2013年高考数学试题精编：8.2双曲线.pdf

第八章 圆锥曲线方程 二 双曲线 第八章 圆锥曲线方程 二 双曲线 考点阐述 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性质 考试要求 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 考题分类 一 选择题 共 10 题 1 安徽卷理 5 双曲线方程为 22 21xy 则它的右焦点坐标为 A 2 0 2 B 5 0 2 C 6 0 2 D 3 0 答案 C 解析 双曲线的 22 1 1 2 ab 2 3 2 c 6 2 c 所以右焦点为 6 0 2 误区警示 本题考查双曲线的交点 把双曲线方程先转化为标准方程 然后利用 222 cab 求出 c 即可得出交点坐标 但因方程不是标准形式 很多学生会误认为 2 1b 或 2 2b 从而得出错误结论 2 福建卷理 7 若点 O 和点 2 0 F 分别是双曲线 2 2 2 1 a 0 a x y 的中心和左焦点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则OP FP uuu r uuu r 的取值范围为 A 3 2 3 B 3 2 3 C 7 4 D 7 4 答案 B 解析 因为 2 0 F 是已知双曲线的左焦点 所以 2 14a 即 2 3a 所以双曲线方 程 为 2 2 1 3 x y 设 点P 00 xy 则 有 2 2 0 00 1 3 3 x yx 解 得 2 2 0 00 1 3 3 x yx 因为 00 2 FPxy uuu r 00 OPxy uuu r 所以 2 000 2 OP FPx xy uuu r uuu r 00 2 x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x 此二次函数对应的抛物 线的对称轴为 0 3 4 x 因为 0 3x 所以当 0 3x 时 OP FP uuu r uuu r 取得最小值 4 32 31 3 32 3 故OP FP uuu r uuu r 的取值范围是 3 2 3 选 B 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线方程 考查平面向量的数量积的坐标运算 二次 函数的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运 算能力 3 辽宁卷理 9 文 9 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与该双 曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 4 全国 卷理 9 已知 1 F 2 F 为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 p 在 C 上 1 F p 2 F 0 60 则 P 到 x 轴的距离为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 答案 B 命题意图 本小题主要考查双曲线的几何性质 第二定义 余弦定理 考查转 化的数学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解 析 不 妨 设 点P 00 xy 在 双 曲 线 的 右 支 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得 2 1000 12 a PFe xaexx c 2 2000 21 a PFe xexax c 由余 弦定理得 cos 1 F P 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 即 cos 0 60 222 00 00 12 21 2 2 2 12 21 xx xx 解得 2 0 5 2 x 所以 22 00 3 1 2 yx 故 P 到 x 轴的距离为 0 6 2 y 5 全国 卷文 8 已知 1 F 2 F 为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 P 在 C 上 1 F P 2 F 0 60 则 12 PFPF A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数 学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos 1 F P 2 F 222 1212 12 2 P FP FF F P FP F 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 12 PFPF 4 解析2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 FPF SbPF PFPF PF 12 PFPF 4 6 全国 新卷理 12 已知双曲线E的中心为原点 3 0 P 是E的焦点 过 F 的直线l与 E相交于 A B 两点 且 AB 的中点为 12 15 N 则E的方程式为 A 22 1 36 xy B 22 1 45 xy C 22 1 63 xy D 22 1 54 xy 答案 B 解 析 由 已 知 条 件 易 得 直 线 l 的 斜 率 为 1 FN kk 设 双 曲 线 方 程 为 22 22 1 0 0 xy ab ab 1122 A x yB xy 则有 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 两式相减并结合 1212 24 30 xxyy 得 2 12 2 12 4 5 yyb xxa 从而 2 2 4 1 5 b a 即 22 45ba 又 22 9ab 解得 22 4 5ab 故选 B 7 全国 新卷文 5 中心在原点 焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点 4 2 则它的离心率为 A 6 B 5 C 6 2 D 5 2 答案 D 解析 易知一条渐近线的斜率为 21 42 k 故 22 2 2 5 1 2 cab ek aa 8 天津卷理 5 已知双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx 它 的一个焦点在抛物线 2 24yx 的准线上 则双曲线的方程为 A 22 1 36108 xy B 22 1 927 xy C 22 1 10836 xy D 22 1 279 xy 答案 B 解析 因为双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的一个焦点在抛物线 2 24yx 的准线上 所 以 F 6 0 是双曲线的左焦点 即 22 36ab 又双曲线的一条渐近线方程是 3yx 所以 3 b a 解得 2 9a 2 27b 所以双曲线的方程为 22 1 927 xy 故选 B 9 浙江卷理 8 设 1 F 2 F 分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若在双曲 线右支上存在点P 满足 212 PFFF 且 2 F 到直线 1 PF 的距离等于双曲线的实轴长 则 该双曲线的渐近线方程为 A 3 40 xy B 3 50 xy C 4 30 xy D 5 40 xy 解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系 得出 a 与 b 之间的等量关系 可知答案选 C 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点 突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察 属中档题 10 浙江卷文 10 设 O 为坐标原点 1 F 2 F 是双曲线 22 22 xy 1 ab a 0 b 0 的焦点 若在双曲线上存在点 P 满足 1 F P 2 F 60 OP 7a 则该双曲线的渐近线方程为 A x 3 y 0 B 3 x y 0 C x 2y 0 D 2x y 0 解析 选 D 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几 何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 二 填空题 共 8 题 1 北京卷理 13 文 13 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2 焦点与椭圆 22 1 259 xy 的 焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 答案 4 0 3yx 解析 双曲线焦点即为椭圆焦点 不难算出为 4 0 又双曲线离心率为 2 即 2 4 c c a 故 2 2 3ab 渐近线为 3 b yxx a 2 福建卷文 13 若双曲线 2 x 4 2 2 y b 1 b 0 的渐近线方程式为 y 1 x 2 则 等 于 答案 1 解析 由题意知 1 22 b 解得 b 1 命题意图 本小题考查双曲线的几何性质 待定系数法 属基础题 3 江苏卷 6 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 1 124 22 yx 上一点 M 点 M 的横坐标是 3 则 M 到双曲线右焦点的距离是 答案 4 解析 考查双曲线的定义 4 2 2 MF e d d为点 M 到右准线 1x 的距离 d 2 MF 4 4 江西卷理 15 文 15 点 00 A xy 在双曲线 22 1 432 xy 的右支上 若点 A 到右焦点的距 离等于 0 2x 则 0 x 答案 2 解析 考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化 读取 a 2 c 6 r e d 3rd 2 000 23 2 a xxx c 5 上海卷理 13 如图所示 直线 x 2 与双曲线 2 2 1 4 y 的渐近线交于 1 E 2 E 两点 记 1122 OEe OEe uuuu ruuuu ruvuu v 任取双曲 线 上的点 P 若 12 OPaebe abR uuu ruuu vuuu v 则 a b 满足 的一个等式是 答案 4ab 1 解析 1 2 1 2 21 EE 1 2 OPaebe uuu ruu ruuu r 22 baba 点 P 在双曲线上 1 4 22 2 2 ba ba 化简得 4ab 1 6 上海卷文 13 在平面直角坐标系中 双曲线 的中心在原点 它的一个焦点坐标为 5 0 1 2 1 e r 2 2 1 e r 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线 上的点P 若 1 2 OPaebe uuu ruu ruuu r a b R 则a b满足的一个等式是 答案 4ab 1 解析 因为 1 2 1 e r 2 2 1 e r 是渐进线方向向量 所以双曲线渐近线方程为 xy 2 1 又 1 2 5 bac 双曲线方程为 1 4 2 2 y x 1 2 OPaebe uuu ruu ruuu r 22 baba 1 4 22 2 2 ba ba 化简得 4ab 1 7 天津卷文 13 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx 它 的一个焦点与抛物线 2 16yx 的焦点相同 则双曲线的方程为 答案 22 1 412 xy 解析 由题意知 双曲线的一个焦点为 4 0 即 22 16ab 又因为已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx 所以有 3 b a 即 3ba 可 解得 2 4a 2 12b 故双曲线的方程为 22 1 412 xy 命题意图 本题考查双曲线的几何性质 抛物线的几何性质 待定系数法求双曲线方程 考查运算能力以及对基础知识的熟练掌握程度 8 上海春卷 7 已知双曲线 C 经过点 1 1 它的一条渐近线方程为 xy3 则双曲 线 C 的标准方程是 答案 22 3 1 22 xy 解析 设双曲线的方程为 22 3 0 yx 将点 1 1 代入可得 2 故答案为 22 3 1 22 xy 三 解答题 共 4 题 1 广东卷理20 一条双曲线 2 2 1 2 x y 的左 右顶点分别为A1 A2 点 11 P x y 11 Q xy 是双曲线上不同的两个动点 1 求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式 2 若过点 H 0 h h 1 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点 且 12 ll 求 h 的值 故 22 1 2 2 yx 即 2 2 1 2 x y 2 设 1 lykxh 则由 12 ll 知 2 1 lyxh k 将 1 lykxh 代入 2 2 1 2 x y 得 2 2 1 2 x kxh 即 222 12 4220kxkhxh 由 1 l 与 E 只有一个交点知 2222 164 12 22 0k hkh 即 22 12kh 同理 由 2 l 与 E 只有一个交点知 2 2 1 12h k 消去 2 h 得 2 2 1 k k 即 2 1k 从而 22 123hk 即 3h 2 全国 卷理 21 文 22 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 22 22 100 xy ab ab 相 交于 B D 两点 且 BD 的中点为 1 3M 求 C 的离 心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F 17DF BF 证明 过 A B D 三点的圆与 x 轴相切 分析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题的能力 1 由直线过点 1 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于 BD 两点的中点为 1 3 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a b 的关系式即求得离心率 2 利用离心率将条件 FA FB 17 用含 a 的代数式表示 即可求得 a 则 A 点坐标可得 1 0 由于 A 在 x 轴上所以 只要证明 2AM BD 即证得 解析 由题设知 l的方程为 2yx 代入 C 的方程 并化简 得 2222222 440baxa xaa b 设 1122 B x yD xy 故不妨设 12 xa xa 22222 11111 BF 2 2 332xayxaxaax 22222 22222 FD 2 2 332xayxaxaxa 22 121212 BF