2010湖北高考数学模拟试卷汇编——压轴题.doc

1、（10年湖北省华师一附中等六校第一次联考（理）（本小题满分13分）设函数，其中为正整数.（）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；（）证明：；（）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.1.【解析】：（1）在上均为单调递增的函数. 对于函数，设 ，则，函数在上单调递增. （2） 原式左边 . 又原式右边. （3）当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为. 当时，函数的最大、最小值均为1.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.当时，函数在上单调递减，的最大值为，最小值为. 下面讨论正整数的情形： 当为奇数时，对任意且，以及 ，从而 .在上为单调递增，则的最大值为，最小值为. 当为偶数时，一方面有 .另一方面，由于对任意正整数，有，.函数的最大值为，最小值为. 综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为. 当为偶数时，函数的最大值为，最小值为.2、（10年湖北省华师一附中等六校第二次联考（理）（本小题满分14分）数列定义如下：，,（1）求的值；（2）求的通项；（3）若数列定义为：，证明：； 证明：2、【解析】：（1）,(其他合理答案也给分).（2）设，则.一般地，若，则由递推关系可知：的通项公式为 （3） ，于是,. 因为当时，所以.3（10年湖北省八校2010届高三第二次联考（数学理）(本题满分14分)已知函数 （1）若求的单调区间及的最小值； （2）若，求的单调区间； （3）试比较）的大小，并证明你的结论。3【解析】（1） （2分）故a=1时，的增区间为，减区间为（0，1），（4分） （2）若则在区间上是递增的；当在区间上是递减的（6分）若则在区间上是递增的，在区间上是递减的；当在区间（0，a）上是递减的，而在处连续；则在区间上是递增的，在区间（0，1）上是递减的 （8分）综上：当的递增区间是，递减区间是（0，a）；当时，的递增区间是，递减区间是（0，1） （9分） （3）由（1）可知，当，时，有，即 （14分）4（10年湖北省八校2010届高三第二次联考（数学文）设，在处取得极大值，且存在斜率为的切线。 （1）求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）是否存在的取值使得对于任意，都有。4解：（1），在处有极大值，则又有实根，或，（4分）（2）的单调增区间为则m、n （8分）（3）（方法一）由于上是减函数，在上是增函数.在上是减函数,而,且.在上的最小值就是在R上的极小值.,得,在上单调递增.，不存在.依上，不存在的取值，使恒成立.（14分）（方法二）等价于即，当时，不等式恒成立；当时，上式等价于即，在上递增所以即而故不存在。（14分）5（湖北省部分重点中学2010届高三第二次联考理）（本小题满分14分）已知数列满足：，且存在大于1的整数k使。 （1）用k表示m（化成最简形式）； （2）若m是正整数，求k与m的值； （3）当k大于7时，试比较的大小。5【解析】：（1）2分由得4分6分 （2）由又故此有故k=7，m=499分 （3）14分6（湖北省黄冈中学2010届高三9月文）（本小题满分14分）设数列的前项和为，且，其中为常数，且、0.（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；（3）设，数列的前项和为，求证：当时，6【解析】：（1） 由 相减得：， 数列是等比数列。（2）， 是首项为，公差为1的等差数列；， （3）时， ， 得， 又因为单调递增，时故当时，7（湖北省黄冈中学2010届高三9月理）（本小题满分14分）已知数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，且，求证：；（3）求证：。解：（1）当时， ，可得：.可得， （2）当时，不等式成立. 假设当时，不等式成立，即那么，当时， 所以当时，不等式也成立。 根据（），（）可知，当时， （3）设 在上单调递减， 当时， ，8湖北黄冈中学2001届高三10月月考试题（数学文 理） (本题满分14分)已知数列中，且() 求数列的通项公式；() 令，数列的前项和为，试比较与的大小；() 令，数列的前项和为求证：对任意，都有 8【解析】：()由题知， ， 由累加法，当时，代入，得时，又，故 4分（II）时，方法1：当时，；当时，；当时，猜想当时， 6分下面用数学归纳法证明：当时，由上可知成立；假设时，上式成立，即.当时，左边，所以当时成立由可知当时, 综上所述：当时,；当时, ；当时, 10分方法2：记函数所以 6分则所以由于，此时；，此时；，此时；由于，故时，此时 综上所述：当时，；当时, 10分（III）当时，所以当时且故对，得证 14分9（湖北省黄冈中学2010届高三11月文）（本小题满分14分）已知定义在的函数同时满足以下三条：对任意的，总有；当时，总有成立（1）函数在区间上是否同时适合？并说明理由；（2）设，且，试比较与的大小；（3）假设存在，使得且，求证：9【解析】：（1）显然，在0，1满足；满足；对于，若，则 ，故适合（2）由知，任给时，当时，由于，所以（3）（反证法）由（2）知，若，则 前后矛盾；若，则 前后矛盾；故得证10（湖北黄州一中2010届高三数学综合测试）（本题14分）数列满足，.（1）证明为等比数列，并求通项公式；（2）令，数列前项和为，求证：当时，；（3）证明：.10解（1），两边同除以得： 是首项为，公比的等比数列 4分（2），当时，两边平方得： 相加得： 6分又 9分（3）（数学归纳法）当时，显然成立当时，证明加强的不等式假设当时命题成立，即则当时 当时命题成立，故原不等式成立。 14分11、湖北省荆州市2010届高中毕业班质量检查（二）文科数学试题12、湖北省荆州市2010届高中毕业班质量检查（二）理科数学试题13（湖北省武昌区2010届高三数学1月调研测试理）（本小题满分14分）设函数，且（为自然对数的底数）.（）求实数与的关系；（）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；（）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.13. 【解析】：（）由题意，得，化简，得，. 2分（）函数的定义域为.由（）知，.3分令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.（1）当时，.在内为单调减函数，故符4分（2）当时，.只需，即时，此时.在内为单调增函数，故符合条件. 6分（3）当时，.只需，此时.在内为单调减函数，故符合条件.综上可得, 或为所求.8分（）在上是减函数，时，；时，.即.9分（1）当时，由（）知，在上递减，不合题意. 10分（2）当时，由知，.由（）知，当时，单调递增，不合题意.12分（3）当时，由（）知在上递增，又在在上递减，.即，.综上，的取值范围是.14分14（湖北省武昌区2010届高三数学1月调研测试文）（本小题14分）已知椭圆的左焦点为F1，C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等（）求椭圆的离心率的取值范围；OF1xyAB（）若已知椭圆的左焦点为,右准线为，圆的切线与椭圆交于A、B两点，求证：OAOB(O为坐标原点)14 【解析】（）设点P的坐标为， 则|PF1|=，P到右准线的距离为，故=，2分化简整理，得，而，即，解得.5分（）易求得椭圆的方程为.7分设切线AB不垂直于轴时，AB的方程为，则原点到直线 AB的距离为，即.9分联立方程，可得.10分由得.且即OAOB12分当AB垂直于轴时，AB的方程为，代入椭圆方程得.易得:OAOB综上圆的切线与椭圆交于A、B两点，且总有OAOB14分15（湖北省武汉市2010届高中毕业生四月调研测试理）（本小题满分14分）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间； （3）问是否存在实数a，使得不等式恒成立。若存在，则求实数a的取值范围，否则说明理由。15【解析】：（1）由需满足：故5分 （2）对上递减。10分 （3）由（2）可知上递增。故14分16（湖北省武汉市2010届高中毕业生四月调研测试文）（本小题满分14分）已知椭圆C：，且右焦点F到左准线的距离为3。 （1）求椭圆C的方程； （2）又已知点A为抛物线上一点，直线FA与椭圆C的交点B在y轴的左侧，且满足的最大值。16【解析】：（1）而右焦点到左准线之距由解之得从而所求椭圆方程为5分 （2）椭圆的右焦点为F（1，0），点B在椭圆上，即（当且仅当时取“=”）。故p的最大值为14分17（湖北省武汉市部分学校10届起点调研测试 文）(本小题满分14分)已知抛物线、椭圆、双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。（）求这三条曲线方程；（）若定点P(3，0)，A为抛物线上任意一点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。17【解析】：（）设抛物线的方程为M(1，2)在抛物线上， 即p2抛物线方程为，焦点为(1，0) 3分椭圆、双曲线与共焦点，且对称轴为坐标轴，分别设其方程为，椭圆、双曲线都经过点M(1，2)解得椭圆与双曲线的方程分别为、 7分（）设为抛物线上任意一点，则又P(3，0)，以AP为直径的圆的半径圆心B为AP中点，B，设直线l：xn，则圆心B到l的距离d=则弦长u 当n时，u为定值，满足题意的直线l存在，其方程为x 14分18（湖北省武汉市六校2010届高三第一次联考数学文） (本小题满分14分) 已知数列an满足a1，an1(nN) ()求a2，a3，a4； ()已知存在实数，使为公差为1的等差高考资源网数列，求的值 ()记bn(nN)，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn18. 【解析】：（I），由数列的递推公式得， （）= 数列为公差是的等差数列.由题意，令，得 ()由()知，所以 此时= =， = 19、（湖北省武汉市六校2010届高三第一次联考数学理）（本小题满分13分）设函数，其中为正整数.（）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；（）证明：；（）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.19.【解析】：（1）在上均为单调递增的函数. 1分 对于函数，设 ，则 ， ， 函数在上单调递增. 3分（2） 原式左边 . 5分 又原式右边. . 6分（3）当时，函数在上单调递增， 的最大值为，最小值为. 当时， 函数的最大、最小值均为1. 当时，函数在上为单调递增. 的最大值为，最小值为. 当时，函数在上单调递减， 的最大值为，最小值为. 9分 下面讨论正整数的情形： 当为奇数时，对任意且 ， 以及 ， ，从而 . 在上为单调递增，则 的最大值为，最小值为. 11分 当为偶数时，一方面有 . 另一方面，由于对任意正整数，有 ， . 函数的最大值为，最小值为. 综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为. 当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. 13分20、（湖北省襄樊、黄冈、荆州、宜昌、孝感、十堰六市联合考试文）21、（湖北省襄樊、黄冈、荆州、宜昌、孝感、十堰六市联合考试理）22.（10届湖北省襄樊市高三3月调研 文） (本大题满分14分)对于三次函数，定义是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”现已知，请解答下列问题：(1)求函数的“拐点”A的坐标；(2)求证的图象关于“拐点”A对称，并写出对于任意三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(不要求证明)；(3)三次函数的“拐点”为B(0，1)，且一次项系数为0，当时，试比较与的大小22【解析】(1)解：，令得：x = 1拐点A(1，2)(2)证：设P(x0，y0)是图象上任意一点，则因P(x0，y0)关于点A(1，2)对称点为故在图象上关于点A对称结论：任何三次函数的拐点，都是它的对称中心；任何三次函数都有拐点；任何三次函数都有对称中心(写出其中之一即可)(3) 证：的“拐点”为B(0，1)，当a 0时，当a 0时， 14分23. （10届湖北省襄樊市高三3月调研 理） (本题满分14分)已知数列满足， (n2)(1)求数列的通项公式；(2)当n2时，求证：；(3)若函数满足：, (nN*)， 求证：23【解析】(1)解：，是以2为公比，为首项的等比数列故2分又由得：是以1为公比，为首项的等比数列故4分得： (n2) 又a1 = 2也适合上式所求通项为6分(2)解：当n为偶数时， 8分当n为奇数时，又n + 1为偶数由(1)知，10分(3)证：，由此得：又12分故14分24（10年孝昌二中理科检测卷）（本小题满分14分）已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设（）求的值；（）不等式在上恒成立，求实数的范围；（）方程有三个不同的实数解，求实数的范围24【解析】:（）(1) 当时，上为增函数 故 当上为减函数故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即.4分（）方程