2010高考数学二轮复习专题28：解答题的解答策略及限时训练.doc

专题二十八：解答题的解答策略【走进高考】1. (09天津) 已知函数其中.（）当时，求曲线处的切线的斜率；（）当时，求函数的单调区间与极值.【解析】（）所以曲线在点处的切线的斜率为.（）.令以下分两种情况讨论.（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值所以在内事增函数，在内是减函数.函数在处取得极大值；函数在处取得极小值（2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值所以在内是增函数，在内是减函数.函数在处取得极大值；函数在处取得极小值.2.(09上海) 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.（1）若，是否存在，有说明理由；（2）找出所有数列和，使对一切,并说明理由；（3）若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明.【解析】（1）由，整理得.，为整数，不存在，使等式成立.（2）解法一：若即.（）若.当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求；（）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，矛盾.综上，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列满足要求.解法二：设.若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，对都成立，.（）若，；（）若，则（常数），即，则，矛盾.综上，使对一切，.（3），设，.，.取，则存在正整数，使得，存在整数满足要求.故当且仅当，命题成立.若为偶数，则为偶数，但为奇数，此等式不成立，一定为奇数.当时，则，而当为偶数时，存在，使成立.当时，则，即，.由已证可知当为偶数，即为奇数时，存在，成立.当时，则，即，而不是5的倍数，当所要求的不存在.故不是所有奇数都成立.3.(09浙江) 已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值【解析】（I）由题意得所以所求的椭圆方程为.（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为.直线MN的方程为，代入椭圆的方程中，得，即.因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有.设线段MN的中点的横坐标是，则.设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或.当时，有，因此不成立；因此；当时，代入方程，得，将代入不等式成立.因此的最小值为1【考点聚焦】一、三角函数及其综合应用三角函数式化简、求值；三角函数或化简，求周期，单调区间，最值；三角式待定系数计算，求相关量；与三角形、正余弦定理相关的三角化简问题；与向量相关的三角函数化简问题；解斜三角形；三角函数的应用问题.二、概率统计及其综合应用古典概率 + 随机概率分布列 + 数学期望； 二项分布 + 分布列 + 数学期望；由条件求出概率P + 分布列 + 数学期望；由期望、方差求待定系数 + 由分布列求相关问题；互斥、独立事件概率 + 分布列 + 期望.三、立体几何及其综合问题以正方体为载体；以长方体为载体；以三棱锥、四棱锥为载体；以三棱柱为载体；以多面体为载体；图形翻折；求证：线线、线面、面面平行与垂直关系；计算：异面直线所成角、二面角；计算：距离、体积等.四、解析几何及其综合应用求椭圆方程 + 直线截椭圆弦长 + 三角形的面积问题；向量 + 椭圆方程 + 弦长 + 三角形的面积； 椭圆方程 + 对称问题+范围；椭圆方程 + 范围 + 最值（几何问题）； 双曲线方程 + 几何问题 + 最值；抛物线方程 + 焦点弦 + 三角形的面积；抛物线方程 + 切线 + 三角形的面积；抛物线方程 + 对称问题 + 范围；求曲线轨迹问题（圆、椭圆、抛物线、双曲线）+ 其它问题.五、函数及其综合应用求函数的单调区间、最值 + 不等式或含参数的函数单调区间、最值；求函数的单调区间 + 线性规划；函数的单调性 + 二项式定理+不等式；函数的单调区间、最值 + 参数取值范围；含三角函数的复合函数单调区间 + 最值； 函数 + 组合恒等式 + 不等式；二次函数+含绝对值不等式 + 函数单调区间；由高等数学改编问题（函数问题）六、数列及其综合应用等差、等比数列性质、求，等；递归数列等差、等比问题求，；函数递归数列或几何图形递归数列；数列 + 概率；数列 + 数学归纳法 + 不等式或数列求和 + 证明不等式；数列 + 二项式定理 + 不等式；数列 + 三角函数 +；由高等数学改编数列问题.【经典例解】题型一：三角函数及其综合应用【例1】已知向量.（）求向量的长度的最大值；（）设，且，求的值.【解析】解法1：则，即当时，有所以向量的长度的最大值为2.解法2：，.当时，有，即，的长度的最大值为2.（2）解法1：由已知可得.，即.由，得，即.,于是.解法2：若，则，又由，.，即，平方后化简得，解得或.经检验即为所求.【点拨】本题考查三角函数的恒等变形、化简求值，平面向量的模、向量垂直的充要条件等基本知识.求向量b+c的长度的最值，只需建立其长度的三角函数解析式，利用三角函数的有界性即可求解（解法一）；也可利用绝对值不等式的性质求解（解法二）. 欲求cosB，只需利用向量垂直的充要条件建立关于cosB的方程即可求解.【变式】在ABC中，sin(C-A)=1, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.【解析】（I）；(II).题型二：概率统计及其综合应用【例2】济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，0.4，0.5，0.6，并且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（1）求=0对应的事件的概率；（2）求的分布列及数学期望.【解析】（1）分别记“客人游览大明湖景点”，“客人游览趵突泉景点”，“客人游览千佛山景点”，“客人游览园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4.由已知A1，A2，A3，A4相互独立，.客人游览景点数的可能值有0，1，2，3，4，相应地没有游览的景点数的可能值有4，3，2，1，0，所以的可能取值为0，2，4.故+；（2）；所以的分布列为024P0.380.50.12E=00.38+20.5+40.12=1.48.【点拨】本题考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基本知识，同时考查考生的分析能力、逻辑思维能力、计算能力，解答本题的突破口是弄清随机变量所有可能的取值及取每一个值的意义.解答第（1）问只需理解=0表示“已游览的景点数与未游览的景点数相等”，然后利用独立事件与互斥事件的概率求解即可；解答第（2）问时，利用P（=2）=1P（=0）P（=4）即可求出取每个值的概率，进而示出分布列与期望值.【变式】某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【解析】若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布列为（万元）. 若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为（万元）.又，所以，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上，建议该投资公司选择项目一投资题型三：立体几何及其综合问题【例3】在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的大小；（3）求点到平面的距离.【解析】解法一：（1）因为AC是所作球面的直径，则AMMC.又因为P A平面ABCD，则PACD.又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD.（2）由（1）知，又，则是的中点，可得，则.设D到平面ACM的距离为，由，即，可求得.设所求角为，则，.（3）可求得PC=6.因为ANNC，由，得PN，所以.故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的.又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）知所求距离为.解法二：（1）同解法一.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.则， ，.设平面的一个法向量.由，得.令，则.设所求角为，则， 所以所求角的大小为.（3）由条件可得.在中，所以，则, ，所以所求距离等于点到平面距离的.设点到平面距离为，则，所以所求距离为.【点拨】本题主要考查两平面的位置关系、线面角、点面距、空间向量等基本知识，同时考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第（1）问只需证明AM垂直平面PCD内的两条相交直线即可，即AMMC、AM CD；第（2）问用等积法求出点D到平面ACM的距离，即可求出所求线面角的正弦值；第（3）问考虑在截面圆中用圆幂定理将所求距离转化为点P到平面ACM的距离求解.考虑用直线的方向向量与平面的法向量处理立几问题，可使思路清晰简洁.题型四：解析几何及其综合应用【例4】圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：“已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则”，这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.（）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；（）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：（1）过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；（2）过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线，使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.【解析】（）证明：设，则.相减得.注意到，有，即 .（）（1）设 ,由垂径定理有，即，化简得.当与轴平行时，的坐标也满足方程.故所求的中点的轨迹的方程为.（2）假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且P为的中点，则.由于，.直线，即，代入曲线的方程得,即.由 ，得.故当时，存在这样的直线，其直线方程为；当时，这样的直线不存在. 【点拨】第（I）问只需用差点法与中点坐标公式求出直线AB、OM的斜率即；第（II）中的（1）问只需将点M的坐标代入第（I）问的结论即可；第（II）中的（2）问，假设存在这样的直线，即可设出其方程，只需考察该直线与有心圆锥曲线是否相交即可，即考察判别式是否大于0.题型五：函数及其综合应用【例5】已知函数，（，为常数）函数定义为：对每个给定的实数，.（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用，表示）；（2）设是两个实数，满足，且若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）.【解析】（1）（对所有实数）等价于（对所有实数）即等价于，即对所有实数均成立. （*）由于的最大值为，故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件.（2）分两种情形讨论：Oyx(a,f(a)(b,f(b)图1（i）当时，由（1）知（对所有实数），则由，及，易知.再由的单调性，知在区间上的单调增区间的长度为（见图1）.（ii）时，不妨设，则，于是当时，有，从而；当时，有，从而 ；时，及.由方程，解得图象交点的横坐标为 Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图2显然，这表明在与之间.由易知.综上，在区间上 . （见图2）故在区间上的单调增区间的长度之和为.由于，即，得. 故由，得.综合（i）（ii），在区间上的单调增区间的长度和为.【点拨】本题考查考生的阅读理解能力及综合运用函数、不等式、简易逻辑等知识进行推理论证的能力第（1）问事实上是考查学生对定义的理解，将问题等价转化为恒成立，进而等价转化为求函数的最大值；第（2）问只需利用分类讨论和数形结合思想考察函数的单调性，进而求出递区间即可题型六：数列及其综合应用【例6】已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：【解析】（），即.又，所以是以为首项，为公比的等比数列所以，（）令，则，作差有所以对任意的，.（）由（）知对任意的，有.取，则原不等式成立【点拨】本题考查递推数列、等比数列、数列的通过公式、数列的前n项和公式、不等式的证明等基本知识，同时考查考生的逻辑思维能力、推理证明能力，运算能力.第（）问中根据递推公式的结构特征，利用“倒数变换”，变形，再利用“构造辅助数列法”即可求解通项公式；第（）问考虑用作差比较法；第（）问只需借助（）的结论对每一项进行缩放，然后根据和式的结构特征对x取特值即可.【变式】已知数列的各项均是正数，其前n项和为，其中p为正常数，且.（I）求数列的通项公式；（II）设数列项和为，是否存在正整数m，使得对于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；（III）试证明：当解：（1）.（2）存在符合条件的正整数m，其最小值为1.（3）由柯西不等式有，所以.又.【规律总结】1.高考中的解答题除了考查基础知识和基本技能外，更重要的是通过考生的解答过程所呈现的思维过程，来考查其思维能力、思维品质、探究能力和创新能力等，是试卷中体现区分度的关键部分.2.求解解答题的关键一环是审题，做好审题工作必须把握好“三性”：（1）目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标；（2）准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性；（3）隐含性：注意挖掘题设条件的隐含性.审题是求解过程的第一步，不要怕慢，做到慢中有快，即审题慢解答快.3.解题方向要明确，解题手段要合理，这是提高解题速度和准确性的前提与保证.4.应注意解答方法的多样性，同时还要注意数学思想方法的运用、思路的选择和运算方法的选择.【45分钟限时训练】1. 已知的三个内角所对的边分别为,且.()求角的大小；()现给出三个条件：；.试从中选择两个条件求的面积(注：只需选择一个方案答题,如果用多种方案答题,则按第一种方案给分).2.在一种有奖竞猜智力游戏中，每个参加者可以回答两个问题，且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题假设答对题i(i=1，2)题，就得到奖金ai元且答对题i的概率为Pi(i=1，2),两次作答不会相互影响(1)当ai=2000元，P1=0.6，a2=1000元，P2=0.8时，某人选择先回答题l.设获得奖金为，求的分布列和数学期望；(2)当ai=2a2，Pl+P2=l时，若答题人无论先回答哪个问题，可能得到的奖金一样多，求此时的值3. 如图，已知平面，平面，三角形为等边三角形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的大小.4. 已知，直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1.（）求直线的方程及的值；（）若的导函数），求函数的最大值；（）当时，比较：与的大小.5. 在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.求双曲线的标准方程；若直线与双曲线交于不同的两点、,且、两点都在以点为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.6. 已知点P在曲线上，设曲线C在点P处的切线为，若与函数的图像交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，设A、B的横坐标分别为、（）求的解析式；（）设数列数列满足，求和的通项公式；（）在（）的条件下，当【限时训练参考答案】1.【解析】由,得,所以，则,所以.()方案一：选择.A=30，a=1，2c-(+1)b=0，所以.则根据余弦定理，得，解得b=，则c=.方案二：选择. 可转化为选择解决 (注：选择不能确定三角形).2.【解析】(1) 因为的分布列为020003000P0.40.60.20.60.8即020003000P0.40.120.48所以E=00.4+20000.12+30000.48=1680.(2)先回答题1的分布列为10a1a1+ a2P1-P1P1(1-P2)P1 P2E1= a1 P1(1-P2)+ ( a1+ a2)