代入上式可得 1 1 A nA nA nA n 22 22 2 11 nn cdn 可以证明 5 2 3 1 nl l n 将代入 2 11 式 并注意到得 1nnnl dc 0 1 0 n dd 2 2 1 2 1 1 2 1 4 n n n nl l d l l dn n 通过归纳法可得 那么 1 1 1 n n dn nl l n 1 1 1 n n cn nl l n 构造量子数 的升降算符 设l ll ll EYdd B lDF B lDG dd 分别代入和两式得 2 8 c 2 8 d 11 2 11 1 2 3 1 2 0 2 llll lll l DYED GF n EDEllF ED 取 则1 1 22 1 llll nn DElFYl G ll 1 2 dln B l dl 2 1 dln B l dl 13 此时这保证了自然成立 从而说明是量子 22 22 11 4 1 444 nlnl nn ll 1nlnl B l 数 的升降算符并保持量子数不变 同样可设ln 11 nllnlnllnl B l Ru RB l Rv R 同样可求系数和 l u l v 取 1 1 2 1 2 ll nlnlnl nl uv ll 求径向态函数 先求的情况 nl R1ln 11 11 1 0 2 11 0 2 nnnn nnnn d A n RnR d dn B l RR d 上面两式是等价的 解得 1 2 1 1 2 12 2 n nn Rea n 写成以 为变量 即r 1 3 2 1 21 2 12 2 2 nn r na nn r Rraeb nan n 特别地 对基态径向波函数有 3 2 10 2 r a Rae 原则上从式出发 可利用算符和的作用求出所有的 再转化 2 12 a A n B l nl R 成 注意在应用的过程中归一化系数可添加负号使波函数的系数为正 因为有用 nl Rr 的是在远方的收敛情况及其模方 亦即 概率密度 最后加上球谐函数部分就得 nl Rr 到了定态波函数 nlm r 氢原子的简要讨论 14 态波函数 仅与 有关 即电子按一定的球壳分布 以 4s态为s 000 1 4 snn Rr r 例 电子在平面的分布见图 2 1 此 浓淡图 代表仅有的一个电子在一段时间内xoz 分布的平均概率 相应的概率分布见图 2 2 图 2 2氢原子 4s态概率分布图 2 1氢原子 4s 态 电子云 经典的 圆轨道 当时 对应的径向概率密度随 的变化1ln 2 1 nnn PrRr r 曲线见图 2 3 可见每一个只存在一个极大值 由 2 12 2 式很容易证明对应的位置n 但在量子力学中其它的径向概率密度却有不只一个极值 图 2 4 显示了 2 n rn a 4n 的所有情况 图 2 3 氢原子前 4 个 圆轨道 径向概率分布图 2 4氢原子 n 4 的径向概率分布 3 3 3 3 代数方法与解析方法的对比研究代数方法与解析方法的对比研究代数方法与解析方法的对比研究 代数方法与解析方法的对比研究 定态方程是一个偏微分方程 习惯上采用解析方法处理 即根据一定Schrodinger 15 的物理条件 如边界条件 归一化条件 自然条件等 直接求解 目前 常见的偏微 分方程已经拥有完善的求解思路 方法 但是能够精确求解的毕竟只是极少数的方程 更一般的是研究数值方法 事实上只要近似程度可以 其作用完全不亚于精确解 升降算符的方法是量子力学中特有的方法 其基础是束缚态所要求的归一化条件 这导致了能量只能取不连续的值 相应的有意义的波函数自然就是分立的 这种方法的 本质是通过升降算符的作用使得量子数 比如等 发生了升降 可以证明 升降算 n l s j 符法适用于基态能量有限且存在的一维势阱和势能为或的中心力场的 0 E 0 ddx 1 r 2 r 径向方程 升降算符法的关键是根据算符 或含有离心势能项的径向方程 的形式Hamilton 构造出几对升降算符 并对它们的意义进行阐明 一方面由于分解因式具有很大的灵活 性 文中通过猜想 待定系数推理 验证的思路进行探索 因构造出的升降算符对波函 数的作用形式简单 从而可导出涉及的等算符使问题简化 这一点在谐振子 1 r p 中得到很好的应用 7 但对氢原子来说却应用不多 另一方面升降算符一般为微分式 从而得出的是微分递推式 这不便于通过计算机计算并绘出变化曲线作进一步分析 通过解析方法得到的精确解可以弥补这个不足 目前 算符的因子化方法有了比较系统的理论 2 但涉及算符的构造仍然是猜想 和待定系数的方法 不能够使人满意 常系数常微分方程的算子解法的发展或许可以提 供一个方向 最初算子解法是由无线电工程师亥维赛用于求解线性微分方程 后来由 杰弗莱斯的完善使得这种方法很成功 但由于符号法形式上的粗糙性最终由 Laplace 给予完美的解决 与 Laplace 变换一样 量子力学中的代数解法在解决特定领域的微分 方程是很方便的 具有重要的研究意义 参考文献参考文献参考文献 参考文献 1 Griffiths D J Introduction to Qutantum Mechanics M 第 2 版 北京 机械工业出版社 2006 40 59 2 程檀生 现代量子力学教程 M 北京 北京大学出版社 2006 259 269 3 费恩曼 莱顿 桑兹 费恩曼物理学讲义 第 3 卷 M 上海 上海科学技术出版社 2006 250 253 4 刘建军 齐向红 裴晓林 均匀磁场中带电粒子运动的代数解法 J 河北师范大学学报 自然 科学版 19 4 1995 53 5 喀兴林 高等量子力学 M 第 2 版 北京 高等教育出版社 2001 127 135 6 喀兴林 量子力学与原子世界 M 太原 山西科学技术出版社 2000 82 83 7 曾谨言 量子力学 卷 1 M 第 4 版 北京 科学出版社