2010年数列高考题汇编.doc

第三章 数列一数列【考点阐述】数列【考试要求】（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项【考题分类】（一）选择题（共1题）1.（陕西卷理9）对于数列a n，“a n+1a n（n=1，2）”是“a n为递增数列”的【 】(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，为递增数列.当为递增数列时，若该数列为，则由不成立，即知：不一定成立.故综上知，“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选.（二）填空题（共2题）1.（陕西卷理12）观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为.【答案】【解析】（方法一）所给等式左边的底数依次分别为；，右边的底数依次分别为（注意：这里），由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为.（方法二）易知第五个等式的左边为，且化简后等于，而，故易知第五个等式为.2.（陕西卷文11）观察下列等式：1323（12）2，132333（123）2，132333431234）2，根据上述规律，第四个等式为 【答案】1323334353（12345）2（或152）.【解析】所给等式左边的底数依次分别为；，右边的底数依次分别为（注意：这里），由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第四个等式为1323334353（12345）2（或152）.第三章 数列二 等差数列【考点阐述】等差数列及其通项公式等差数列前n项和公式【考试要求】（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。【考题分类】（一）选择题（共4题）1.（安徽卷文5）设数列的前n项和，则的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64A【解析】.【方法技巧】直接根据即可得出结论.2.（福建卷理3）设等差数列的前n项和为,若,则当取最小值时,n等于A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。3.（全国卷理4文6）如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】4.（重庆卷文2）在等差数列中，则的值为来源:W（A）5 （B）6 （C）8 （D）10【答案】A【解析】由角标性质得，所以=5.（二）填空题（共3题）1.（辽宁卷文14）设为等差数列的前项和，若，则 。解析：填15. ,解得，KS*5U.C#2. （浙江卷理15）设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是_ .解析：因为 所以(5a1+10d)(6a1+15d)=0,即,故，则的取值范围是.3.（浙江卷文14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。解析：第n行第一列的数为n，观察得，第n行的公差为n，所以第n0行的通项公式为，又因为为第n+1列，故可得答案为，本题主要考察了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题。（三）解答题（共8题）1.（北京卷文16）已知为等差数列，且，。（）求的通项公式；（）若等差数列满足，求的前n项和公式2.（全国卷文17）记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求. 3.（全国新卷文17）设等差数列满足，。（）求的通项公式； （）求的前项和及使得最大的序号的值。解： （1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，aw=-9得 解得数列am的通项公式为an=11-2n。 .6分 (2)由(1) 知Sm=na1+d=10n-n2。 因为Sm=-(n-5)2+25. 所以n=5时，Sm取得最大值。 12分4.（山东卷理18）已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。5.（山东卷文18）已知等差数列满足：，.的前n项和为. （）求 及；（）令（）,求数列的前n项和.【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。6. （陕西卷理16文16）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn.解由题设知公差由成等比数列得解得(舍去)故的通项,由等比数列前n项和公式得7.（四川卷文20）已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和8.（浙江卷文19）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足+15=0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范围。解析：本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。()解：由题意知S6=-3,A6=S6-S5=-8所以解得a1=7所以S6= -3,a1=7()解：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8. 所以d28.故d的取值范围为d-2或d2.第三章 数列三 等比数列【考点阐述】等比数列及其通项公式等比数列前n项和公式【考试要求】（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。【考题分类】（一）选择题（共12题）1.（安徽卷理10）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、【答案】D【解析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.2.（北京卷理2）在等比数列中，公比.若，则m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12【答案】C 【解析】解析：，因此有3.（广东卷理4文4）已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=A35 B.33 C.31 D.29【答案】CA【解析】设的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即4.（江西卷文7）等比数列中，则A B C D【答案】A【解析】考查等比数列的通项公式。用代特值法解决会更好。5.（辽宁卷理6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 6.（辽宁卷文3）设为等比数列的前项和，已知，则公比（A）3 （B）4 （C）5 （D）6解析：选B. 两式相减得， ，.7.（全国卷理4文4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知， 10,所以,所以8.（山东卷理9）设an是等比数列，则“a1a2a3”是数列an是递增数列的（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件、（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得且，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。9.（山东卷文7）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，解得又，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件。【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。10.（天津卷理6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且。则数列的前5项和为 （A）或5 （B）或5 （C） （D）【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则当公比时，由得，而，两者不相等，故不合题意；当公比时，由及首项为1得： ，解得，所以数列的前5项和为=，选C。【命题意图】本小考查等比数列的前n项和公式等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想以及计算能力。11.（浙江卷理3文5）设为等比数列的前项和，则（A）11 （B）5 （C） （D）解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题12.（重庆卷理1）在等比数列中，则公比q的值为（A） 2（B） 3（C） 4 （D） 8【答案】A解析： （二）填空题（共2题）1.（福建卷理11）在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .【答案】【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。2.（天津卷文15）设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和。记设为数列的最大项，则= 。【答案】4【解析】因为=，设，则有=，当且仅当，即，所以当为数列的最大项时，=4。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用、均值不等式求最值等基础知识。（三）解答题（共2题）1. （全国卷文18） 已知是各项均为正数的等比数列，且，（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和。【命题意图】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出bn的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。【解析】（）设公比为q，则.由已知有 化简得2.（重庆卷文16）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（）求通项及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.第三章 数列四 数列综合应用【考点阐述】数列综合应用【考试要求】（4）运用等差数列、等比数列及求和知识解决数列综合问题。【考题分类】（一）选择题（共2题）1.（湖北卷文7）已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则A. B. C. D【答案】C2.（江西卷理5）等比数列中，=4，函数，则（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。（二）填空题（共1题）1.（辽宁卷理16）已知数列满足则的最小值为_.（三）解答题（共14题）1.（安徽卷文21）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.()证明：为等比数列；（）设，求数列的前项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决.2.（福建卷文17）数列 中，前n项和满足- （n）. ( I ) 求数列的通项公式以及前n项和； （II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。3.（湖北卷文19）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房。（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）4.（湖南卷文20）给出下面的数表序列：其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n3）（不要求证明）； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： 5.（江苏卷19）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。（1）由题意知：， ，化简，得：，当时，适合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值为。（方法二）由及，得，。于是，对满足题设的，有。所以的最大值。另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。于是，只要，即当时，。所以满足条件的，从而。因此的最大值为。6.（江西卷理22）证明以下命题：对任一正整a,都存在整数b,c(bc)，使得成等差数列。存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，则，分解得：选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m，n，若m，相似：则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。7.（江西卷文22）正实数数列中,且成等差数列.(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.证明：（1）由已知有：，从而，方法一：取，则（）用反证法证明这些都是无理数.假设为有理数，则必为正整数，且，故.,与矛盾，所以（）都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数;方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多(2) 要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有（）又必为偶数，所以（）满足即（）时，为整数；同理有（）也满足，即（）时，为整数；显然和（）是数列中的不同项；所以当（）和（）时，为整数；由（）有，由（）有.设中满足的所有整数项的和为，则8.（全国新卷理17）设数列满足求数列的通项公式；令，求数列的前n项和解：（）由已知，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。（）由知 从而 -得 。即 9. （上海卷理20）已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；解不等式SnSn，得，最小正整数n=1511. （四川卷理21）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.12. （天津卷理22）在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为。()若=2k，证明成等比数列（）；()若对任意，成等比数列，其公比为. （i）设1.证明是等差数列； (ii)若，证明【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的