2013 年自主招生专题第二讲 ：导数与定积分的应用(学生).doc

62013 年自主招生专题第二讲 ：导数与定积分的应用（学生）一、知识点梳理：导数部分1.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。即 2.导数的四则运算法则：1） 2）3） 几种常见函数的导数：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 练习：A（1）导数的概念：函数y的导数，就是当0时，函数的增量y与自变量的增量的比的 ，即 （2）导函数：函数y在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数.（3）导数的几何意义：设函数y在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .B求导数的方法(1) 八个基本求导公式 ； ；(nQ) ， ， ， (2) 导数的四则运算 ， 例题：对下面几个函数求导（1） 、 （2）(3)3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。 即若点为曲线上一点，则过点的切线的斜率由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程可如下求得：（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：例题：1、已知曲线的一条切线方程是，则的值为 或 或2、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A B C D4.函数的单调性：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。例题：求的单调区间5.函数的极值求函数极值的步骤:求导数。求方程的根.列表；下结论。1、已知函数，若是的一个极值点，则值为 （ ）A2 B.-2 C. D.42、设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。6.函数的最大值和最小值（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.求在内的极值.将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2） 若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.例题：在区间上的最大值是 2 。解： 二、知识点梳理：定积分与微积分基本定理1.根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于曲边所对应的函数在区间上的定积分，即，其中叫做被积函数，叫做积分上限，叫做积分下限.微积分基本定理 如果，且在可积，则.其中叫做的一个原函数.微积分基本定理也可以写成由此可见，求定积分关键是求原函数.所以由，得，曲边梯形的面积2.定积分性质（1）；（2）（3）3、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5） （6）（7）练习（1） （2） （3）解：（1）（2）（3）4、应用定积分求曲边梯形的面积（1）如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线围成的曲边梯形的面积（2） 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：； (3)如图，由曲线，及直线，围成图形的面积公式为：.注：利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.例1， 求y=sinx在与x轴所围成的部分的面积S例2， 求曲线y=sinx与x轴在区间上所围成部分的面积S