曾谨严量子力学习题解答7.pdf

1 曾P 576 4 曾练习P 410 有一个二能级体系 Hamilton量记为 能级记为 相应本征态 记为 设时刻体系处于态 后 体系受到微扰作 用 设在表象中 0 H 1 E 2 E 1 2 0t 1 0t H 0 H H 实数 求时 体系处于态的概率 0t 2 解 时 体系的Hamilton量为 其矩阵表示 表象 为0t 0 HH H 0 H 1 0 2 E HHH E 设的本征函数为 1 H 1 1122 2 E C CC C 代入本征方程 2 EE HE 3 得到 112 122 0 0 EE CC CEE C 上式存在非平庸解的条件为 4 1 2 0 EE EE 即 2 12 0EEEE 由此解出 2 2 1221 1 4 2 EEEEEE 5 令 1 1 E h 2 2 E h 21 6 式 5 可以写成 222 12 4 2 E h h 5 当 由式 4 求得EE 222 21 4 2 CC h h 取 即得相应的能量本征函数 未归一化 为 1 1C 222 12 4 2 E h h 当 类似的可以求得 EE 7 222 12 4 2 E h h 时 体系的初始状态为0t 1 0 22 EE t 8 9 其中 222 4 h 因此 时波函数为0t 22 iE tiE t EE tee hh 10 11 以式 5 7 8 代入上式 即得 12 2 1 cossin 22 i t tt tie 12 2 2 2 sin 2 i t t ie h 体系处于态的概率为2 12 2 2 2 2 2 sin 2 t t h 13 2 曾P 578 11 曾练习P 426 以平面 线偏振光射向处于基态的氢原子 电子可以跃迁到能级 设 初态电子自旋 向上 设忽略末态能级和能级的能量差 a 求到和能级的分之比 它与入射光偏振方向无关 b 设入 射光 电场 沿方向偏振 求到能级的各态的 2 z s h 3 2 P 1 2 P 3 2 P 1 2 P 3 2 P3 2 1 2 1 2 3 2 j m 分之比 c 设光沿方向入射 但非偏振光 求到能级 x 3 2 P3 2 1 2 j m 1 2 3 2 各态的分之比 解 a 以表示入射光的电场 以表示电子的初态 表示终态 在电 i f 偶极跃迁中 跃迁概率和成正比 对于各终态来说 径向波函 2 fr i r r 数相同 因此 讨论分之比时可以不管矩阵元中的径向积分 而只考虑波函 的角动量部分 的共同本征态记为 本征态记为 2 z ll r lm z s 11 22 22 z lJJ rr 的共同本征态记为 后者的非耦合角动量表象展开式为j ljm z 初态 终态 11 0 22 jz lmjms 00 111 000 222 iY 13 131 1 22 222 j ljlm 3 2 j 共有4种状态 相应于 3 2 1 2 1 2 3 2 j m 11 331 11 1 222 Y 1110 31112112 11 11 0 22232333 YY 101 1 31211121 11 011 22322333 YY 1 1 331 111 222 Y 1 2 j 共有2种状态 相应于 1 2 1 2 j m 1 2 1110 11211121 11 110 22322333 YY 101 1 11112112 11 011 22232333 YY 式 2 中 第一式可以直接写出 其余三式可用算符逐次作用于 第一式而得出 式 3 中 第一式可以利用式 2 以及正交条件 3 3111 110 2222 xy JiJ 而得出 再用作用于第一式 得出第二式 xy JiJ 由于初态自旋状态为 计算矩阵元时 有贡献的只是终态波 f r i r 函数中含有的项 利用公式 123 rxeyeze rrrr 1 11111 111210 3 41 322 i rYYeYYeY e rrr 4 容易求出 12 33 1 226 r r ieie rrr 3 312 1 223 r ire rr 12 312 1 226 r ir eie rrr 33 10 22 r i r 3 11 1 223 r r ie rr 12 11 1 223 r r ieie rrr 令 123xyz eee rrrr 5 6 即得 2 222 331 1 226 xy r ir r r 2 22 312 1 229 z r ir r r 2 222 311 1 2218 xy r ir r r 2 33 10 22 r i r r 2 22 111 1 229 z r ir r r 2 222 111 1 229 xy r ir r r 除共同的常数因子外 跃迁到态的总概率 3 2 2P 2 22 3 2 32 1 29 j j m Wmr ir r r 7 8 跃迁到态的总概率 1 2 2P 2 22 1 2 11 1 29 j j m Wmr ir r r 9 二者均和入射光的偏振方向无关 分之比为 3 21 2 2 1WW 10 b 入射光电场沿 方向偏振 这时 z 0 0 xyz 由式 7 易见 当终态为时 的分之比为 3 2 2P3 2 1 2 1 2 3 2 j m 0 1 0 0 即终态只能是 这个结论可以直接利用选择 31 1 22 j ljm 定则 由于和对