2013年高考数学试题精编：8.1椭圆.pdf

第八章 圆锥曲线方程 一 椭圆 第八章 圆锥曲线方程 一 椭圆 考点阐述 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 了解椭圆的参数方程 考试要求 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 了解椭圆的参数方程 考题分类 一 选择题 共 4 题 1 福建卷文 11 若点 O 和点 F 分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的 任意一点 则OP FP uuu r uuu r 的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 00 xy 则有 22 00 1 43 xy 解得 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 00 1 FPxy uuu r 00 OPxy uuu r 所以 2 000 1 OP FPx xy uuu r uuu r 00 1 OP FPx x uuu r uuu r 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x 因为 0 22x 所以当 0 2x 时 OP FP uuu r uuu r 取得最大值 2 2 236 4 选 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数的 单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 2 广东卷文 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心 率是 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 3 全国 卷理 12 文 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F 且斜率为 0 k k 的直线与C相交于A B 两点 若 3AFFB uuu ruuu r 则k A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB1 垂直于 l A1 B 为垂足 过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E 由第二定义得 由 得 即 k 故选 B 4 四川卷理 9 文 10 椭圆 22 22 1 xy ab ab 0 的右焦点F 其右准线与x轴的交点为 A 在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点 的距离相等而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 二 填空题 共 3 题 1 湖 北 卷 文 15 已 知 椭 圆 2 2 1 2 x cy 的 两 焦 点 为 12 F F 点 00 P xy 满 足 2 2 0 0 01 2 x y 0 b 0 xy ab 且可知左焦点为 F 2 0 从而有 c 2 2a AF AF 3 5 8 解得 c 2 a 4 又 222 a b c 所以 2 b12 故椭圆 C 的方程为 22 1 1612 xy 2 假设存在符合题意的直线l 其方程为 3 y x t 2 由 22 3 y x t 2 xy 1 1612 得 22 3x 3tx t 12 0 因为直线l与椭圆有公共点 所以有 22 3t 4 3 t 12 0 解得 4 3t4 3 另一方面 由直线 OA 与l的距离 4 可得 t 4 9 1 4 从而t 2 13 由于 2 13 4 3 4 3 所以符合题意的直线l不存在 5 江苏卷 18 在平面直角坐标系 xoy 中 如图 已知椭圆 1 59 22 yx 的左右顶点为 A B 右焦点为 F 设过点 T mt 的直线 TA TB 与椭圆分别交于点 M 11 yx 22 yxN 其 中 m 0 0 0 21 yy 设动点 P 满足 4 22 PBPF 求点 P 的轨迹 设 3 1 2 21 xx 求点 T 的坐标 设 9 t 求证 直线 MN 必过 x 轴上的一定点 其坐标与 m 无关 解析 本小题主要考查求简单曲线的方程 考查方直线与椭圆的方程等基础知识 考查运 算求解能力和探究问题的能力 满分 16 分 1 设点 P x y 则 F 2 0 B 3 0 A 3 0 由 4 22 PBPF 得 2222 2 3 4 xyxy 化简得 9 2 x 故所求点 P 的轨迹为直线 9 2 x 2 将 3 1 2 21 xx 分别代入椭圆方程 以及 0 0 21 yy 得 M 2 5 3 N 1 3 20 9 直线 MTA 方程为 03 5 23 0 3 yx 即 1 1 3 yx 直线 NTB 方程为 03 201 03 93 yx 即 55 62 yx 联立方程组 解得 7 10 3 x y 所以点 T 的坐标为 10 7 3 3 点 T 的坐标为 9 m 直线 MTA 方程为 03 093 yx m 即 3 12 m yx 直线 NTB 方程为 03 093 yx m 即 3 6 m yx 分别与椭圆 1 59 22 yx 联立方程组 同时考虑到 12 3 3xx 解得 2 22 3 80 40 8080 mm M mm 2 22 3 20 20 2020 mm N mm 方法一 当 12 xx 时 直线 MN 方程为 2 22 22 22 22 203 20 2020 4020 3 80 3 20 8020 8020 mm yx mm mm mm mm mm 令 0y 解得 1x 此时必过点 D 1 0 当 12 xx 时 直线 MN 方程为 1x 与 x 轴交点为 D 1 0 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D 1 0 方法二 若 12 xx 则由 22 22 2403360 8020 mm mm 及 0m 得 2 10m 此时直线 MN 的方程为 1x 过点 D 1 0 若 12 xx 则 2 10m 直线 MD 的斜率 2 22 2 40 10 80 240340 1 80 MD m m m k mm m 直线 ND 的斜率 2 22 2 20 10 20 36040 1 20 ND m m m k mm m 得 MDND kk 所以直线 MN 过 D 点 因此 直线 MN 必过x轴上的点 1 0 6 江西卷理 21 设椭圆 1 C 22 22 1 0 xy ab ab 抛物线 2 C 22 xbyb 1 若 2 C 经过 1 C 的两个焦点 求 1 C 的离心率 2 设 5 0 3 3 4 Ab Qb 又M N 为 1 C 与 2 C 不在 y 轴上的两 个交点 若 AMN 的垂心为 3 0 4 Bb 且 QMN 的重心在 2 C 上 求椭圆 1 C 和抛物线 2 C 的方程 解析 考查椭圆和抛物线的定义 基本量 通过交点三角形来确认方程 1 由已知椭圆焦点 c 0 在抛物线上 可得 22 cb 由 2 2222 2 12 2 22 c abcce a 有 2 由题设可知 M N 关于 y 轴对称 设 11111 0 Mx yN x yx 由 AMN 的垂心为 B 有 2 111 3 0 0 4 BM ANxybyb uuuu r uuur 由点 11 N x y 在抛物线上 22 11 xbyb 解得 11 4 b yyb 或舍去 故 1 555 22424 bb xb MbNb 得 QMN 重心坐标 3 4 b 由重心在抛物线上得 2 2 3 2 4 b bb 所以 11 5 5 22 MN 又因为 M N 在椭圆上得 2 16 3 a 椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy 抛物线方程为 2 24xy N x Q M O y 7 江西卷文 21 已知抛物线 1 C 22 xbyb 经过椭圆 2 C 22 22 1 0 xy ab ab 的两 个焦点 1 求椭圆 2 C 的离心率 2 设 3 Qb 又 M N 为 1 C 与 2 C 不在 y 轴上的两个交点 若 QMN 的重心在抛物线 1 C 上 求 1 C 和 2 C 的方程 解 1 因为抛物线 1 C 经过椭圆 2 C 的两个焦点 12 0 0 FcF c 所以 22 0cbb 即 22 cb 由 2222 2abcc 得椭圆 2 C 的 离心率 2 2 e 2 由 1 可知 22 2ab 椭圆 2 C 的方程为 22 22 1 2 xy bb 联立抛物线 1 C 的方程 22 xbyb 得 22 20ybyb 解得 2 b y 或 yb 舍去 所以 6 2 xb 即 66 2222 bb MbNb 所以 QMN 的重心坐标为 1 0 因为重心在 1 C 上 所以 22 10bb 得 1b 所以 2 2a 所以抛物线 1 C 的方程为 2 1xy 椭圆 2 C 的方程为 2 2 1 2 x y 8 辽宁卷理 20 设椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为 F 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A B 两点 直线 l 的倾斜角为 60o 2AFFB uuuruuu r I 求椭圆 C 的离心率 N x Q M O y N x Q M O y II 如果 AB 15 4 求椭圆 C 的方程 解析 9 辽宁卷文 20 设 1 F 2 F 分别为椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的左右焦点 过 2 F 的 直线l与椭圆C相交于A B两点 直线l的倾斜角为60 o 1 F 到直线l的距离为2 3 求椭圆C的焦距 如果 22 2AFF B uuuu ruuuu r 求椭圆C的方程 解 设焦距为2c 由已知可得 1 F 到直线 l 的距离 32 3 2 cc 故 所以椭圆C的焦距为 4 设 112212 0 0 A x yB xyyy由题意知 直线l的方程为 3 2 yx 联立 22224 22 22 3 2 3 4 330 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3 22 3 22 33 baba yy abab 因为 2212 2 2 AFF Byy uuuu ruuuu r 所以 即 22 2222 3 22 3 22 2 33 baba abab 得 22 3 4 5 aabb 而所以 故椭圆C的方程为 22 1 95 xy 10 全国 新卷理 20 设 12 F F 分别是椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左 右焦点 过 1 F 斜率为 1 的直线i与E相交于 A B 两点 且 22 AFABBF 成等差数列 1 求E的离心率 2 设点 0 1 p 满足 PAPB 求E的方程 解 I 由椭圆定义知 22 4AFBFABa 又 22 2 ABAFBF 得 4 3 ABa l的方程为y xc 其中 22 cab 设 11 A x y 22 B xy 则 A B 两点坐标满足方程组 22 22 1 yxc xy ab 化简的 2222222 20abxa cxacb 则 222 2 1212 2222 2 acb a c xxx x abab 因为直线 AB 斜率为 1 所以 AB 2 211212 224xxxxx x 得 2 22 44 3 ab a ab 故 22 2ab 所以 E 的离心率 22 2 2 cab e aa II 设 AB 的中点为 00 N xy 由 I 知 2 12 0 22 2 23 xxa c xc ab 00 3 c yxc 由 PAPB 得 1 PN k 即 0 0 1 1 y x 得 3c 从而 3 2 3ab 故椭圆 E 的方程为 22 1 189 xy 11 全国 新卷文 20 设 1 F 2 F 分别是椭圆 E 2 x 2 2 y b 1 0 b 1 的左 右焦点 过 1 F 的直线l与 E 相交于 A B 两点 且 2 AF AB 2 BF 成等差数列 求 AB 若直线l的斜率为 1 求 b 的值 解 1 由椭圆定义知 22 F F 4 又 2 AB AFFAB 22 4 3 得 2 L 的方程式为 y x c 其中 2 1cb 设 1111 B A xx y y 则 A B 两点坐标满足方程组 2 2 2 y x c x1 y b 化简得 222 1 21 20 bxcxb 则 2 1212 22 21 2 11 cb xxx x bb 因为直线 AB 的斜率为 1 所以 21 xx 2 即 21 4 2 3 xx 则 224 2 1212 2 222 84 1 4 1 2 8 4 9 1 11 bbb xxx x bbb 解得 2 2 b 12 山东卷理 21 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 以该椭圆上的 点和椭圆的左右焦点 F1 F2 为顶点的三角形的周长 为 421 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点 直线 PF1 和 PF2 与 椭圆的焦点分别为 A B 和 C D 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 PF1 PF2 的斜率分别为 k1 k2 证明 k1 k2 1 是否存在常数 使得 AB CD AB CD 恒成立 若存在 求 的值 若不存在 请说明理由 解析 由题意知 椭圆离心率为 c a 2 2 得 2ac 又2 2ac 4 2 1 所以可解得 2 2a 2c 所以 222 4bac 所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy 所以椭圆的焦点坐标为 2 0 因为双曲线为等轴双曲线 且顶点是该椭圆的焦点 所以该双曲线的标准方程为 22 1 44 xy 设点 P 0 x 0 y 则 1 k 0 0 2 y x 2 k 0 0 2 y x 所以 12 k k 0 0 2 y x 0 0 2 y x 2 0 2 0 4 y x 又点 P 0 x 0 y 在双曲线上 所以有 22 00 1 44 xy 即 22 00 4yx 所以 12 k k 2 0 2 0 4 y x 1 假设存在常数 使得 ABCDAB CD 恒成立 则由 知 12 1k k 所以设直线 AB 的方程为 2 yk x 则直线 CD 的方程为 1 2 yx k 由方程组 22 2 1 84 yk x xy 消 y 得 2222 21 8880kxk xk 设 11 A x y 22 B xy 则由韦达定理得 2 12 2 8 21 k xx k 2 12 2 88 21 k x x k 所以 AB 22 1212 1 4kxxx x 2 2 4 2 1 21 k k 同理可得 CD 2 2 1212 1 1 4xxx x k 2 2 1 4 2 1 1 21 k k 2 2 4 2 1 2 k k 又因为 ABCDAB CD 所以有 11 ABCD 2 2 21 4 2 1 k k 2 2 2 4 2 1 k k 2 2 333 2 84 2 1 k k 所以存在常数 3 2 8 使得 ABCDAB CD 恒成立 命题意图 本题考查了椭圆的定义 离心率 椭圆与双曲线的标准方程 直线与圆锥曲线 的位置关系 是一道综合性的试题 考查了学生综合运用知识解决问题的能力 其中问题 3 是一个开放性问题 考查了同学们观察 推理以及创造性地分析问题 解决问题的能力 标准答案 本小题主要考查椭圆 双曲线的基本概念和基本性质 考查直线和椭圆的位置 关系 考查坐标化 定值和存在性问题 考查数行结合思想和探求问题的能力 解 设椭圆的半焦距为c 由题意知 2 22 2222 00 1100 12 00 22 0012 2 10 4 24422 41 x yycxy a bcm mx x y xy kky axx xyk k f 2 2 c a 2a 2c 4 2 1 所以 a 22 c 2 又 2 a 22 bc 因此 b 2 故 椭圆的标准方程为 22 1 84 xy 由题意设等轴双曲线的标准方程为 22 22 1 xy mm 0mf 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的 焦点 所以 m 2 因此 双曲线的标准方程为 22 1 44 xy 设 A 1 x 1 y B 22 xy P 00 xy 则 1 k 0 0 2 y x 0 2 0 2 y k x 因为点 P 在双曲线 22 4xy 上 所以 22 00 4xy 因此 2 000 12 2 000 1 224 yyy k k xxx 即 12 1k k 同理可得 2 2 2 2 1 4 2 21 k CD k 则 22 12 22 12 2121111 114 2 kk ABCDkk 又 12 1k k 所以 22 11 2 1 2 1 2 1 21111 1 14 2 kk ABCDk k 22 11 22 11 21223 2 8118 kk kk 故 3 2 8 ABCDAB CD 因此 存在 3 2 8 使 ABCDAB CD 恒成立 13 山东卷文 22 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 过 点 2 1 2 离心率为 2 2 左 右焦点分别为 1 F 2 F 点P为直线 2l xy 上且 不在x轴上的任意一点 直线 1 PF 和 2 PF 与椭圆的交点分 别为A B和C D O为坐标原点 I 求椭圆的标准方程 II 设直线 1 PF 2 PF 的斜线分别为 1 k 2 k i 证明 12 13 2 kk ii 问直线l上是否存在点P 使得直线OA OB OC OD的斜率 OA k OB k OC k OD k 满足 0 OAOBOCOD kkkk 若存在 求出所有满足条件的点P的坐标 若 不存在 说明理由 命题意图 本小题主要考查椭圆的基本概念和性质 考查直线与椭圆的位置关系 考查数 形结合思想 分类讨论思想以及探求解决新问题的能力 解析 解 因为椭圆过点 1 2 2 e 2 2 所以 22 11 1 2ab 2 2 c a 又 a2 b2 c2 所以 211abc 故所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y i 设点 P 0 x 0 y 则 1 k 0 0 1 y x 2 k 0 0 1 y x 因为点P不在x轴上 所以 0 0y 又 0 x 0 y 2 所以 12 13 kk 0 0 1x y 0 0 3 1 x y 0 0 42x y 0 0 2 2 y y 因此结论成立 14 陕 西 卷 理20 如 图 椭 圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的顶点为 A1 A2 B1 B2 焦 点为F1 F2 A1B1 7 11221122 2SAB A BS B FB F 求椭圆 C 的方程 设n是过原点的直线 l是与n垂直相交于P点 与椭圆相交于A B两点的直线 1OP uuu r 是否存在上述直线 l 使 1AP PB uuu r uuu r 成立 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 请说明 理由 15 陕西卷文 20 如图 椭圆 C 22 22 1 0 xy ab ab 的顶点为 A1 A2 B1 B2 焦点为 F1 F2 A1B1 7 11221122 2SAB A BS B FB F 求椭圆 C 的方程 设 n 为过原点的直线 l 是与 n 垂直相交与点 P 与椭圆相交于 A B 两点的直线 1OP uuu r 是否存在上述直线 l 使 0AP PB uuu r uuu r 成立 若存在 求出直线 l 的方程 并说出 若不存在 请说明理由 16 上海卷理 23 已知椭圆 的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 点 P 的坐标为 a b 1 若直角坐标平面上的点 M A 0 b B a 0 满足 1 PM PA PB 2 求点M的坐标 2 设直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 交直线 22 lyk x 于点E 若 2 12 2 b k k a 证明 E为CD的中点 3 对于椭圆 上的点 Q a cos b sin 0 如果椭圆 上存在不同的 两个交点 1 P 2 P 满足 12 PP PP PQ 写出求作点 1 P 2 P 的步骤 并求出使 1 P 2 P 存在的 的取值范围 解析 1 22 ab M 2 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy ab 消 y 得方程 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 所以 0 即 2222 1 0a kbp 设 C x1 y1 D x2 y2 CD 中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 1 2 yk xp yk x 消 y 得方程 k2 k1 x p 又因为 2 2 2 1 b k a k 所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故 E 为 CD 的中点 3 求作点 P1 P2 的步骤 1 求出 PQ 的中点 1cos 1sin 22 ab E 2 求出直线 OE 的斜率 2 1sin 1cos b k a 3 由 12 PPPPPQ uuuruuuruuu r 知 E 为 CD 的中点 根据 2 可得 CD 的斜率 2 1 2 2 1cos 1sin bb k a ka 4 从而得直线 CD 的方程 1sin 1cos 1cos 2 1sin 2 bba yx a 5 将直线 CD 与椭圆 的方程联立 方程组的解即为点 P1 P2 的坐标 欲使 P1 P2 存在 必须点 E 在椭圆内 所以 22 1cos 1sin 1 44 化简得 1 sincos 2 2 sin 44 又 0 即 3 444 所以 2 arcsin 444 0 Ab 0 Bb 和 0 Q a 为 的三个顶点 1 若点M满足 1 2 AMAQAB uuuu ruuuruuu r 求点M的坐标 2 设直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 交直线 22 lyk x 于点E 若 2 12 2 b k k a 证明 E为CD的中点 3 设点P在椭圆 内且不在x轴上 如何构作过 PQ 中点F的直线l 使得l与椭圆 的 两个交点 1 P 2 P 满足 12 PPPPPQ uuu ruuuruuu r 令 10a 5b 点P的坐标是 8 1 若 椭圆 上的点 1 P 2 P 满足 12 PPPPPQ uuu ruuuruuu r 求点 1 P 2 P 的坐标 解析 1 22 ab M 2 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy ab 消 y 得方程 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线 11 lyk xp 交椭圆 于C D两点 所以 0 即 2222 1 0a kbp 设 C x1 y1 D x2 y2 CD 中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 1 2 yk xp yk x 消 y 得方程 k2 k1 x p 又因为 2 2 2 1 b k a k 所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故 E 为 CD 的中点 3 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上 所以点 F 在椭圆 内 可以求得直线 OF 的斜率 k2 由 12 PPPPPQ uuuruuuruuu r 知 F 为 P1P2 的中点 根据 2 可得直线 l 的斜率 2 1 2 2 b k a k 从而得 直线 l 的方程 1 1 2 F 直线 OF 的斜率 2 1 2 k 直线 l 的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k 解方程组 22 1 1 2 1 10025 yx xy 消 y x2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P2 8 3 18 天津卷理 20 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率 3 2 e 连接椭圆的四个顶 点得到的菱形的面积为 4 求椭圆的方程 设直线l与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点A的坐标为 0a 点 0 0 Qy 在线段 AB的垂直平分线上 且 4QA QB uuu r uuu r 求 0 y 的值 命题意图 本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 平面向量等基础知 识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想 考查运算和推理能力 解析 1 解 由 3 e 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 得 2ab 由题意可知 1 224 2 2 abab 即 解方程组 2 2 ab ab 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 2 解 由 1 可知 A 2 0 设 B 点的坐标为 x1 y1 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y 由方程组消去 Y 并整理 得 2222 14 16 164 0kxk xk 由 2 1 2 164 2 14 k x k 得 2 11 22 284 1414 kk xy kk 从而 设线段 AB 是中点为 M 则 M 的坐标为 2 22 82 1414 kk kk 以下分两种情况 1 当 k 0 时 点 B 的坐标为 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 000 2 y 2 2QAQByQA QBy 由4 得 2 2 当 K 0 时 线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 1414 kk Yx kkk 令 x 0 解得 0 2 6 14 k y k 由 0110 2 y QAQBx yy 2 1010 2222 2 2 8 646 2 1 41 41 41 4 kkkk QAQBxy yy kkkk 42 22 4 16151 4 1 4 kk k 整理得 2 0 142 14 72 75 kky 故所以 综上 00 2 14 2 2 5 yy 或 19 天津卷文 21 已知椭圆 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率 e 3 2 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 求椭圆的方程 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A B 已知点 A 的坐 标为 a 0 i 若 4 2 AB 5 求直线 l 的倾斜角 ii 若点 Q y0 0 在线段 AB 的垂直平分线上 且 QA QB 4 uuur uuu r 求 y0 的值 命题意图 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公式 直线的倾斜角 平面向量等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思 想 考查综合分析与运算能力 解析 解 由 e 3 2 c a 得 22 34ac 再由 222 cab 解得 a 2b 由题意可知 1 224 2 ab 即 ab 2 解方程组 2 2 ab ab 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 2 2