概率极限理论.doc

随机微分方程基本理论1、引言随机微分方程（SDE）的诞生有其一定的应用背景。随机微积分和随机微积分方程起源于马氏过程的构造和柯尔莫哥洛夫的分析方法与费尔的半群方法。常微分方程在物理、工程技术、生物和经济等领域中的应用是众所周知的，然而随着科学技术的发展，要求对实际问题的描述越来越精确。因此，随机因素的影响就不能轻易地被忽略，于是对于某些实际过程的分析也就有必要从通常的确定性观点转到随机的观点，从而对这些实际系统的描述，也就自然地从确定性的常微分方程转到随机常微分方程，简称随机微分方程。随机微分方程是一种针对生物、化学、医药、机电、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。伊藤型随机微积分方程就是指带有白噪声的微分方程。自从爱因斯坦建立了布朗运动和随机分子扩散的数学理论以来，各种不同的领域内，如分子物理学、院子物理学、化学动力学、固态理论、结构稳定性、群体遗传学、通信以及自然科学、社会科学和工程的许多其他分支中开展了一系列理论的科学研究。在随机微分方程理论研究的早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基、郎之万、奥伦斯坦、乌伦贝克和克拉美等人做了许多卓有成效的工作，这些工作综合在查德瑞赛卡1943男的主要论文中。随着随机微分方程的数学理论的发展数学研究人员在这一领域中发展了一些及其重要的结果，随着伊藤积分概念的引入，随机微分方程的理论向更深纵发展。2、基础理论和线性方程 (2.1)是由伊藤积分方程 (2.2)定义。这样，（2.1）式的解释非可料函数，使得，和属于，且满足（2.2）式。对于方程组 (2.3)可以同样定义，其中 ， 且是独立布朗运动组成的向量，随机微分方程的最简单例子是方程 (2.4)其解为为了阐明解的本质，我们计算的转移概率密度，即函数使得 (ts)其中A是R中任意集合。假定和 是确定函数。随机积分是独立正态随机变量线性组合的极限，因而积分也是正态变量，这样，是正态变量，因而其中由此得到作为随机积分的期望等于零。同样有因而下一步考虑经过变量变换能化为（2.4）式的随机微分方程。考虑变量变换其中是（2.1）式的解，那么有伊藤公式， (2.5)假设有（关于x的）反函数，于是 ，那么，因而（2.5）式可写为 (2.6)其中如果能找到函数使得 (2.7)（与x无关）且 (2.8)那么，运用，有（2.6-2.8）式，方程（2.1）式可化为（2.4）式。为了得到可化条件，运用（2.8）式可得到下一步对（2.7）式求关于x的导数得到因为且我们有因而 (2.9)对（2.9）式等号左、右双杠求关于x的偏导得出(2.10)条件（2.10）式对于可化也是充分的。因为如果（2.10）式满足，（2.9）式右边与x无关，所以可由积分得到。现在，可以从关系是确定。方程（2.9）式等价于因此，括弧中的式子与x无关，所以它可取，例如，考虑常系数线性方程置且运用伊藤公式，得到因此或 (2.11)3、解得存在性和唯一性在下列简化条件下：(i) a和b是x的函数且。(ii)。我们将证明解的存在性和唯一性。用逐次逼近法构造解。把伊藤方程写成积分形式 (3.1)置和显然，是非可料连续过程，利用不等式得到利用中值定理得到因而，对于，其中现在，因为是鞅，函数是下鞅，由柯尔莫哥洛夫不等式给出类似地有如果T充分小，取，得到由此得出是几乎处处一致收敛于（3.1）式的一个解。为了证明解得唯一性，令和是（3.1）式的两个解且置那么对于所有有因为我们有由格隆沃尔不等式得出，对所有有 a.s.令，得到。4、随机微分方程和扩散过程（a）马尔科夫过程对0,T上随机过程，如果对于任意序列和其中满足等式(4.1)就称为马尔可夫过程。假定看作为当前时刻，等式（4.1）意味着过程“忘记”过去。假设马尔可夫过程的转移概率分布 （st）具有关于y的密度，即 (4.2)即在时间区间t,s中，从x到达y的概率是在任意时刻到达任意点z，然后与到达z的方式独立地再跑到y的概率。方程（4.2）式称为马尔可夫过程的切普曼柯尔莫哥洛夫方程。必须注意到也有满足（4.2）式的马尔可夫过程。如果值得变化仅在时间（即在时间1,2，），那么是马尔科夫链，所取得值称为状态。令是在第n时刻（或代）的可能状态，那么由元素，那么由元素构成的矩阵称为转移概率矩阵。（b）扩散过程一个马尔科夫过程，如果它的转移概率满足下列两条件：（i）对于每一，t和x(ii)存在函数和使得所有，t和x有和称为扩散过程。函数称为的（无限小）偏移系数，称为（无限小）扩散系数。条件（i）和（ii）以及和的直观意义如下，在很短的时间区间（其长为h）内，在时刻t，函数在点x所做的位移h为，其中是质点在介质中便宜的速度，是质点的随机波动，这种随机波动是由于随机碰撞和热的起伏及其他因素所引起的。，即正比于质点领域中液体分子的平均能量，下列条件蕴含着（i）和（ii）（i）（ii）（a）（b）其中是某个正数。（c）扩散过程和随机微分方程令是随机微分方程的解，假设a和满足存在定理的条件，那么是扩散过程，且事实上，条件（i）和（ii）是：因而得到（i）。当时，因而（ii）（a）满足。下一步，取，运用伊藤公式，得到因而所以（ii）（b）成立。其逆亦真，即如果具有光滑的偏移系数a和扩张系数b，的几乎处处连续的扩散过程，且它的转移概率由函数满足某些连续条件，则是随机微分方程的解，此处为布朗运动。5、随机微分方程组和边界条件（a）方程组的伊藤公式令是独立布朗运动的向量，令是一个矩阵，并令是向量：，随机微分方程组 (5.1)引入如下的伊藤公式： (5.2)式中 (5.3)和 (5.4)柯尔莫哥洛夫后向方程由下式给出：且福克尔普朗克（前向）方程为（b）吸收边界令是方程组（4.1）在中一个确定区域中的解，它的边界是光滑的。假设在的边界上有一个完整的吸收壁使得对一切有，其中即是从的首次离出时间。因为从上的一点x到中的任一点y的转移概率为0是吸收的，所以对一切。这样是后向柯尔莫哥洛夫的格林函数并满足边界条件 ，当时 作为一个例子，考虑具有一个吸收壁的布朗运动。对于在处具有吸收边界的布朗运动的前向柯尔莫哥洛夫方程或者福克尔普朗克方程由下式给定：，对 当这个初始边值问题的解为根据对成型我们可以看出。为了验证当时，我们令是任意检验函数使得对一切有那么我们已经证明，当，有所以对一切，当（c）反射边界令是方程组（5.1）在中的解。在以后，我们修改如下。根据在上反射，我们把与扩展到上。然后令是推广的方程组（5.1）的解反射到中的反射过程。应当注意到上的反射是瞬时的，而且在返回到中以后，原来的方程组（5.1）仍决定运动。这样反射过程被限制在边界上，所以我们仅在附近扩展a与（这个扩展决定反射的速度与方向）。后向柯尔莫哥洛夫方程的边界条件如下确定。令且令N是的邻域中我们令作变换，使映射到平面内，映射到原点，以及映射到内，这样根据反射，由b与的扩展推得：若，则与由此得出在附近后向柯尔莫哥洛夫方程（就变量而论）的解必须满足从而在处 (5.5)映射回变量,我们看到（5. 5）式取如下形式： (5.6)这里是在点x的外法相。6、随机微分方程解得稳定性：李雅普诺夫判别法随机微分方程解得稳定性的概念本质上不同于（确定型）微分方程的情形。对于一个由微分方程描述的确定型系统，我们说系统 (6.1)的解是稳定的，如果对于任意整数，存在两个数与T，使得（6.1）式的任意解，对某个只要当 (6.2)时有 解称为渐近稳定的，如果她是稳定的，并且对满足方程（6.1）的任意解有 (6.3)如果对（5.1）式的一切解（5.3）式成立，则称为全局稳定的。令，并假设是光滑的，则我们可把稳定性问题化为系统 (6.4)的解的稳定性问题，其中 而且式中，当，若矩阵B(t)是常数矩阵，即与t无关，以及B的特征值的实部是负的，则解是渐近稳定的，所以作为（6.1）式的解是渐近稳定的。若点使，则称它为（6.4）式的一个临界点。在这种情形下，是（6.1）式的一个解。若是（6.1）式的一个临界点，则（6.4）式中的B(t)是常数矩阵。检验临界点，例如的稳定性的另一种方法，是由李雅普诺夫给出的。函数称为（6.1）式在处的一个李雅普诺夫函数，如果（i）在0的一个邻域中是有定义的，连续的，且是可微的；（ii）若，且；及（iii）在0的一个邻域中，如果系统（6.1）有一个李雅普诺夫函数，那么是给定时的一个稳定解。若 则是渐近稳定的。7、小结本文主要对随机微分方程的基本理论进行了简要介绍，给出了随机微分方程的解的唯一性及解得稳定性的判别法李雅普诺夫判别法，以及马尔科夫过程与扩散过程、随机微分方程之间的关系，推导出了福克尔普朗克、柯尔莫哥洛夫的基本方程并对其边界状态进行讨论。参考文献1Anderson, R.F. and Orey, S “Small random perturbations of dynamical systems with reflecting boundary” Nagoya Math.J.1976,60, 89216.2Friedman, A. and Schuss, Z. “Degenerate evolution equations in Hilbert space”, Trans. AMS. 1971,161, 401427.3Gihman, I.I. and Skorokhod, A.v.Stochastic Differential Equation