2.5平面向量的应用.doc

2.5向量的应用一、 教学目标：1、知识与技能（1）进一步理解向量的各种运算；（2）掌握向量在数学其他分支中的应用；（3）学会将实际问题转化为数学问题并加以解决。2、过程与方法通过简单问题引入，回忆各种向量运算；师生共同探索，形成数学问题，并经过讨论，最终解决问题；注重实际问题的数学化表示。3、情感、态度与价值观通过讨论探究，培养学生与人合作的精神和对实际问题的抽象、概括能力。二、教学重、难点 重点：用平面向量解决实际问题难点：实际问题数学化（数学建模）三、学法与教学用具学法：自主、探究、合作教具：多媒体等四、教学设想 （一）创设情境问题1：向量加法是怎么定义的？向量减法是怎么定义的？问题2：观察两力，你能作出两力的合力吗？ 求两力的合力问题就是我们数学上的两个向量的加法法则的应用，从而可知解决实际问题的关键在于能从中抽象出数学模型。（二）应用探究西南东北【例1】轮船在静水中的速度为，河水自西向东流速为，若轮船向正南方向航行，求船的实际速度和方向。 分析：船的实际速度为静水速度与水流速度的合成。方向是静水的方向和水流方向的合成。 解：设水流速度为，船在静水中的速度为以，作平行四边形，则其起点的对角线为船的实际速度。 , 从而船的航行方向为东偏南答：船的实际速度大小为，方向为东偏南反思：物理学中有关的矢量抽象出来的数学模型就是向量问题。向量是解决实际问题的一种重要工具。思考1:若要船的实际方向为正南方向,速度大小为，则船头应向哪个方向开，大小为多少？解：设为水流速度，为船在静水中的速度，为船的实际速度，如图 答：船的实际速度大小为20，方向为南偏西60。【例2】如图所示，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同质量的细绳OC下方系着一个托盘，使得，试分析三根绳子受力大小关系，判断哪根绳子先断。 解：设OA,OB,OC三根绳子受力分别是a,b,c则a+b+c=0 所以|a+b|=|c|，由图可知|a|b| , |a|c| 所以细绳OA受力最大，OA最先断。【例3】已知，求证：分析：这是一道几何问题，在平面几何中就是证明三角形的三条高线交于一点而用向量证明只需证得即可。解：因为 ， 所以 即 （1） （2）（2）-（1）得 即 所以 ，即【例4】点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的三条边的 线的交点。【例5】在三角形ABC中，是三角形ABC的重心，,求证三角形ABC为等边三角形。【例6】点O是等边三角形ABC所在平面内的一点，从O作三边的垂线，垂足为D、E、F,求证为定值。【例7】（备）如图，一根绳子穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3N，2N的重物，现在在两个滑轮之间的绳上，挂一个重量为m(N)的重物，恰好使得系统平衡状态，求正数m的取值范围。yaOx2N3NmNbAB2Nm(N) 3NABC解：如图：系统受力的水平分量和竖直分量和为零。得即由(1)2+(2)2得 496mcosb+m2,即m2-6mcosb+5=0,解得m=3cosb.a为锐角，m3cosb0,从而m=3cosb+又0，得cosb1,m5即系统处于平衡状态时，m的取值范围是,5)（四）巩固深化已知0|2,且函数f(x)=cos2x-|sinx-| 的最大值为0，最小值为4，且与的夹角为45，求|+|.（