2013数学系数学与应用数学大纲.doc

山西大同大学数学与计算机学院 数学与应用数学专业教学大纲 2013 年修订 山西大同大学教务处印 二 一三年六月 目目 录录 数学分析 课程教学大纲 1 高等代数 课程教学大纲 8 解析几何 课程教学大纲 13 近世代数 课程教学大纲 15 常微分方程 课程教学大纲 17 复变函数 课程教学大纲 20 C 语言 课程教学大纲 22 C 语言 课程教学实验大纲 28 初等数论 课程教学大纲 31 拓扑学 课程教学大纲 34 概率论 课程教学大纲 36 实变函数 课程教学大纲 39 数理统计 课程教学大纲 41 微分几何 课程教学大纲 42 数学教学论 课程教学大纲 46 泛函分析 课程教学大纲 48 数学模型 课程教学大纲 50 数学物理方程 课程教学大纲 53 组合数学 课程教学大纲 54 高等几何 课程教学大纲 56 离散数学 课程教学大纲 59 矩阵论 课程教学大纲 62 运筹学 课程教学大纲 66 图论 课程教学大纲 68 计算方法 课程教学大纲 70 金融数学 课程教学大纲 72 数学史 课程教学大纲 75 微格教学 课程教学大纲 77 微格教学 课程教学实验大纲 77 I 西方经济学 微观 课程教学大纲 81 数学软件 课程教学实验大纲 85 多元统计分析 课程教学大纲 86 数据结构 课程教学实验大纲 89 控制论 课程教学大纲 91 数学方法论 课程教学大纲 93 现代统计方法 课程教学大纲 95 最优化理论与方法 课程教学大纲 98 多媒体技术 课程教学大纲 103 专业英语 课程教学大纲 107 中学数学教师技能实训 课程教学大纲 110 教育见习 教学大纲 111 教育实习 教学大纲 112 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 0 数学分析数学分析 课程教学大纲课程教学大纲 一 课程性质一 课程性质 本课程是数学与应用数学专业的一门重要专业必修课 数学分析的基础是实数理论 实 数系最重要的特征是连续性 有了实数的连续性 才能讨论极限 连续 微分和积分 正是 在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中 人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系 它不仅是培养学生用数学的思想认识问题 分析并解决问题的重要入门课程 也是后继课程 微分方程 复变函数 微分几何 实变函数 泛函分析 概率论与数理统计等的基础 本课程的基本内容有 极限论 微分学 积分学和级数论 通过教学 要求学生掌握这些内 容的基本概念 基本理论和基本运算 并通过大量习题的训练 培养学生的运算技能和对数 学问题的思维 推理论证能力和具有较强解决实际问题的能力 学好本课程对学生今后的学 习 研究及数学的应用都具有至关重要的作用 二 教学目的二 教学目的 通过三个学期对本门课程的学习和系统的数学训练 使学生逐步提高分析的修养 使学生 全面掌握数学分析的基本理论知识及数学的基本思想方法 逐步提高他们抽象思维和逻辑推 理的能力 培养他们熟练的演算技能和初步应用的能力 提高学生建立数学模型 并应用微 积分这一工具解决实际应用问题的能力 为学生学习后继课程打下扎实的基础 使学生能够胜 任进一步的工作 最终使学生的数学思维能力得到根本的提高 同时本课程的讲述应当有助于 培养学生的辨证唯物主义观点 提高学生的逻辑思维等理性思维能力 逻辑表述能力与数学 素养 使学生理解数学分析的基本概念 基本上掌握数学分析的论证方法 获得较熟练演算 技能和初步的应用能力 三 三 教材及教参教材及教参 教 材 数学分析 华东师范大学数学系编 高等教育出版社 第四版 2010 教 参 数学分析讲义 刘玉琏 高等教育出版社 第四版 2007 数学分析 陈纪修 於崇华 高等教育出版社 第二版 2007 数学分析教程 李忠 方丽萍 高等教育出版社 第一版 2008 四 教学方式四 教学方式 本课程以课堂讲授为主 自学和讨论为辅的方式组织教学 讲授内容采用多媒体辅助手 段 五 教学内容与学时五 教学内容与学时 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 1 根据数学与应用数学专业人才培养方案 本课程第一学期 6 学分 98 学时 每周 7 学时 第二学期 6 学分 108 学时 每周 6 学时 第三学期 6 学分 108 学时 每周 6 学时 总学 分为 18 学分 总的教学时数为 314 学时 具体如下 1 实数集与函数 12 学时 基本内容 实数 实数及其性质 绝对值与不等式 数集 确界原理 区间与邻域 有 界集与确界原理 函数概念 函数的定义 函数的表示法 函数的四则运算 复合函数 反 函数 初等函数 具有某些特性的函数 有界函数 单调函数 奇函数和偶函数 周期函数 教学要求 掌握无限集 有界集 无界集 邻域的概念 理解实数的连续性 有序性 稠密 性 阿基米德性质 实数对四则运算和正实数的开方运算的封闭性 掌握反函数的概念及其存 在的必要条件与充分条件 掌握初等绝对值不等式的证明技巧 能够证明简单函数的有界性 单调性 奇偶性与周期性 以及函数图象的平移 翻转 放缩叠加方法 要求学生深刻理解 函数概念 掌握数集的上 下确界的定义 确界存在原理和初等函数的概念 进一步了解函 数几种表示法和几种具有某些特性的函数 重 点 实数集 函数与确界的概念及其有关的性质 难 点 确界定理的证明 确界的定义及应用 2 数列极限 17 学时 基本内容 数列极限概念 收敛数列的性质 数列极限存在的条件 教学要求 深刻理解数列极限的概念并会用定义证明数列的极限 特别是要理解N 的 任意 与 给定 的双重意义 通过数列极限的教学将学生的认识领域从 有限 扩 大到 无限 逐步熟悉和理解极限方法 熟练掌握并会用定义证明收敛数列的基本性N 质 唯一性 有界性 保号性 保不等式性 四则运算 迫敛性 掌握极限存在的几种判别 法 单调有界原理 夹逼定理 子序列定理及 Cauchy 准则 逐步掌握灵活使用这些定理的 技巧 从而能熟练地利用收剑数列的性质及极限存在准则求数列的极限 理解无穷小数列的 概念和它与极限间的关系 以及无穷大数列和无界数列的关系 理解子序列的含义 理解数 列的 确界 与 极限 的关系 重 点 数列极限的定义 性质及计算 难 点 数列极限的 N 定义及柯西准则 3 函数极限 17 学时 基本内容 函数极限概念 函数极限的性质 函数极限存在的条件 两个重要极限 无穷小量与无穷大量 阶的比较 教学要求 深刻理解 与单侧极限与 的定义 基本思想 0 lim xx f x 0 lim xx f x 0 lim xx f x 与几何意义 学会用定义证明函数的极限 掌握在 处极限的定 义与无穷大极限的定义 并能熟练地使用 X M 等语言表述这些定义以及相 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 2 应的逻辑非命题 深刻理解有关无穷小量 无穷大量等一系列概念 深刻理解归结原理的含 义 掌握其证明 深刻理解函数极限的柯西收敛准则 能利用它判定函数极限存在或不存在 熟练使用二个重要的极限计算某些不定型的极限 对比数列极限的性质 明确函数极限的某 些性质的局部性 重 点 函数极限的概念 性质及计算 难 点 柯西准则和海涅定理的运用 函数极限的 定义与 X 定义 4 函数的连续性 16 学时 基本内容 连续性概念 连续函数的性质 初等函数的连续性 教学要求 牢固掌握函数在一点处连续的定义的二种形式 深刻理解单侧连续的定义及 间断点的概念及其分类 深刻理解 一致连续 的概念 理解 连续 是微观概念 而 一 致连续 是宏观概念 熟悉连续函数的局部性质 了解初等函数在其定义域内的连续性 掌 握闭区间上连续函数的基本性质 掌握函数连续延拓的含义与方法 重 点 函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质 难 点 一致连续性的概念 5 导数与微分 18 学时 基本内容 导数概念 求导法则 导数四则运算 反函数求导法则 复合函数的导数 微分 微分概念 微分运算法则 高阶导数与高阶微分 参量方程所确定函数的导数 教学要求 深刻理解导数的概念与几何意义 熟练掌握各种求导的运算 深刻理解微分 的定义与几何意义及近似计算 理解一阶微分形式不变性的确切含义 熟练掌握求导 求微分 以及用单侧导数的定义求出函数在一些特殊点处的导数的方法 会求由参量方程所确定函数 的导数 掌握掌握高阶导数与高阶微分的概念 了解 Leibniz 公式 重 点 导数与微分的概念及其计算 难 点 求复合函数导数 6 微分中值定理及其应用 18 学时 基本内容 拉格朗日定理和函数的单调性 柯西中值定理和不定式极限 泰勒公式 函 数的极值和最大 小 值 函数的凸性与拐点 函数图象的讨论 方程的近似解 教学要求 深刻理解拉格朗日定理及其推论 掌握定理的证明以及它的几种不同表示形 式 理解费尔马定理 罗尔定理 柯西定理 泰勒定理的证明 能用拉格朗日定理及其推论 证明某些不等式 掌握利用函数的泰勒展开式求一些函数的极限的方法 熟悉掌握利用罗必 达法则求各种不定型极限的方法 掌握函数单调性与导数间的联系与几何意义 明确函数在 某一点处单调的含义 掌握极值的要领与它的局部性质 掌握函数凸凹的解析定义与几何 0 x 意义 掌握函数单调性 极值 凸凹性 拐点的判定方法 能描绘出一些初等函数的图形 了解凸函数的基本性质 掌握利用导数证明不等式的基本方法 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 3 重 点 中值定理 泰劳公式和利用导数研究函数的单调性 极值与凸性 难 点 用辅助函数解决问题的方法和函数的凸性 7 实数的完备性 12 学时 基本内容 关于实数集完备性的基本定理 闭区间上的连续函数性质的证明 教学要求 理解区间套定理 聚点定理 有限复盖定理的意义 了解区间套定理 聚点 定理 有限复盖定理 确界定理 单调有界定理与柯西收敛准则的等价性 理解实数完备性 的基本含义 理解 复盖 区间套 聚点 的概念 弄清聚点与收敛子数列间的关 系 了解上极限与下极限的定义以及子列极限的关系 掌握用子数列的敛散性判定数列敛散 性的方法 重 点 实数完备性的基本定理 难 点 完备性定理的证明 特别是柯西收敛准则充分性的证明 8 不定积分 14 学时 基本内容 不定积分概念与基本积分公式 换元积分法与分部积分法 有理函数和可化 为有理函数的积分 教学要求 深刻理解原函数和不定积分的概念 分清二者之间的区别与联系 理解不定 积分的几何意义 掌握不定积分的运算法则 牢固掌握换元积分法与分部积分法的技巧 掌 握有理函数积分法 掌握化简简单无理函数与三角函数为有理函数积分的方法 掌握特殊三 角函数的积分法 掌握查不定积分表的方法 理解初等函数的原函数不一定是初等函数 而 有理函数的原函数一定是初等函数 重 点 换元积分法和分部积分法 难 点 积分技巧 通过微分运算推导积分运算公式 9 定积分 20 学时 基本内容 定积分概念 牛顿 莱布尼茨公式 可积条件 定积分的性质 微积分学的 基本定理 定积分计算 续 教学要求 深刻理解定积分定义及其几何意义 掌握可积的充分条件与必要条件 理解 有界函数的达布上和 下和的概念及其性质 理解有界函数上 下和的概念以及与定积分概 念之间的关系 深刻理解变上限积分的概念及其连续性 可微性定理的证明 深刻理解微积 分学基本定理 理解定积分与不定积分 微分与积分之间的内在联系 熟练掌握用牛顿 莱布尼兹公式 变量替换公式及分步积分公式计算定积分 掌握证明函数可积性的方法 重 点 定积分的定义 性质 微积分学基本定理及定积分的计算 难 点 函数可积性 10 定积分的应用 12 学时 基本内容 平面图形的面积 由平行截面面积求立体体积 平面曲线的弧长与曲率 旋 转曲面的面积 定积分在物理上的某些应用 定积分的近似计算 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 4 教学要求 理解微元法的思想 掌握平面图形的面积 已知截面面积函数的立体体积 旋转体体积及其侧面积的计算方法 理解曲线段可求长的慨念 掌握弧长公式的推导 掌握 光滑曲线的曲率 曲率半径 曲率圆等概念 掌握旋转曲面面积的定义 重 点 平面图形面积 难 点 微元法 液体静压力 11 反常积分 10 学时 基本内容 反常积分概念 无穷积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质与收敛判别 教学要求 掌握反常积分 无穷积分与瑕积分 的定义与计算 掌握反常积分的性质与 收敛判别法 了解无穷积分与瑕积分的联系 重 点 判别反常积分的敛散性 难 点 用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分的敛散性 12 数项级数 12 学时 基本内容 级数的收敛性 正项级数 一般项级数 教学要求 掌握数项级数收敛与发散的概念 理解级数和的意义 正确区分绝对收敛 条件收敛 收敛这三个定义的不同内涵 掌握绝对收敛级数与条件收敛级数在运算性质上的 差异 掌握收敛级数的基本性质及其证明 掌握柯西准则 正项级数的收敛原则 比较原则 比值判别法与根值判别法以及交错级数的莱布尼兹判别法的内容及证明 能熟悉运用数项级 数的收敛准则 比较判别法 比值判别法 根式判别法 积分判别法来判定正项级数的敛散 性 能熟练运用莱布尼兹判别法判定交错级数的敛散性 并能正确估计余项 掌握利用阿贝 尔判别法和狄利克雷判别法判别任意项数的敛散性的技巧 具有构造简单反例的能力 重 点 用定义求和以及级数收敛判别法 难 点 狄利克雷 Dirichlet 判别法 阿贝尔 Abel 判别法 13 函数列与函数项级数 10 学时 基本内容 一致收敛性 一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学要求 理解收敛域 函数列的极限函数与函数项级数的和函数的意义 掌握函数列 与函数项级数的相互转化关系 深刻理解函数列与函数项级数的一致收敛概念的含义 几何 解释及逻辑非命题 正确区分在一个域上点点收敛与一致收敛的差异 了解他们之间的联系 掌握函数列极限函数与函数项级数和函数的分析性质及其证明 能掌握应用维尔斯特拉斯判 别法判定函数项级数的一致收敛性 掌握使用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法判定函数项级 数一致收敛性的方法 重 点 一致收敛的概念 极限函数与和函数的分析性质 难 点 一致收敛性其及判别法 14 幂级数 10 学时 基本内容 幂级数 函数的幂级数展开 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 5 教学要求 理解幂级数的收敛半径 收敛区间和收敛域的概念 并熟练掌握求幂级数收 敛半径 收敛区间和收敛域的方法 掌握函数的泰勒级数的概念与展开式 能熟练利用已知 展开式求出它的幂级数 掌握幂级数的运算 掌握幂级数的和函数的分析性质 能利用幂级 数展开式进行近似计算 重 点 求幂级数的求和 将函数展成为幂级数 难 点 利用幂级数的性质求和 15 傅里叶级数 8 学时 基本内容 傅里叶级数 以 2L 为周期的函数的展开式 收敛定理的证明 教学要求 掌握三角级数 三角函数系的正交性 傅里叶级数的概念 理解函数可 展成傅里叶级数的含义 掌握傅里叶级数的收敛定理及其证明 掌握傅里叶级数的逐项 积分与逐项微分定理并理解其证明 掌握周期延拓 奇延拓 偶延拓的方法 能熟练地 将一些简单函数在某一区间上展成傅里叶级数 正弦级数 余弦级数 并能根据收敛定 理的结论写出和函数 能用傅里叶展开式求某些级数的和 能应用傅里叶级数的逐项积 分与逐项微分定理论证某些简单的问题 重 点 将函数展为傅里叶级数 难 点 收敛性定理的证明 16 多元函数的极限与连续 15 学时 基本内容 平面点集与多元函数 二元函数的极限 二元函数的连续性 教学要求 准确掌握关于平面点集的有关概念 例如领域 内点 界点 聚点等的 定义 掌握二重极限 累次极限的定义及二者之间的关系 掌握求二元函数极限的基本 方法 掌握判定二元函数极限不存在的基本方法 掌握有界闭域上连续函数的性质 重 点 平面点集的有关概念与二元函数的连续性 难 点 二元函数极限的讨论 17 多元函数的微分学 19 学时 基本内容 可微性 复合函数微分法 方向导数与相关性梯度 泰勒公式与极值问 题 教学要求 深刻理解偏导数 全微分的概念及几何意义 理解连续 偏导数存在与 可微之间的关系 深刻理解方向导数 梯度的概念及它们之间的关系 深刻理解偏导数 全微分的概念 掌握混合偏导与对变元求导顺序无关定理的条件及证明 掌握二元函数 中值定理 泰勒公式及应用 熟练掌握计算多元函数偏导数 全微分 方向导数 梯度的 算法 并熟悉有关算符 掌握二元函数极值的计算 了解 最小二乘法 重 点 全微分的概念 偏导数的计算以及应用 难 点 复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式 18 隐函数定理及应用 18 学时 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 6 基本内容 隐函数 隐函数组 几何应用 条件极值 教学要求 深刻理解隐函数的概念 理解并会应用隐函数存在唯一性定理及可微性定 理 掌握变换的函数行列式及逆变换的概念 理解空间曲线的切线与法平面 曲面的切平 面与法线的定义并掌握其求法 深刻理解隐函数组的概念 了解并会应用隐函数组定理 反函数组定理 掌握隐函数一阶 二阶导数的求法 理解条件极值的概念 掌握拉格朗日 乘数法 重 点 隐函数定理 难 点 隐函数定理的证明 19 含参量积分 14 学时 基本内容 含参量正常积分 含参量反常积分 欧拉积分 教学要求 掌握含参量正常积分的概念及性质 并能利用这些性质求一些积分 掌握含 参量非正常积分的概念 性质以及一致收敛判别法 掌握 函数与 函数的定义与性质 重 点 含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定 难 点 一致收敛性的判定 20 曲线积分 6 学时 基本内容 第一型曲线积分 第二型曲线积分 教学要求 深刻理解第一型 第二型曲线积分的概念及物理意义 掌握第一型 第二型 曲线积分的计算 掌握第一型 第二型曲线积分之间的联系 重 点 曲线积分的概念 计算 难 点 曲线积分的计算 21 重积分 24 学时 基本内容 二重积分的概念 直角坐标系下二重积分的计算 格林公式 曲线积分与线 路的无关性 二重积分的变量变换 三重积分 重积分的应用 教学要求 掌握平面有界点集可求面积的条件 掌握二重积分可积性判定 深刻理解二 重积分 三重积分的概念及二重积分的几何意义 了解二重积分存在的条件及重积分的性质 熟练掌握化二重积分 三重积分为累次积分的方法 掌握重积分的换元法 牢固掌握二重 积分变量变换定理 掌握利用重积分计算曲面面积的方法 了解重积分在物理中的应用 了 解 n 重积分和反常二重积分的概念及其性质 重 点 重积分的计算和格林公式 难 点 化重积分为累次积分 22 曲面积分 12 学时 基本内容 第一型曲面积分 第二型曲面积分 高斯公式与斯托克斯公式 场论初步 教学要求 理解简单闭曲线 域的连通性 曲面的侧等概念 了解场 梯度 散度和旋 度的概念及物理意义 了解两类曲面积分的概念及性质 两类曲面积分的联系 熟练掌握两 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 7 类曲面积分的计算 牢固掌握高斯公式 斯托克斯公式 重 点 是曲面积分的概念 计算 难 点 是第二型曲面积分 六 考核方式六 考核方式 本课程的考试方式是闭卷考试 高等代数高等代数 课程教学大纲课程教学大纲 一 课程性质一 课程性质 高等代数是数学与应用数学专业的基础课 为数学系本科一年级学生所必修 通过本课 程的教学 使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法 且对 初等代数内容有比较深入的了解 并能居高临下的处理中学数学的有关教材 同时培养学生 独立思考 科学抽象思维 正确的逻辑推理和迅速准确的运算能力 以及树立辩证唯物论观 点 它是初等代数的继续与提高 在此基础上可继续学习后续课 近世代数 多重线性代数 微电脑方面及运筹方面的知识 它不仅是应用学科的重要工具课 而且在近代数学理论中也 是一门很重要的理论基础课 特别是随着当今电脑科技的发展 更加显示出高等代数作用 课程教学目标是通过这门课的学习 使学生能理解并掌握多项式的理论和线性代数的基本概 念 基本理论和基本方法 并能熟练地应用它们 培养学生良好的数学素养 独立的思维能 力和解决实际问题能力 为进一步的专业学习和深造打下良好的基础 二 教学目的二 教学目的 本课程的内容可分为多项式理论和线性代数两部分 线性代数部分涉及行列式 矩阵 线性方程组 二次型 线性空间 线性变换 矩阵和欧几里得空间 还介绍了近世代数 基本概念 重点应放在多项式理论与线性代数理论 多项式理论以带余除法为基础 主要介绍了有 关多项式的整除性理论 线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组 线性空间 线性变 换理论等等 矩阵论在其中所起的纽带与工具作用是非常重要的 课程教学目标是通过这门课的学习 使学生能理解并掌握多项式的理论和线性代数的基本概 念 基本理论和基本方法 并能熟练地应用它们 培养学生良好的数学素养 独立的思维能 力和解决实际问题能力 为进一步的专业学习和深造打下良好的基础 三 教材及参考三 教材及参考 教 材 高等代数 第三版 北京大学数学系几何与代数教研室编 高等教育出版 社 2005 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 8 教 参 高等代数 张禾瑞 郝炳新 高等教育出版社 高等代数导学导教导考 徐仲等 高等代数 张玉生等 高等教育出版社 四 教学方式四 教学方式 本课程以课堂讲授为主 自学和讨论为辅的方式组织教学 内容为选学的教学内容 五 教学内容及时数五 教学内容及时数 根据 2012 年数学与计算机科学学院数学与应用数学专业人才培养方案 本课程第一学 期 5 学分 84 学时 每周 6 学时 第二学期 6 学分 108 学时 每周 6 学时 共 11 学分 总的教学时数为 192 学时 具体如下 1 多项式 26学时 基本内容 数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多 项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式 多元多项式 对称多项式 教学要求 正确表述多项式的定义 注意区分零次多项式及零多项式 熟悉多项式的运 算 理解整除概念及多项式的整除性质 讲清多项式的整除不是运算 使学生掌握多项式的 整除性质及带余除法的应用 正确理解和掌握最大公因式的概念 会求两个多项式的最大公 因式 熟练运用互素多项式的性质以及判定两个多项式互素的充要条件 正确理解和掌握不 可约多项式的定义及其性质 因式分解及唯一性定理 三个特殊数域上的多项式分解 会应 用不可约多项式的性质推证某些命题 使学生明白 多项式的形式观点 和 多项式的函数 观点 对于数域 P 上的一元多项式来说是统一的 对多项式进行讨论 无论采取上述两点观 点的哪一种都是不会出问题的 掌握多项式的根与多项式的因式分解的关系 主要讨论重因 式的定义与性质 多项式的根 多项式根的个数定理 掌握不同数域下不可约多项式的一些 判别方法 重 点 掌握多项式的整除 因式分解 可约性的概念 掌握代数基本定理 实系数 多项式根的性质和有理系数多项式的不可约判别法 难 点 有理系数多项式 2 行列式 18学时 基本内容 引言 排列 n级行列式 n级行列式的性质 行列式的计算 行列式按一 行 列 展开 克拉默 Cramer 法则 拉普拉斯 Laplace 定理 行列式的乘法规则 教学要求 理解和掌握排列 逆序 逆序数的概念以及排列的奇偶性的判定 正确表述 阶行列式的定义 指出行列式的本质是用特定符号表示的一个数 熟记行列式性质 正确n 理解这些性质的作用及它们彼此之间的联系 总结行列式计算中常用的一些技巧 灵活运用 行列式的基本性质计算行列式 使学生知道克莱姆 Gramer 法则 指出证明过程分两步的必 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 9 要性 会运用拉普拉斯定理及行列式相乘法则来处理一些行列式 重 点 掌握行列式的概念和性质 熟练应用行列式的性质计算行列式 并会用行列 式求解线性方程组 难 点 阶行列式的计算 n 3 线性方程组 18学时 基本内容 消元法 n维向量空间 线性相关性 矩阵的秩 线性方程组有解判别定理 线性方程组解的结构 二元高次方程组 教学要求 要求学生领会矩阵消元法思想的实质 并能熟练运用它解线性方程组 理解维n 向量的定义 掌握其运算性质 知道维向量空间的概念 正确表述和理解向量的线性表示 n 向量组等价 线性相关 线性无关 向量的极大线性无关组和秩的概念 掌握上述概念所涉 及的性质及其重要的命题 能熟练地判断向量组的线性相关性及求出一个向量组的极大线性 无关组和秩 该部分逻辑性强 推理严谨 正是训练学生这方面能力的好机会 掌握线性方 程组 向量 矩阵之间的相互联系及其转化 理解矩阵秩的概念 主要讨论矩阵的行秩 列 秩 秩 子式等基本概念与基本性质 掌握相关命题 能熟练求出矩阵的秩 掌握线性方程 组有解的判定定理 解的结构 主要讨论线性方程组解的存在性 齐次线性方程组基础解系 齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组解的结构 并会解线性方程组 重 点 掌握线性方程组解的存在性判别 向量组的线性关系 齐次线性方程组基础 解系以及非齐次线性方程组基础一般解的求法 难 点 矩阵的秩 4 矩阵 24学时 基本内容 矩阵的概念 矩阵的运算 矩阵乘积的行列式与秩 矩阵的逆 矩阵的分块 初等变换 分块乘法的初等变换及应用举例 教学要求 熟练掌握矩阵的运算以及它们的运算规律 由于矩阵运算和熟知的数的运算 规律有些是相同的 但也有许多不同之处 这些不同之处正是易犯错误的地方 熟练掌握求 逆矩阵的各种方法 使学生会利用初等矩阵及分块初等矩阵将矩阵的初等变换和分块矩阵的 分块初等矩阵转化成矩阵的乘法运算 这对于解决一些涉及矩阵的理论和计算题很有用 但 推证过程有一定的技巧 使学生掌握有关矩阵的秩的等式或不等式的证明 这些问题常常和 向量组的秩 线性方程组的解等相联系 推证有一定的难度 必须熟记关于矩阵的秩的一些 结论 对有关问题的论证会有很大帮助 重 点 掌握矩阵的概念 能熟练地进行矩阵的各种运算 加 减 数乘 乘 求逆等 包 括分块矩阵的相应运算 熟练掌握矩阵的初等变换运算 理解初等变换和初等矩阵的关系 会用初等变换求逆矩阵 难 点 矩阵的初等变换和分块矩阵的分块初等矩阵转化成矩阵 5 二次型 14学时 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 10 基本内容 二次型及其矩阵表示 标准形唯一性 正定二次型 教学要求 使学生掌握二次型及其矩阵表示以及二次型及其矩阵的秩 非退化的线性替 换 对称矩阵的合同等基本概念 掌握化二次型为标准形的配方法与合同变换法 讨论非退 化的线性替换的矩阵表示 理解实二次型与复二次型的规范形 惯性指数 符号差等基本概 念 二次型的规范形 正定二次型 讨论二次型及其矩阵正定 以及矩阵主子式与顺序主子 式等基本概念 掌握二次型及其矩阵的正定 负定 半正定 半负定 不定 的判定与证明 重 点 掌握化二次型为标准形的方法 求相应的非退化线性替换 二次型及其矩阵 的正定 负定 半正定 半负定 不定的判别 难 点 二次型及其矩阵的正定 负定 半正定 半负定 不定的判别 6 线性空间 24学时 基本内容 集合与映射 线性空间的定义与简单性质 维数 基与坐标 基变换与坐标变 换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构 教学要求 使学生正确表述和理解线性空间的定义 掌握判断一个集合对所给的运算是 不是作成线性空间的方法 这是第一次用公理化的方法来定义一个数学结构 因此在数学思 想方法上是一次新的飞跃 有了这一概念 就可以用统一的方法来处理许多数学对象 对照 第三章的维向量空间 使学生正确表述线性空间中向量的线性相关 线性无关 线性表示 n 极大无关组 秩的定义 熟练掌握它们之间的关系 会求出线性空间的基与维数 理解线性 空间坐标及过渡矩阵的定义 掌握基变换和坐标变换公式 会运用它处理一些有关问题 理 解子空间 生成子空间的定义 会判断向量空间的子集是不是子空间 知道子空间的交与和 的基本性质 理解和掌握直和的概念及性质 会将一个线性空间分解为若干个子空间的直和 从而使得整个线性空间的研究归结为若干个较为简单的子空间的研究 理解线性空间同构的 定义 明白线性空间同构的意义 熟悉如何在数域P上同构的向量空间之间建立同构映射以 及如何证明两个向量空间不同构 重 点 掌握线性空间及其基 维数 坐标和子空间概念 基变换与坐标变换的公式 过渡矩阵 子空间的和与直和 线性空间的同构 难 点 线性空间分解 子空间的直和 7 线性变换 24学时 基本内容 线性变换的定义 线性变换的运算 线性变换的矩阵 特征值与特征向量 对角矩阵 线性变换的值域与核 不变子空间 若尔当标准形介绍 最小多项式 教学要求 理解和掌握线性变换的定义 性质及运算 和 差 乘积 数量乘法 逆变 换 幂与多项式等基本运算 理解线性变换矩阵的定义 会求一个线性变换在某组基下的 矩阵 了解基的变换对于线性变换的矩阵的影响 得出了矩阵的相似概念 如何选择一个基 使线性变换在该基下的矩阵具有尽可能简单的形式 解决这一问题依赖于线性变换及矩阵的 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 11 特征值和特征向量的概念与计算 熟练掌握线性变换及矩阵的特征值和特征向量的概念与计 算 了解特征多项式 特征子空间等基本概念 理解线性变换的值域与核 秩与零度 线性 变换的不变子空间等基本概念及其性质 明白不变子空间在解决矩阵标准形的问题中占有重 要地位 使学生熟练掌握矩阵对角化条件以及如何化矩阵为对角矩阵的方法 重 点 掌握线性变换与它的矩阵表示 线性变换的特征值与特征向量的概念 以及 线性变换与矩阵的可对角化条件 难 点 矩阵对角化 8 矩阵 22学时 基本内容 矩阵 矩阵在初等变换下的标准形 不变因子 矩阵相似的条件 初等 因子 Jordan标准型的理论推导 矩阵的有理标准型 教学要求 理解矩阵的定义及其运算 会求矩阵在初等变换下的标准形 了解 矩阵的不变因子 行列式因子及初等因子这三个重要概念 掌握它们的性质 相互之间 的关系以及它们的求法 掌握数字矩阵相似的充要条件 掌握矩阵的若当标准形及有理标准 形的求法 矩阵的初等因子和线性变换的初等因子等基本概念 矩阵的若尔当标准形 重 点 掌握矩阵的不变因子 行列式因子 初等因子 矩阵及其在初等变换下的 标准形的求法 矩阵相似的充分必要条件 若尔当标准形 难 点 矩阵的若当标准形及有理标准形的求法 9 欧几里得空间 22学时 基本内容 定义与基本性质 标准正交基 同构 正交变换 子空间 实对称矩阵的标 准形 向量到子空间的距离 最小二乘法 酉空间的介绍 教学要求 理解内积的定义及在实数域上的线性空间引入内积概念得到欧氏空间 进而 讨论向量的长度 夹角及正交等度量概念 准确理解欧氏空间的标准正交基的概念 基本性 质及引入这一概念的意义 能熟练运用施密特正交化方法由一组基求出标准正交基 掌握正 交变换与对称变换 实对称矩阵的概念及性质 能够运用它们与对应特殊矩阵之间的关系解 题 能熟练地找到正交矩阵 使为对角阵以及以另一种形式出现的同一个问题 即QAQ Q 用正交线性变换化实二次型为标准形 掌握子空间的正交补的概念及基本性质 会求某些子 空间的正交补 重 点 欧几里得空间的基本概念 度量矩阵 标准正交基 正交矩阵 实对称矩 阵的标准形 难 点 正交线性变换化实二次型为标准形 10 代数基本概念介绍 基本内容 群的定义与例子 群的简单性质 子群 同构 环与域 子环 子域 同构 教学要求 使学生对群 环 域有初步了解 为近世代数的学习打基础 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 12 重 点 重点掌握群的定义和性质 本章在近世代数中详细介绍 这里为选学内容 难 点 群的定义和性质 六 考核方式 六 考核方式 本课程的考核方式为闭卷考试 解析几何解析几何 课程教学大纲课程教学大纲 一 课程性质一 课程性质 本课程是数学与应用数学专业本科学生的专业基础课程之一 也是入学后第一学期开设 的必修课 解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科 主要使用向量代数和高等代数 作为主要工具 研究空间的直线 平面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面等几何对象的基本 性质 研究正交变换的不变量和不变性质 教学中应当注重培养学生用代数方法处理几何问 题的能力 以及从几何直观分析问题和和解决问题的能力 通过学习本门课程 一方面可以 为高等代数及数学分析提供直观的几何背景 另一方面也能提高数学修养并为日后胜任中学 教学工作而作好准备 二 教学目的二 教学目的 本课程讲述的是三维欧氏空间的曲面与曲线 重点介绍空间直线 平面 二次曲面的性 质和图形 这些大体上是围绕坐标概念展开的 学习时必须与同时开设的代数分析课相协调 对于一些代数上的知识 其实只用一些简单 的 3 阶行列式及矩阵 三维空间的线性相关等 只作一些简单的介绍和应用 其理论上的叙 述建议留给代数课程 本课程的教学目的在于培养学生运用解析方法解决几何与实际问题的 能力 掌握空间几何课程的基本知识和内容 并为进一步学习后继课程作准备 通过本课程 的学习 使学生系统地掌握空间解析几何的基本知识和基本理论 正确地理解和使用矢量 在掌握几何图形的同时 提高运用代数方法处理几何问题的能力和空间抽象能力同时能用解 析几何理论处理中学数学教学中的有关问题 三 教材及教参三 教材及教参 教 材 解析几何 吕林根 许子道等编 高等教育出版 教 参 解析几何 苏州大学 吕林根 许子道等编 高等教育出版社 1987 空间解析几何引论 南开大学几何教研室编 南开大学出版社 1992 空间解析几何 王敬庚 傅若男等编 北京师范大学出版社 1999 四 教学方式四 教学方式 本课程以讲授为主 自学和讨论为辅的方式组织教训 内容采用多媒体辅助手段 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 13 五 教学内容与学时五 教学内容与学时 根据数学与应用数学专业人才培养方案 本课程开设学期为第一学期 共 4 学分 每周 6 学时 总的教学时数为 72 学时 具体如下 1 矢量与坐标 14 学时 基本内容 矢量的概念 矢量的加法 数量乘矢量 矢量的线性关系与矢量的分解 标 架与坐标 矢量在轴上的射影 两失量的数性积 两失量的失性积 三矢量的混合积 三矢 量的双重失性积 教学要求 引入矢量代数的基本概念和运算 为研究解析几何打好基础 理解矢量及与 之有关诸概念 并能在具体问题中区分那些是矢量 那些是数量 掌握矢量的运算 矢量加 减 法 数与矢量乘法 两失的数性积 失性积 混合积 二重失性积等的定义与性质 注意与数的运算规律的异同之处 理解坐标系的建立 区分仿射坐标系与空间直角坐标系的 区别 掌握在直角坐标系下 用坐标进行失量的运算方法 会用矢量法进行有关的几何证明 问题 重 点 矢量的运算及线性关系 数性积 矢量积的运算及性质 难 点 数性积与混合积的运算及应用 2 轨迹与方程 6 学时 基本内容 平面曲线的方程 曲面方程 母线平行于坐标轴的柱面方程 空间曲线的方 程 教学要求 在空间建立坐标系后 将满足一定条件的轨迹 曲线或曲面 用代数方程来表 示 将几何问题转化为代数问题 为用代数的方法研究几何奠定基础 会建立适当坐标系建立 点的轨迹方程 掌握常见曲线与曲面的方程 重 点 平面曲线 空间曲面与曲线及其方程的定义 曲线 曲面的一般方程与参数 方程的关系 掌握几种常见曲面的方程的特征 通过例题的分析 掌握建立曲线曲面方程的 思想 难 点 给出已知条件求轨迹方程 3 平面与空间直线 12 学时 基本内容 平面方程 平面与点的位置关系 两平面的相关位置 空间直线的方程 直 线与平面的相关位置 空间两直线的相关位置 空间直线与点的相关位置 平面束 教学要求 通过建立平面与空间直线的方程 用代数方法定量地研究平面和直线 掌握 平面和直线的各种方程和性质 已及它们之间各种位置关系的解析表达式和距离 交角等计 算公式 重 点 平面及空间直线方程的种类及不同形式的转化 两直线的相对位置关系及判 定 两平面的相关位置及判定 直线与平面的相关位置及判定 点与直线及点与平面的位置 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 14 关系 难 点 已知条件求各种轨迹 各种关系的判定 4 柱面 锥面 旋转曲面与二次曲面 14 学时 教学内容 柱面 锥面 旋转曲面 椭球面 双曲面 抛物面 单叶双曲面与双曲抛物 面的直母线 教学要求 在前几章的基础上 扩建空间图形的方程 以二次曲面最简单的方程出发 来区分这些曲面的类型 并概要地通过截痕法来讨论它们的性质 掌握研究二次曲面的基本 方法 平行截面法 能识别常见二次曲面的方程和图形 掌握二次曲面的性质 重 点 常见二次圆柱面与圆锥面 一般直纹面和简单直纹面 旋转面如何用母线与 准线建立方程 根据曲线产生曲面的观点 建立了三种有心二次曲面和两种无心二次曲面 连同二次锥面与柱面和变态二次曲面共有五大类十七种 难 点 识别各种面的方程 图形及如何建立方程 5 二次曲线的一般理论 14 学时 基本内容 二次曲线与直线的相关位置 二次曲线的渐进方向 中心 渐进线 二次曲 线的切线 二次曲线的直径 二次曲线的主直径和主方向 二次曲线方程的化简与分类 应用不变量化简二次曲线的方程 教学要求 引入平面坐标变换 并以此为工具研究平面上的一般二次曲线 对它们进行 简化与分类 掌握有关二次曲线的一些概念 如中心 渐进线 直径 共轭方向 主方向等 及其求法 会对曲线进行化简 并判别其类型 重 点 二次曲线方程的化简 二次曲线的分类及渐进线的概念 难 点 二次曲线方程的建立 化简 分类 6 二次曲面的一般理论 12 学时 基本内容 二次曲面与直线的相关位置 二次曲面的渐进方向与中心 二次曲面的切线 与切平面 二次曲面的径面与奇向 二次曲线的主径面与主方向 特征方程与特征根 二次 曲面方程的化简与分类 应用不变量化简二次曲面的方程 教学要求 理解二次曲面的渐近方向 中心 切线 切点 切平面 奇异点 径面 共 轭方向 奇异方向 理解二次曲面的主径面 主方向 不变量 半不变量 熟练掌握直线与 曲面相切的条件 求切平面 求径平面 主径面与主方向 作直角坐标变换 化简二次曲面 的方程 重 点 基本概念 矢量计算 作图能力 难 点 一般二次曲面理论 知识的综合应用 六 考核方式六 考核方式 本课程的考核方式为闭卷考试 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 15 近世代数近世代数 课程教学大纲课程教学大纲 一 课程性质一 课程性质 近世代数是数学与应用数学专业的一门专业必修课 近世代数以群 环 域等代数系统 为基本内容 它对高等代数中出现的数域 多项式 矩阵 线性空间等概念进一步概括 具 有抽象的特点 适宜于培养学生抽象思维和逻辑推理能力 它不仅是将来学习代数的一个入 门 而且与其它学科 如几何 拓扑 泛函和有限数学等有密切的联系 本课程的目的在于 教授学生理解和掌握群 环 域这三个代数系统的有关知识 二 教学目的二 教学目的 通过本课程的学习使学生理解并掌握群 环 域等基本概念及相关知识 了解代数体系 的构造和性质 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力 做到 要求学生理解集合及映射 的概念及相关知识 掌握笛卡尔积和代数运算的定义及运算规律 理解掌握一一映射 变换 的概念 理解掌握同态与同构的概念 了解等价关系的概念及其与集合的分类的关系 要求 学生理解群的定义及相关概念 掌握子群的判定 变换群 不变子群与商群 子群的陪集等 的概念与性质 理解掌握群的同态与同构及同态基本定理与同构定理 要求学生理解环与域 的定义及相关概念 掌握环的判定 理想与商环 理想与极大理想 商域等概念 理解掌握 环的同态与同构 三 教材及教参三 教材及教参 教 材 近世代数基础 张禾瑞 高等教育出版社 2004 2 第 31 次印刷 教 参 近世代数基础 刘绍学 高等教育出版社 近世代数初步 第二版 石生明 高等教育出版社 近世代数 第 2 版 杨子胥 高等教育出版社 四 教学方式四 教学方式 本课程以课堂讲授为主 自学和讨论为辅的教学方式 五 教学内容与建议学时五 教学内容与建议学时 根据数学与应用数学专业人才培养方案 本课程开设学期为第三学期 共 3 学分 每周 3 学时 总的教学时数 54 学时 具体如下 1 基本概念 讲授 8 学时 基本内容 集合 映射 代数运算 结合律 交换律 分配律 一一映射 变换 同态 同构 自同构 等价关系与集合的分类 教学要求 要求学生理解集合与映射的概念及相关知识 掌握笛卡尔积和代数运算的定 义 以及结合律 交换律和分配律 理解掌握一一映射 变换的概念 理解掌握同态与同构 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 16 的概念及应用 了解等价关系的概念 并能够利用有关的等价关系给集合分类 重 点 集合与映射的概念及相关知识 代数运算的定义 同态与同构的概念及应用 难 点 等价关系的概念 并能够利用有关的等价关系给集合分类 2 群 讲授 24 学时 基本内容 群的定义 单位元 逆元 消去律 有限群的另一定义 群的同态 变换群 置换群 循环群 子群 子群的陪集 不变子群 商群 同态与不变子群 教学要求 要求学生理解和识记群的三个定义 掌握子群的判定定理 不变子群与商群 子群的陪集等的概念与性质 理解和掌握三种具体的群 尤其是 n 次对称群 重 点 理解掌握群的同态 变换群 置换群 循环群和子群的陪集的概念并会应用 难 点 理解掌握不变子群 商群 并会应用 3 环 讲授 22 学时 基本内容 加群 环的定义 交换律 单位元 零因子 整环 除环 域 无零因子环 的特征 子环 环的同态 多项式环 理想 剩余类环 同态与理想 最大理想 商域 教学要求 要求学生理解环与域的定义及相关概念 掌握环的判定 理想与商环 理想 与极大理想 商域等概念 理解掌握环的同态与同构 重 点 理解掌握加群 环 除环 域 子环 环的同态 理想的定义并会应用 难 点 理解掌握剩余类环 同态与理想以及最大理想 并会应用 六 考核方式六 考核方式 本课程的考核方式为闭卷考试 常微分方程常微分方程 课程教学大纲课程教学大纲 一 课程性质一 课程性质 常微分方程是研究微分方程求解的基本理论和基本方法的数学学科 是数学与应用数学 专业本科生的专业基础必修课之一 在学生已学完高等代数 数学分析和普通物理学中的力 学部分后所开设的 本课程的目的就是要进一步巩固已学知识 并用它们来解决数学理论本 身和其它学科中出现的若干最重要 最基本的微分方程问题 本课程一方面初步建立起常微 分方程本身的基础理论 为它的后继课数理方程 微分几何 泛函分析作准备 另一方面 也为训练学生理论联系实际 培养分析问题与解决问题的能力 是数学应用于物理 力学等 的桥梁 是运用数学工具解决实际问题的重要工具和基础 也是加深理解数学分析 高等代 数等课程的重要课 通过本课程的教学能够做到将理论知识与实际问题相结合 从而有助于 数学与应用数学本科专业课程教学大纲 17 树立学员的数学来源于实践又服务于实践的辩证唯物主义观点 二 教学目的二 教学目的 本课程属基础理论课程 是进一步学习其他专业课程的基础 所以一定要使学生重视起 这门课程来 通过本课程的教学 要使学生掌握常微分方程的基本概念 基本理论 基本方 法和比较熟练掌握简单常微分方程的初等解法 常系数线性方程的解法和线性微分方程组的 知识 对于低阶方程组 简单的高阶方程组要会解 掌握微分方程 组 的基本理论 对 于简单应用问题会列出定解