2013年高考数学试题精编：11.1概率.pdf

第十一章 概率与统计 一 概率 第十一章 概率与统计 一 概率 考点阐述 随机事件的概率 等可能性事件的概率 互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发 生的概率 独立重复试验 考试要求 1 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义 2 了解等可能性事件的概率的意义 会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 概率 3 了解互斥事件 相互独立事件的意义 会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率 4 会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 考题分类 一 选择题 共 6 题 1 安徽卷文 10 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线 乙从该正方形四个 顶点中任意选择两个顶点连成直线 则所得的两条直线相互垂直的概率是 A 3 18 B 4 18 C 5 18 D 6 18 答案 C 解析 正方形四个顶点可以确定 6 条直线 甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件 两条 直线相互垂直的情况有 5 种 4 组邻边和对角线 包括 10 个基本事件 所以概率等于 方法技巧 对于几何中的概率问题 关键是正确作出几何图形 分类得出基本事件数 然 后得所求事件保护的基本事件数 进而利用概率公式求概率 2 北京卷文 3 从 1 2 3 4 5 中随机选取一个数为 a 从 1 2 3 中随机选取一个数为 b 则 b a 的概率是 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 3 湖北卷理 4 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次 记 硬币正面向上 为事件 A 骰子向上的点数是 3 为事件 B 则事件 A B 中至少有一件发生的概率是 A 5 12 B 1 2 C 7 12 D 3 4 答案 C 解析 因为事件 A B 中至少有一件发生与都不发生互为对立事件 故所求概率为 157 1P A P B 1 2612 选 C 4 江西卷理 11 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币 国王怀 疑大臣作弊 他用两种方法来检测 方法一 在 10 箱中各任意抽查一枚 方法二 在 5 箱中 各任意抽查两枚 国王用方法一 二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 1 p 和 2 p 则 A 12 pp B 12 pp D 以上三种情况都有可能 答案 B 解析 考查不放回的抽球 重点考查二项分布的概率 本题是北师大版新课标的课堂作业 作为旧大纲的最后一年高考 本题给出一个强烈的导向信号 方法一 每箱的选中的概率为 1 10 总概率为 0010 10 1 0 1 0 9 C 同理 方法二 每箱的选中的概率为 1 5 总事件的概 率为 005 5 14 1 55 C 作差得 1 p 2 p 5 江西卷文 9 有n位同学参加某项选拔测试 每位同学能通过测试的概率都是 p 01 p 假设每位同学能否通过测试是相互独立的 则至少有一位同学通过测试的 概率为 A 1 np B 1 n p C n p D 1 1 np 答案 D 解析 考查 n 次独立重复事件中 A 事件恰好发生 K 次的公式 可先求 n 次测试中没有人通 过的概率再利用对立事件得答案 D 6 辽宁卷理 3 两个实习生每人加工一个零件 加工为一等品的概率分别为 2 3和 3 4 两个 零件是否加工为一等品相互独立 则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A 1 2 B 5 12 C 1 4 D 1 6 二 填空题 共 13 题 1 安徽卷理 15 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球 和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 12 A A 和 3 A 表示由甲罐取出的球 是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以B表示由乙罐取出的球是红球 的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 2 5 P B 1 5 11 P B A 事件B与事件 1 A 相互独立 123 A A A 是两两互斥的事件 P B 的值不能确定 因为它与 123 A A A 中究竟哪一个发生有关 答案 解析 易见 123 A A A 是两两互斥的事件 而 123 5524349 10111011101122 P BP B AP B AP B A 方法总结 本题是概率的综合问题 掌握基本概念 及条件概率的基本运算是解决问题的 关 键 本 题 在 123 A A A 是 两 两 互 斥 的 事 件 把 事 件B的 概 率 进 行 转 化 123 P BP B AP B AP B A 可知事件 B 的概率是确定的 2 福建卷理 13 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设的 5 个问题中 选手若能连续正 确回答出两个问题 即停止答题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0 8 且每个问题的回答结果相互独立 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率 等于 答案 0 128 解析 命题意图 3 湖北卷文 13 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0 9 则服用这咱新药的 4 个病 人中至少 3 人被治愈的概率为 用数字作答 答案 0 9744 解析 分情况讨论 若共有 3 人被治愈 则 33 14 0 9 10 9 0 2916PC 若共有 4 人被治愈 则 4 2 0 9 0 6561P 故至少有 3 人被治愈概率 12 0 9744PPP 4 湖南卷理 11 在区间上随机取一个数 x 则的概率为 答案 2 3 解析 P x 1 1 1 2 2 1 3 命题意图 本题考察几何概率 属容易题 5 湖南卷文 11 在区间 1 2 上随即取一个数 x 则 x 0 1 的概率为 答案 1 3 命题意图 本题考察几何概率 属容易题 6 江苏卷 3 盒子中有大小相同的 3 只小球 1 只黑球 若从中随机地摸出两只球 两只 球颜色不同的概率是 答案 1 2 解析 考查古典概型知识 31 62 p 7 辽宁卷文 13 三张卡片上分别写上字母 E E B 将三张卡片随机地排成一行 恰好排 成英文单词 BEE 的概率为 解析 填 1 3 三张卡片随机地排成一行 共有三种情况 BEE EBE EEB 概率为 1 3 8 上海卷理 9 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 1 张 事件 A 为 抽得红桃 K 事件 B 为 抽得为黑桃 则概率 P A B 结果用最简分数表示 解析 考查互斥事件概率公式 P A B 26 7 52 13 52 1 9 上海卷文 10 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 2 张 则 抽出的 2 张均为 红桃 的概率为 结果用最简分数表示 解析 考查等可能事件概率 抽出的 2 张均为红桃 的概率为 51 3 2 52 2 13 C C 10 浙江卷文 17 在平行四边形 ABCD 中 O 是 AC 与 BD 的交 点 P Q M N 分别是线段 OA OB OC OD 的中点 在 APMC 中任取一点记为 E 在 B Q N D 中任取一点记为 F 设 G 为满足向量OG OE OF uuuruuuuu ruuu r 的点 则在上述的点 G 组成的集 合中的点 落在平行四边形 ABCD 外 不含边界 的概率 为 解析 由题意知 G 点共有 16 种取法 而只有 E 为 P M 中一点 F 为 Q N 中一点时 落在 平行四边形内 故符合要求的 G 的只有 4 个 因此概率为4 3 本题主要考察了平面向量与 古典概型的综合运用 属中档题 11 重庆卷理 13 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同 且在两次罚球中至多命中 一次的概率为 16 25 则该队员每次罚球的命中率为 答案 3 5 解析 由 25 16 1 2 p 得 5 3 p 12 重庆卷文 14 加工某一零件需经过三道工序 设第一 二 三道工序的次品率分别为 1 70 1 69 1 68 且各道工序互不影响 则加工出来的零件的次品率为 答案 3 70 解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品 由对立事件公式得加工出来的零 件的次品率 6968673 1 70696870 p 13 上海春卷 9 连续两次掷骰子 出现点数之和等于 4 的概率为 结果用 数值表示 答案 1 12 解析 点数和为的结果为 1 3 2 2 3 1 共 3 个 而总的试验 结果为 36 个 由古典概型概率计算公式可得 31 3612 m P n 三 解答题 共 13 题 1 福建卷文 18 设平面向量 a m m 1 b n 2 n 其中 m n 1 2 3 4 I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 II 记 使得 a m a m b n 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生的概率 2 广东卷文 17 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中 随机抽 取了 100 名电视观众 相关的数据如下表所示 1 由表中数据直观分析 收看新闻节目的观众是否与年龄有关 2 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名 大于 40 岁 的观众应该抽取几名 3 在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名 求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率 3 湖南卷文 17 为了对某课题进行研究 用分层抽样方法从三所高校 A B C 的相关人员 中 抽取若干人组成研究小组 有关数据见下表 单位 人 求 x y 若从高校 B C 抽取的人中选 2 人作专题发言 求这二人都来自高校 C 的概率 4 江苏卷 22 某厂生产甲 乙两种产品 生产甲产品一等品 80 二等品 20 生产乙产 品 一等品 90 二等品 10 生产一件甲产品 如果是一等品可获利 4 万元 若是二等品 则要亏损 1 万元 生产一件乙产品 如果是一等品可获利 6 万元 若是二等品则要亏损 2 万元 设生产各种产品相互独立 记 x 单位 万元 为生产 1 件甲产品和件乙产品可获得的总利润 求 x 的分布列 求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 解析 本题主要考查概率的有关知识 考查运算求解能力 满分 10 分 解 1 由题设知 X 的可能取值为 10 5 2 3 且 P X 10 0 8 0 9 0 72 P X 5 0 2 0 9 0 18 P X 2 0 8 0 1 0 08 P X 3 0 2 0 1 0 02 由此得 X 的分布列为 X 10 5 2 3 P 0 72 0 18 0 08 0 02 2 设生产的 4 件甲产品中一等品有n件 则二等品有4 n 件 由题设知4 4 10nn 解得 14 5 n 又n N 得 3n 或 4n 所求概率为 334 4 0 80 20 80 8192PC 答 生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0 8192 5 江西卷文 18 某迷宫有三个通道 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门 首次到达 此门 系统会随机 即等可能 为你打开一个通道 若是 1 号通道 则需要 1 小时走出迷宫 若是 2 号 3 号通道 则分别需要 2 小时 3 小时返回智能门 再次到达智能门时 系统会随 机打开一个你未到过的通道 直至走出迷宫为止 1 求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率 2 求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率 解 1 设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件 则 1 3 P A 2 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件 则 1111 6662 P B 6 辽宁卷理 18 为了比较注射 A B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积 选 200 只家兔做 试验 将这 200 只家兔随机地分成两组 每组 100 只 其中一组注射药物 A 另一组注射药 物 B 甲 乙是 200 只家兔中的 2 只 求甲 乙分在不同组的概率 下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果 疱疹面积单位 mm2 完成下面频率分布直方图 并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小 完成下面 2 2 列联表 并回答能否有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面积 与注射药物 B 后的疱疹面积有差异 表 3 解 甲 乙两只家兔分在不同组的概率为 99 198 100 200 2100 199 C P C 4 分 i 图 注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 注射药物B后皮肤疱疹面积的频 率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间 而注射药物 B 后的疱疹面积的 中位数在 70 至 75 之间 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的 中位数 8 分 ii 表 3 2 2 200 70 6535 30 24 56 100 100 105 95 K 由于 K2 10 828 所以有 99 9 的把握认为 注射药物 A 后的疱疹面积于注射药物 B 后的疱 疹面积有差异 7 全国 卷文 19 投到某杂志的稿件 先由两位初审专家进行评审 若能通过两位初审 专家的评审 则予以录用 若两位初审专家都未予通过 则不予录用 若恰能通过一位初审 专家的评审 则再由第三位专家进行复审 若能通过复审专家的评审 则予以录用 否则不 予录用 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0 5 复审的稿件能通过评审的概率为 0 3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率 II 求投到该杂志的 4 篇稿件中 至少有 2 篇被录用的概率 解 记 A 表示事件 稿件能通过两位初审专家的评审 B 表示事件 稿件恰能通过一位初审专家的评审 C 表示事件 稿件能通过复审专家的评审 D 表示事件 稿件被录用 则 D A B C 0 5 0 50 25 2 0 5 0 50 5 0 3 P AP BP C P DP AB C P AP B C P AP B P C 0 25 0 5 0 3 0 40 8 全国 卷文 20 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分别标为 T 1 T2 T3 T4 电源能通过 T 1 T2 T3的概率都是 P 电源能通过 T4的概 率是 0 9 电源能否通过各元件相互独立 已知 T 1 T2 T3中至少有一个能通过电流的概率为 0 999 求 P 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 分析 本题考查了概率中的互斥事件 对立事件及独立事件的概率 1 设出基本事件 将要求事件用基本事件的来表示 将 T1 T2 T3 至少有一个能通过电 流用基本事件表示并求出概率即可求得 p 2 将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来 由互斥事件与独立事件的概率求得 解析 记 1 A 表示事件 电流能通过T 1 2 3 4 i i A 表示事件 123 TTT 中至少有一个能通过电流 B 表示事件 电流能在 M 与 N 之间通过 123123 AA A AAAA 相互独立 3 123123 P 1 AP A A AP A P A P Ap 又 P 1P A 1 0 9990 001A 故 3 1 0 0010 9pp 44134123 BA A A A A A A A 44134123 P B P A A A A A A A A 44134123 P A P A A A P A A A A 44134123 P A P A P A P A P A P A P A P A 0 9 0 1 0 9 0 9 0 1 0 1 0 9 0 9 0 9891 9 山东卷文 19 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为 1 2 3 4 从袋中随机抽取两个球 求取出的球的编号之和不大于 4 的概率 先从袋中随机取一个球 该球的编号为 m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个 球 该球的编号为 n 求 2nm 的概率 命题意图 本小题主要考察古典概念 对立事件的概率计算 考察学生分析问题 解决 问题的能力 解析 I 从袋子中随机取两个球 其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2 1 和 3 1 和 4 2 和 3 2 和 4 3 和 4 共 6 个 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2 1 和 3 两个 因此所求事件的概率为 1 3 II 先从袋中随机取一个球 记下编号为 m 放回后 在从袋中随机取一个球 记下编号 为 n 其一切可能的结果 m n 有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共 16 个 有满足条件 n m 2 的事件为 1 3 1 4 2 4 共 3 个 所以满足条件 n m 2 的事件的概率为 P 3 16 故满足条件 n m 2 的事件的概率为 10 陕西卷理 19 为了解学生身高情况 某校以 10 的比例对全校 700 名学生按性别进行 出样检查 测得身高情况的统计图如下 估计该校男生的人数 估计该校学生身高在 170 185cm 之间的概率 III 从样本中身高在 165 180cm 之间的女生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 170 180cm 之间的概率 解 样本中男生人数为 40 由分层出样比例为 10 估计全校男生人数为 400 有统计图知 样本中身高在 170 185cm 之间的学生有 14 13 4 3 1 35 人 样本容量 为 70 所以样本中学生身高在 170 185cm 之间的频率故有 f 估计 该校学生身高在 170 180cm 之间的概率 III 样本中女生身高在 165 180cm 之间的人数为 10 身高在 170 180cm 之间的人数为 4 设 A 表示事件 从样本中身高在 165 180cm 之间的女生中任选 2 人 求至少有 1 人身高在 170 180cm 之间 则 11 四川卷文