2010年北京市石景山区高三一模试题解析[理科数学].doc

2010年石景山区高三统一测试数学（理科）考生须知1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟2. 本试卷共10页，第卷1-2页，第卷3-9页，第10页为草稿纸，各题答案均答在本题规定的位置第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（石景山理题1）复数等于（ ）A B C D【解析】 C；2（石景山理题2）已知命题 ，那么命题为（ ）A BC D【解析】 B；全称命题的否定是存在性命题，将改为，然后否定结论3（石景山理题3）已知平面向量，且，则的值为（ ）A B C D【解析】 D；的充要条件，4（石景山理题4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：）为（ ）A BC D【解析】 A；几何体如图，是正四棱锥，底边长，侧面底边上的高为，因此侧面积为5（石景山理题5）经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）A BC D【解析】 A；设圆心为，则垂直于，故，选A6（石景山理题6）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A求数列的前10项和B求数列的前10项和C求数列的前11项和D求数列的前11项和【解析】 B注意和的步长分别是和7（石景山理题7）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）【解析】 A；由的图象知和是的极值点，且时，单调递减，故选A8（石景山理题8）已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：；中有可能成立的个数为（ ）A B C D【解析】 C；在上单调减，值域为又，所以，由可知，成立；此时，成立综上，可能成立的个数为第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9（石景山理题9）二项式的展开式中的常数项为_，展开式中各项系数和为 （用数字作答）【解析】 ；通项公式，时，可得常数项；令即可得各项系数和为10（石景山理题10）已知曲线的参数方程为，则曲线的普通方程是 ；点在曲线上，点在平面区域上，则的最小值是 【解析】 ，；是圆；不等式组的可行域如图阴影所示，点为、为时，最短，长度是11（石景山理题11）如图，已知是圆的切线直线交圆于、两点，则的长为_，的大小为_【解析】 ，；，则；由，可知，即，由，得12（石景山理题12）某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为分），把其中不低于分的成绩分成五段，后，画出部分频率分布直方图（如图），那么化学成绩在的学生人数为 【解析】 ；13（石景山理题13）函数的最小正周期为_，此函数的值域为_ 【解析】 ，；，故最小正周期为，值域为14（石景山理题14）在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为 （将所有正确的命题序号填在横线上）【解析】 ；由定义可知，是公差为的等差数列，正确；为常数，故是等方差数列，正确；若，则为常数，对；设公差为，则，结合，两式相减可得，故是常数列，对三、解答题：本大题共6小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（石景山理题15）在中，角，所对的边分别为，且，求的值；求的值；求的值【解析】 在中，又， ，由正弦定理得，由余弦定理得，即 解得或（舍）16（石景山理题16）如图，两个圆形转盘，每个转盘阴影部分各占转盘面积的和某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到转盘阴影部分时，分别赢得积分分和分先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动记先转转盘最终所得积分为随机变量，则的取值分别是多少？如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由【解析】 的取值分别是：0分，1000分，3000分由已知得，转动盘得到积分的概率为，转动盘得到积分的概率为设先转盘所得的积分为分，先转盘所得的积分为分则有，同理：，故先转盘时，赢得积分平均水平较高17（石景山理题17）如图，已知直三棱柱，是棱上动点，是中点 ，求证：平面；当是棱中点时，求证：平面；在棱上是否存在点，使得二面角的大小是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由【解析】 证明：三棱柱是直棱柱，平面又平面， ，是中点，平面 证明：取的中点，联结，、分别是棱、中点，又，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，平面的法向量，则，且，于是所以取，则 三棱柱是直棱柱，平面又平面， ，平面是平面的法向量，二面角的大小是，则解得在棱上存在点，使得二面角的大小是，此时 18（石景山理题18）在数列中， 且求，的值；证明：数列是等比数列，并求的通项公式；求数列的前项和【解析】 ，证明：，数列是首项为，公比为的等比数列 ，即，的通项公式为的通项公式为 ，所以，19（石景山理题19）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点，求椭圆的方程；若，且，求的值（点为坐标原点）；若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值【解析】 设椭圆的半焦距为，依题意，解得由，得 所求椭圆方程为，设，其坐标满足方程，消去并整理得， 则 故， ，经检验满足式 由已知，可得 将代入椭圆方程，整理得 当且仅当，即时等号成立经检验，满足（*）式当时， 综上可知，所以，当最大时，的面积取得最大值20（石景山理题20）已知函数若，求曲线在点处的切线方程；若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围【解析】 当时，函数，曲线在点处的切线的斜率为 从而曲线在点处的切线方程为，即令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需，即时，在内为增函数，正实数的取值范围是在上是减函数，时，；时，即，当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧