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数学随笔 中学数学文摘 2006年第1期 在高三的一本数学复习资料中，有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题。下面在该题求解的的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程。 题目 已知为非零向量且, 方程的两实根，求证：。1 解法探讨 错解 因为则 得。 故，原方程只有唯一解，所以。 错因分析 “将原方程两边同点乘”，不是同解变形。 成立，除了外，还有。所以不一定是原方程的解。 正解1 由题意知是方程的根 得 （1） （2） 有。 由，得，于是。 故得。 正解2 假设。 由已知 ，得。 由，得。 因为，所以存在两组实数对，使可用两个不共线的向量（由）表示。这与平面向量的的基本定理矛盾！所以。2 方程（为非零向量）的解的讨论 1）若三个向量共线。 不妨设，原方程变为，即。令，则 时，原方程有两个不等的实根； 时，原方程有两个相等的实根； 时，原方程无实数解。 2）若中有且只有两个共线。 不妨设，则原方程变为。因为不共线，所以原方程无解。 3）若三个向量互不共线。 由平面向量基本定理知：存在唯一确定的有序实数对，使。 因为原方程可化为。 得，有 。即 当时，方程有唯一解； 当时，则方程无解。说明：上述方程中不能用判别式判断根的情况； 不能用求根公式求解； 韦达定理也不适用。3 含向量的方程的解法 例1 解方程，其中。 解 方法1 原方程可化为 ， 得，故， 得原方程的解为。 方法2 设， 则，故，由，得原方程有唯一解。例2 解方程
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