（通信与信息系统专业论文）基于分数阶fourier变换的lfm信号参数估计快速算法研究.pdf

原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研 究所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的科研成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体 均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 学位论文作者 王奄秀日期 协年占月 日 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品 知识产权归属郑州大学 根据郑州大学有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留或向国家有关部 门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权郑州 大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文 本人离校后发表 使用学 位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时 第一署名单位仍然为郑 州大学 保密论文在解密后应遵守此规定 学位论文作者 王岛艿 日期 杠年占月2 日 广泛应用于雷达 通信 地震勘测等系统中的l f m 线性调频信号 是一 种典型的非平稳信号 它的参数估计问题比一般的平稳信号要复杂 利用时频 工具对其进行处理是最为直接和有效的手段 分数阶f o u r i e r 变换是时频变换中 的特例 可以将它理解为线性调频基的分解 并且由于它在处理多分量时不会 产生交叉项 所以在l f m 信号的参数估计中得到了广泛的应用 但是传统的基 于分数阶f o u r i e r 变换的l f m 信号参数估计需要在整个时频平面上进行二维搜 索 运算量大 不利于实时处理 所以寻找快速简捷且性能好的算法具有重要 的意义和实用价值 本文以分数阶f o u r i e r 变换为工具 结合其它优化算法对l f m 信号参数估 计快速算法进行了一些探索和研究 论文具体内容如下 1 首先阐述了分数阶f o u r i e r 变换的基本定义及其性质 然后重点介绍了离散 分数阶f o u r i e r 变换算法中的采样型算法 即o z a k t a s 采样型算法和p e i 采样型算 法 并针对这两种模型 推导出了l f m 信号参数估计理论模型 还介绍了一种 特殊的离散分数阶f o u r i e r 变换 f r f t 单点输出的快速计算方法 s p f r j 叮 并 对其进行了仿真验证 2 分析了利用分数阶f o u r i e r 变换对l f m 信号进行参数估计时 影响估计精度 的各种因素 提出在利用延时相乘法得到l f m 信号的初始调频率的前提下 将 优选法和分数阶f o u r i e r 变换相结合来提高参数估计的精度以及减少搜索的运算 量 通过仿真验证表明该方法的可行性 3 针对多分量l f m 信号参数估计中存在的交叉项的问题 提出将乘性高阶模 糊函数法 p h a f 法 与分数阶f o u r i e r 域的逐次滤波技术相结合 来实现多分 量信号的分离 在此基础上 运用单纯形法在峰值周围的时频平面上进行搜索 以达到提高参数估计精度的目的 理论分析和仿真结果农面该方法可有效地检 测出各个信号分量 具有一定的实用价值 关键词 分数阶f o u r i e r 变换l f m 信号延时相乘法参数估计优选法p h a f 法单纯形法 a b s t r a c c a b s t r a c t t h el f m 1 i n e a rf r e q u e n c ym o d u l a t e ds i g n a l w h i c hi sw i d e l yu s e di nr a d a r c o m m u n i c a t i o n s a n ds e i s m i cs u r v e ys y s t e mi sat y p i c a ln o n s t a t i o n a r ys i g n a l a n di t s p a r a m e t e re s t i m a t i o np r o b l e mi sm o r ec o m p l e xt h a nt h eg e n e r a ls t a t i o n a r ys i g n a l f o r i t sp r o c e s s i n g t h et i m e f r e q u e n c yt o o l si st h em o s td i r e c ta n de f f e c t i v em e a n t h e f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mw h i c hc a l lb eu n d e r s t o o da st h ed e c o m p o s i t i o no ft h e l i n e a rf r e q u e n c ym o d u l a t i o ni sas p e c i a lc a s eo ff r e q u e n c yt r a n s f o r m s a n di tw i l ln o t p r o d u c ec r o s st e r m sw h e nd e a l i n gw i t hm u l t i c o m p o n e n t s o i th a sb e e nw i d e l y a p p l i e di nt h ee s t i m a t i o no ft h ep a r a m e t e r so ft h el f ms i g n a l t h ep a r a m e t e r s e s t i m a t i o no fl f ms i g n a lb a s e do nt h et r a d i t i o n a lf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mn e e d s t w o d i m e n s i o n a ls e a r c h i n gt h r o u g h o u tt h ew h o l et i m e f r e q u e n c yp l a n e i nw h i c ht h e l a r g ea m o u n to fc o m p u t a t i o ni s n o ts u i t a b l ef o rr e a l t i m ep r o c e s s i n g s oi t so fg r e a t s i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u et ol o o kf o rar a p i da n de a s ya l g o r i t h mo ft h eg o o d p e r f o r m a n c e i nt h i s p a p e r w eu s e t h e f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r ma n do t h e r o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m st oe x p l o r ea n dr e s e a r c hl f mp a r a m e t e re s t i m a t i o nf a s ta l g o r i t h m t h e p a p e ri sa sf ol l o w s 1 f i r s t t h eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so ff r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r ma r e e x p o u n d e d a n dt h e nt h es a m p l i n ga l g o r i t h mo ft h ed i s c r e t e f r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r ma l g o r i t h mi se m p h a t i c a l l yi n t r o d u c e d n a m e l yo z a k t a ss a m p l i n ga l g o r i t h m a n dp e is a m p l i n ga l g o r i t h m b a s e do nt h eb o t hm o d e l s t h el f ms i g n a lp a r a m e t e r e s t i m a t i o nt h e o r ym o d e li so b t a i n e d w ea l s oi n t r o d u c eas p e c i a lk i n do fd i s c r e t e f i a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m w h i c hi ss i n g l ep o i n tf a s tc a l c u l a t i o nm e t h o do ff r f r s p f r f r a n dv e r i f yi t sp e r f o r m a n c eb ys i m u l a t i o n 2 t h ef a c t o r sw h i c hi n f l u e n c et h ee s t i m a t i o na c c u r a c yw h e nu s i n gt h ef r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r mt oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r so ft h el f ms i g n a la r ea n a l y z e d u n d e r t h ep r e m i s eo fg e r i n gt h ei n i t i a lt o n ef r e q u e n c yb yd e l a y p h a s em u l t i p l i c a t i o n t h i s p a p e rc o m b i n eo p t i m u ms e e k i n gm e t h o da n dt h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mt o i m p r o v et h ep r e c i s i o no fp a r a m e t e re s t i m a t i o na n dr e d u c et h ea m o u n to fs e a r c h a b s t r a c t o p e r a t i o n t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h ef e a s i b i l i t yo f t h i sm e t h o d 3 f o rt h ec r o s st e r m si np a r a m e t e re s t i m a t i o no fm u l t i c o m p o n e n tl f ms i g n a l s t h ep r o d u c t h i g h o r d e ra m b i g u i t yf u n c t i o nm e t h o d p h a fm e t h o d a n dt h e f r a c t i o n a lf o u r i e rd o m a i n f i l t e r i n gt e c h n o l o g ya r ee m p l o y e d t o s e p a r a t et h e m u l t i c o m p o n e n ts i g n a l s b a s e do nt h i s w eu s et h es i m p l e xm e t h o dt os e a r c ho nt h e t i m e f r e q u e n c yp l a n ea r o u n dp e a kv a l u ei no r d e rt oa c h i e v et h ep u r p o s et oi m p r o v e p a r a m e t e re s t i m a t i o na c c u r a c y t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a t t h i sm e t h o dc a l le f f e c t i v e l yd e t e c tv a r i o u ss i g n a lc o m p o n e n t sa n di s o fac e r t a i n p r a c t i c a lv a l u e k e yw o r d s f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m l f m d e l a y p h a s e m u l t i p l i c a t i o n p a r a m e t e re s t i m a t i o n o p t i m u m s e e k i n gm e t h o d p r o d u c th i g h o r d e ra m b i g u i t y f u n c t i o n s i m p l e xm e t h o d i i i 摘要 i 目录 i v 1 绪论 1 1 1 课题研究的背景及意义 1 1 2 研究的技术现状 2 1 3 本文的主要工作和章节安排 5 2 分数阶f o u r i e r 变换及其在l f m 信号参数估计中的应用 7 2 1 分数阶f o u r i e r 变换 7 2 1 1 分数阶f o u r i e r 变换的定义 7 2 1 2 分数阶f o u r i e r 变换的性质 8 2 2 分数阶f o u r i e r 变换的数值计算 1 0 2 2 1o z a k t a s 采样型算法 1 0 2 2 2c l o s e d f o r m 算法 1 3 2 2 3s p f r f t 算法 1 6 2 3 基于分数阶f o u r i e r 变换的参数估计理论模型 1 9 2 3 1 基于o z a k t a s 采样型d f r f t 的参数估计理论 2 0 2 3 2 基于c l o s e d f o r m 算法的参数估计理论推导 2 l 2 4 仿真与分析 2 2 2 5 本章小结 2 4 3 单分量l f m 信号参数估计快速算法研究 2 6 3 1 传统二维搜索方法中的峰值偏差分析 2 6 3 2 用延迟相乘法实现线性调频信号调频率的粗略估计 2 8 3 3 基于分数阶f o u r i e r 变换和优选法的线性调频信号参数估计 2 9 3 4 运算量分析 3 2 3 4 1 本章算法的运算量 3 2 3 4 2 与其它算法运算量的比较 3 2 3 5 仿真结果分析 3 3 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 多分量l f m 信号的数学模型 3 6 4 2 用p i l a f 实现多分量l f m 信号调频率初始值的估计 3 7 4 2 1p h a f 简介 3 7 4 2 2 基于p h a f 的多分量l f m 信号参数估计模型推导 3 8 4 3 基于单纯形法的时频平面峰值搜索算法 4 0 4 3 1n e l d e r m e a d 单纯形法简介 4 0 4 3 2 基于单纯形法的峰值搜索模型 4 l 4 4 多分量l f m 信号参数估计理论模型 4 3 4 5 本章算法的运算量分析 4 4 4 6 仿真验证 4 5 4 7 本章小结 4 8 5 总结与展望 5 0 5 1 本文的主要工作和贡献 5 0 5 2 进一步的研究展望 5 1 参考文献 5 2 个人简历在学期间发表的学术论文与研究成果 5 5 致谢 5 6 v l 绪论 1 绪论 1 1 课题研究的背景及意义 作为时变信号的代表 l f m 线性调频 信号可以说是无处不在 一方面 由于它是扩频信号 具有大的时间 频带积的特点 所以它在通信 雷达 声纳 地震探测 地质勘探等众多的研究领域的应用非常之广泛 如在雷达系统中 l 儿别 在具有一定距离分辨率的前提下为了加大雷达之间的探测距离 利用l f m 信号 来调制发射脉冲 以获得大的时宽带宽积 在无线通讯模型中l 引 系统之间的识 别是通过l f m 信号和时变滤波来进行的 地质探测中地层的吸收和散射情况也 是通过研究地震信号中的线性调频分量来决定的1 4 除此之外 在研究经常会涉 及到的领域如物理学 医学等 有很多具有l f m 信号特征的信号 通常将它们 类比成线性调频信号来研究 在探测系统中 目标的多普勒频率与其速度近似 成正比 等加速运动的目标信号的回波即为l f m 信号 同时 在空间阵列信号 处理中 当信号源位于近场时 也可将沿线性阵列分布的信号近似为l f m 信号 l f m 信号是一种典型的非平稳信号 它的频率是随时间线性变化的 时频 分布是分析非平稳信号的一种最直接且非常有效的研究工具 经过几十年的发 展 时频分布的理论已经日趋成熟 并且在实际研究中已经有广泛的应用 但 仍然还有彳i 少问题需要解决 作为时频分布最常用的信号模型之一 l f m 信号 的时频特征非常直观并且有规律性 它在时频平面上呈现为直线 任何一个复 杂的频率随时间变化的信号都可以用多个l f m 信号的叠加来近似 我们常将一 种时频分布是否能对l f m 信号提供良好的时频聚集性来作为判断这种时频分析 方法是否有效的依据 由此可见 不论是从实际的信号处理应用领域来考虑 还是从信号处理的理论方法来说 对线性调频信号的研究都有着重要的意义和 价值 5 1 分析和处理平稳信号时 经典的f o u r i e r 变换是一种标准 有力的工具 但 f o u r i e r 变换不适合对非平稳信号 线性调频信号是典型的代表 进行处理和辨 别 这是由于对信号进行f o u r i e r 变换得到的是信号在频域的整体频谱 而不是 信号的局部信息和特点 为了便于处理和分析非平稳信号 学者们不断地改进 和推广经典f o u r i e r 变换的理论研究和分析方法 随之一系列的新的信号理论研 究分析方法应运而生 包括有短时f o u r i e r s t f r 变换1 6 j g a b o r 变换 1 绪论 w i g n e r v i i l e 变换阴 小波变换 分数阶f o u r i e r 变换1 8 j 等等 其中 分数阶f o u r i e r 变换是将信号分解在分数阶傅里叶域的一组正交线性调频基上 它是一维线性 变换 对信号进行分数阶f o u r i e r 变换等同于将信号在时频平面上进行不同角度 下的旋转 因而更适合用来分析和处理线性调频类的非平稳信号 因此本文以 分数阶f o u r i e r 变换为工具来分析和处理l f m 信号 分数阶f o u r i e r 变换在处理线性调频信号时具有良好的时频聚集特性 并且 在处理多分量信号时不存在交叉性干扰的问题 所以利用分数阶f o u r i e r 变换估 计线性调频信号具有很大的优势 缺陷是传统的基于分数阶f o u r i e r 变换的参数 估计的二维搜索算法的计算量大 特别是在估计精度要求较高的场合 不利于 算法的硬件实现 因此需要对以分数阶f o u r i e r 变换为工具的线性调频信号检测 算法进行改进 找到运算量小 精度高的估计方法具有重要意义 1 2 研究的技术现状 作为典型的非平稳信号 l f m 信号的检测与估计一直以来都是信号处理领 域的重点 它在本质上可以归结为非平稳信号的瞬时频率的估计 长期以来 最大似然估计被公认为是估计l f m 信号参数的最直接有效的方法 其在本质上 可归结为一个多变量函数的优化闯题 但在实际应用时存在一个明显的缺点 常常需要进行多维极值搜索 计算量太大 并且当目标函数不是 t 函数时 特 别容易收敛到局部的极值点 使得算法的工程实现比较困难 9 l 1 0 1 近些年来 随 着时频分析方法研究的不断进步 基于各种时频分析工具的线性调频信号的参 数估计技术不断涌现 最直接的一种方法是将非平稳信号在小的时间段内近似为平稳信号 然后 在每个时间段内运用傅里叶变换分析信号的局部功率谱 这种方法就是最早也 是最常用的时频分析方法 短时f o u r i e r 变换 1 1 2 1 它是f o u r i e r 变换的自然推广 也是一种线性时频表示 是分析非平稳信号的一种强有力的工具 但短时f o u r i e r 变换由于受到不确定性定理的制约 不能同时兼顾时间分辨率和频率分辨率 小波变换 1 3 1 是2 0 世纪8 0 年代后期由法国物理学家m o r l e t 提出的一种新 的时频工具 经过2 0 多年的发展 小波分析在理论研究和实现方法上取得了飞 跃性的质的进展 它与短时f o u r i e r 变换相比最大的区别在于小波变换的窗是可 调时频窗 窗的宽度能随频率发生变化 在高频的时候使用短窗口 低频的时 2 定性原 充分 体现了自适应分析的思想 是一种被广泛使用的分析方法 1 9 3 2 年 著名的w i g n e r 分布由量子力学领域的诺贝尔奖获得者e pw i g n e r 提出 随后v i l l e 又在1 9 4 7 年将其引入到信号分析研究领域 慢慢发展形成为了 一种最具有代表性的时频研究技术 用于处理非平稳随机信号时 w i g n e r 分布 又被称作w i g n e r v i l l e 分布 w v d 1 7 w v d 是一种正交分布 能改善时间和 频率分辨率 它的时频聚集度最高 且满足实值性 能量守恒 时频移位等特 性 理想的线性调频信号的w i g n e r 分布为冲激函数 有限长的线性调频信号的 w i g n e r 分布呈背鳍状 所以以w i g n e r 分布为工具来对线性调频信号进行研究十 分有利 但由于w v d 分布中含有二次非线性运算 因此这种方法在检测和估计 多分量信号时不可避免的产生交叉性干扰 不利于信号的检测和参数估计 i5 j i l 们 随着对w i g n e r 分布的研究的不断推进 又出现了r a d o n w i g n e r 变换l l 它是一 种直线积分的投影变换 即对信号进行w i g n e r 变换之后又对信号的w i g n e r 分布 的时频平面做直线积分投影的r a d o n 变换 对信号进行r a d o n w i g n e r 变换可以 有效抑制交叉项的干扰 不足之处在于r a d o n w i g n e r 变换的计算十分耗时 不 利于对信号进行实时性的估计 还有一种分析线性调频类非平稳信号的重要方法 分数阶f o u r i e r 变换 f r f t 分数阶f o u r i e r 变换的数学模型最早是由n a m i a s 于1 9 8 0 年提出的 1 s l n a m i a s 把传统的f o u r i e r 变换的分数幂形式定义为一种新的时频表示工具一分数 阶f o u r i e r 变换 不仅如此 他还阐明并叙述了分数阶f o u r i e r 变换区别于传统 f o u r i e r 变换的几个新的特性 即它的高阶微分形式和它与某些微分方程式之间 的关系 之后从数学积分的角度出发 k e r r 与m c b r i d e 又得出了分数阶f o u r i e r 变换的严格的数学说明 悖1 正是因为有了这个基础 后来一些研究人员又给出 了分数阶f o u r i e r 变换的光学定义 1 9 9 3 年 光学家l o h m a n n 又给分数阶f o u r i e r 变换重新下了定义并阐述了其物理意义 信号的分数阶f o u r i e r 变换是将信号的 坐标轴在时频平面上绕原点进行逆时针的旋转 自此 各个领域的研究学者开 始大量地关注于分数阶f o u r i e r 变换的实际应用与理论研究f 2 0 j f 2 j i 2 2 1 分数阶f o u r i e r 变换实际上是f o u r i e r 变换的广义形式 即在本质上它也是一 种一维的线性变换 并且添加了传统的f o u r i e r 变换所不具有的性质 传统的 f o u r i e r 变换将要表示的信号拆分为一组具有不同系数的正交完备的正弦基 所 3 1 绪论 以正弦信号 典型的平稳信号 的f o u r i e r 变换是一个冲激函数 分数阶f o u r i e r 变换用一组正交的线性调频基的组合来对信号进行分解 类比正弦信号可知 对一个线性调频信号进行适当阶次下的分数阶f o u r i e r 变换后 l f m 信号也会变 成高聚焦性的冲激函数 所以说分数阶f o u r i e r 变换对线性调频信号具有很好的 聚焦性 并且不同的调频信号会在不同的分数阶域上表现为冲激函数 在利用 分数阶f o u r i e r 变换对多分量线性调频信号进行检测时不会出现交叉项 这十分 有利于线性调频信号的检测与参数估计 2 3 1 但在传统的基于分数阶f o u r i e r 变换 的l f m 信号检测与参数估计算法中 需要在时频平面上进行二维搜索找到最优 点 根据最优点进行参数估计 运算量太大 效率不高 因此 基于分数阶f o u r i e r 变换的l f m 信号参数估计理论的改进算法也在不断地被众多学者提出 1 在分数阶域上采用拟牛顿法降低搜索运算量 针对传统的分数阶f o u r i e r 域二维平面搜索算法效率低的情况 文献 2 4 1 提出 采用 步进式粗搜索 加 拟牛顿精搜索 的方法来加以改进 在不影响参数 估计精度的前提下 降低了运算的复杂度 对于多分量信号的检测 提出在分 数阶f o u r i e r 域运用逐次消去思想实现强弱信号的分离 并用一阶扰动分析方法 统计分析和论述了参数估计的误差来源 结果表明 基于分数阶f o u r i e r 变换的 l f m 信号检测和参数估计方法在估计精度方面达到了最优 但为了保证能找到 全局最优解 避免陷入局部最优解 在运用 步进式粗搜索 加 拟牛顿精搜 索 的方法时 步进式搜索中需以小步长进行搜索 影响了算法的效率 且搜 索步长的选择没有统一的标准 只能人为地进行设定 2 r a t 变换与分数阶f o u r i e r 变换相结合 对l f m 信号进行模糊函数变换后 其模值为过原点的直线 而r a d o n 变换 对信号具有沿直线累加积分的作用 将模糊函数变换和r a d o n 变换结合起来就 得到了r a d o n a m b i g u i t y r a t 变换 2 5 1 先对l f m 信号的模糊函数沿模糊平 面的所有过原点的直线求积分 然后找出r a t 谱最大峰对应的旋转角度就可以 求出l f m 信号的调频率 因为信号的口阶分数阶自相关与其r a t 变换是相一致 的 同时 信号的口阶分数阶自相关又可以由信号的分数阶傅里叶变换以及快速 傅里叶反变换实现 所以l f m 信号的调频率就可以利用分数阶自相关构造的检 测统计量来进行估计 求出l f m 信号的调频率后再在相应的分数阶域上对信号 做分数阶f o u r i e r 变换 就可以准确地估计出l f m 信号的初始频纠2 6 1 基于r a t 和分数阶f o u r i e r 变换的l f m 信号的检测和参数估计 将二维扫描降为一维扫 4 1 绪论 描搜索 减少了计算量 但在高精度场合中 需减小扫描搜索的步长 这样又 使得计算量成倍增加 3 对信号作相关的预处理后再利用分数阶f o u r i e r 变换进行参数估训2 7 j 由于l f m 信号的频率是呈线性变化的 所以在任意时间段内 信号的频率 被调制在一个带限的范围内 其最大的频谱成分和最小的频谱成分的差值与时 间的长度呈简单的正比关系 比值就是所要求的调频系数 从而对所取的时间 段信号作f o u r i e r 变换就可得到信号的粗略调频系数 通过此方法找到该调频系 数的估计值后仅需在极小的范围内进行分数阶f o u r i e r 变换就可估计出l f m 信 号的参数 极大地减小了在半个旋转角度平面内遍历做分数阶f o u r i e r 变换所带 来的运算量 同时也在一定程度上避免了时域附近变换的伪峰对估计产生的干 扰 4 将曲线拟合技术与分数阶f o u r i e r 变换相结合 文献 2 8 j 将曲线拟合技术加入到以分数阶f o u r i e r 变换为工具的l f m 信号的 参数估计中 该方法通过在阶次轴上构建分数阶f o u r i e r 变换的模函数检测向量 将复杂的二维搜索问题简化为了一维搜索 首先在阶次轴上进行粗搜来确定拟 合的范围 然后再通过拟合技术来估计出参数的精确值 得到了一些研究思路 和部分成果 但是该方法首先需要在阶次轴上进行粗搜索 这部分的运算量也 很大 还需进一步改进 并且分数阶域固有分辨率对信号参数估计的影响也没 有得到解决 迄今为止 基于分数阶f o u r i e r 变换的l f m 信号参数估计理论已经取得了很 丰硕的成果 但是还需对运算量方面进行进一步地研究 本文从对l f m 信号进 行检测的角度出发 结合分数阶f o u r i e r 变换和一些优化算法对信号的调频率和 中心频率进行估计 提出新的检测方案 为l f m 信号参数估计领域的发展提供 新的思路 1 3 本文的主要工作和章节安排 本文主要对以分数阶f o u r i e r 变换为工具的l f m 信号参数估计理论进行了 研究 分析了参数估计理论中影响估计性能的主要误差来源 并提出改进措施 在时频平面上搜索峰值点时分成粗搜和细搜两部分 并结合优化算法进一步提 高参数估计的性能 具体章节安排如下 5 绍了分数阶离散算法中的o z a k t a s 采样型算法和c l o s e f o r m 算法 推导了基于这 两种离散算法的l f m 信号的参数估计表达式 在这两种算法的基础上 又介绍 了一种特殊的离散算法 f 鼬丌单点输出的快速计算方法 s p f r f t 这种算法 适合于计算分数阶f o u r i e r 变换单点输出的场合 为下面的章节作了铺垫 最后 又通过仿真结果来验证该算法的适用性 第三章详细分析了利用分数阶f o u r i e r 变换对l f m 信号进行处理时会产生 的误差 在此基础上 提出了一种新的单分量l f m 信号参数估计方法 即先通 过延时相乘法求出l f m 信号调频率的初始值 然后再转换到分数阶域 在阶次 轴上运用优选法进行细搜 从而得到精确的调频率 对l f m 信号进行最优阶次 的分数阶f o u r i e r 变换后 再运用优选法在谱峰周围进行细搜 得到精确的中心 频率 最后通过仿真来验证该方法的可行性 并对运算量和估计性能进行了分 析 第四章重点研究了多分量l f m 信号的参数估计快速算法 分析了延时相乘 法不再适用于估计多分量初始调频率的原因 提出将乘性高阶模糊函数法 p h a f 与分数阶域的逐次滤波技术相结合的思想 以便达到抑制交叉项以及 消除强信号分量对弱信号分量的影响 具体对某个分量的参数进行估计时 又 通过单纯形法在观察到的谱峰周围进行细搜来提高估计的精度 从而提高参数 估计的性能 最后对该方法进行仿真验证 说明了该方法的有效性 第五章主要是对论文所做的工作进行总结 并指出其中存在的不足 对以 后进一步的研究的方向提出了看法和建议 6 2 分数阶f o u r i e r 变换及其在l f m 信号参数估计巾的应用 2 分数阶f o u r ie r 变换及其在l f m 信号参数估计中的应用 2 1 分数阶f o u r ie r 变换 在信号处理领域中 传统的f o u r i e r 变换的研究最为成熟 并且它是学者们 广泛使用的数学工具 它可以将相对独立的时域和频域联系在一起 非常适合 处理确定性信号以及平稳的随机信号 而利用f o u r i e r 变换对时变的非平稳信号 进行分析处理时 由于不能获得信号的局部特性而显得无能为力 作为广义的 f o u r i e r 变换 分数阶f o u r i e r 变换可以理解成以时间轴为基准将信号进行的逆时 针的旋转 旋转口角度后 就成了 轴上的信号表示 如图2 1 所示 可知 当 口 i 2 时 轴就变成了传统意义上的w 轴即频率轴 分数阶f o u r i e r 变换同 时包含了信号时间和频率的信息 它不仅包含f o u r i e r 变换的性质和特点 与此 同时还增加了其特有的性质 2 钔 因此在信号处理领域中有着广阔的应用前景 1 旷 t 则缸取两者中的大值a x 此时时问区 间变为卜z 2 z 2 由于归 化后采样间隔等于原始信号的采样间隔l z 因此通过在 l 2 丁 2 和 z 2 t 2 区间以采样间隔l z 作数据补零 从而实 现了信号的量纲归一化 第二种情况 t f 则缸取两者中的小值a x f 时间区间减小为卜z 2 f 2 需要对预处理的数据作截断处理 只留 卜 疋 2 f 2 内的数据 从而对信号实现了归一化 2 2 1 2o z a k t a s 采样型分解算法 为方便起见 根据f r f t 的基本定义将f r e t 的定义形式写成如下形式1 5 以 4 p 胂2c o t e x e j z t 2 c o t a p 邮舢 破 2 2 1 其中 以 vl j 2 c 7 r o t c r 2 2 2 由式 2 2 1 可以明显看出 我们可以将分数阶f o u r i e r 变换具体分解成以下 几个步骤来进行计算 g t x t e 肛 哪口 2 2 3 或 甜 r 川删c 一 2 2 4 9 t e d t 2 2 4 g 二 甜 i 吖h 小 1 2 o 5 1 5 范围时 i c o r o t i s l g t 的最高频率为o 5 1 l c o t a i 缸 缸 这样 以 1 2 x 为采样间隔并利用香农内插公式可将其表示为 e x p 7 1 c o t o r l 2 肌 羔e x p 弦c o t 口 惫阳去 s i n c 2 嘶一去 2 2 6 将式 2 2 6 代入式 2 2 1 并整理后可得 一 炉生2 a x 争 x e 则刀材2 e x p t j 2 意 e x p 御 意 2 m 去 2 2 7 式 2 2 6 中 y c o t t t 卢 c s c 口 其中时域变量已经实现了离散化 对分数 阶傅里叶域变量进行离散化时 以1 2 a x 为采样间隔 在 缸 2 缸 2 内对分数 阶傅里叶域变量采样 即令j m i 2 a x 代入上式可得到 砟 惫 去砉e 则矽 去 2 2 祁乏寿 形 去h 去 2 2 8 n 1 1 1 n 如果直接对式 2 2 8 进行求和运算的话 计算复杂度为o n 运算量很大 将恒等式脚刀 a 埘2 打2 一伽一以 2 代入上式并简化后可得到 咪意 惫州川y p x 悉 2 言e x p 朋罢 2 e x 舭 川 意蹦意 2 2 9 n m n 上式中的求和部分是离散卷积的形式 所以可以用f f t 快速计算该卷积 其总的复杂度为o n l o g n 2 2 2c i o s e d f o r m 算法 c l o s e d f o r m 算法 3 4 i 是从连续分数阶f o u r i e r 变换的定义式出发 直接对输入 输出变量进行采样 并且通过限定输入输出采样间隔来保持变换的酉性和可逆 性 最后将离散分数阶f o u r i e r 变换转换成信号的f o u r i e r 变换形式 以便于应用 f f t 快速算法 从而达到减少计算量的目的 1 c l o s e d f o r m 算法的第一种形式 由前面内容可知 分数阶f o u r i e r 变换的定义如下 1 3 v 艺 朋 e 肌 疗 y 珂 n n t 设 2 3 2 兵中 m 门 三二笋 r e j c o l 一 p 吖m 口w e 口 4 2 2 3 3 为了使式 2 3 3 满足可逆的特性 则变换核c m 疗 虑具有相关的h e r m i t e 特性 即当m n 时 可以写出式 2 3 3 的逆变换为 y 刀 层 所 力 砭 m c 朋 玎 疋 m k y k 高羔 j t k 2 n n 2 一咖卅蛐小 为了使式 2 3 4 中的对朋的累加求和的结果变成一个冲击函数万 一七 则时域和分数阶域的采样间隔a t 和a u 必须满足 a u a t 2 7 s i n a 2 m i 2 3 5 其中h 应为大于2 m l 的整数 其相应的变换核可以写成如下的形式 如力 vg n s i n a 2 m s i n a l j c o s a 甜甜 篇 e 2 3 6 为了对上式进行进一步的简化 令s s g n s i n a l 则上式重写为 m 刀 1 1 i s i n o t i j 2 s m g n s i l n a c o s c t 叩 j 2 缸2 p 1 警 p 2 3 7 根据以上的分析过程 我们可写出c l o s e d f o r m 算法的定义表达式如下 艺 所 1 琴叩5 似 一山2 2 3 8 e p 2 y 刀 m n s i n o t 0 一 7 1 4 3 9 4 0 4 艺 m 拧 y m 当s i n a 0 a 2 d 1 t r d 是正整数 2 4 1 2 c l o s e d f o r m 算法的第二种形式 通常情况下 我们在实验仿真和实际的工程应用中需用离散分数阶f o u r i e r 变换来处理数字信号 并且进行连续变换的谱分析 而在做谱分析的时候 我 们输入的是原始信号的采样 就像我们用d f t 来对平稳信号进行分析一样 我 们依然可以以d f t 为工具来处理和分析非平稳信号 直接对连续f r f r 的变换核 进行固定抽样频率下的离散采样就可得到第一种类型的c l o s e d f o r m 算法 在此 过程中 我们可以对某些步骤进行进一步地简化 因为在某些实际的应用场合 运用简化后的和没有简化的算法定义形式是没有区别的 由此我们便可得出更 加简捷的也更加实用的第二种形式的c l o s e d f o r m 算法 观察第一种类型的c l o s e d f o r m 算法可知 第一种定义中有太多的参数 我 们可以设两个新的变量p 和g 并且令p c o t a a u 2 q c o t a a t 2 故可以把第 一种定义中的变换核写成 厂 广t 甜1 2 n s g n s f i n a n m n 亭 丹们 押 2 芝j i p 2 p 2 m i p 2 2 4 2 其中p 和g 满足p q 2 1 r 2 m i 2 进一步地我们也可以令p q s g n f s i n 口 l 则可以定义第二种形式的c l o s e d f o r m 算法为 r 一 l 2 口n m 咖妊妒彭2 肌1 小 胞 2 4 3 计算离散分数阶f o u r i e r 变换的c l o s e d f o r m 算法的步骤可以总结如下 1 首先对原始信号x f 按采样间隔进行离散采样 然后再与一线性调 频信号的离散采样值相乘 2 其次对调制后的数字信号进行离散的d f t 变换 3 最后对变换后的信号再乘上一个离散的线性调频信号 假定采样点的总数为尸 若在时间轴和变换轴上以零点为中心 正轴方向 和负轴方向上的采样点各占一半 则满足n p 2 其中 为 甜 0 时的总采 样点数 那么在上述的步骤中 步骤1 需要尸点复数相乘 步骤2 需要进 1 5 2 分数阶f o u r i e r 变换及其在l f m 信号参数估计巾的应用 行一次f f t 步骤3 需再进行一次p 点的复数相乘 将这三步的运算量加起来 可得出一次离散分数阶f o u r i e r 变换一共需要2 p 以 1 0 9 p 次乘法操作 厶 我们从以上的分析过程可以很容易地看出 c l o s e d f o r m 算法的第一种定义 形式适合被用来计算连续信号的连续分数阶f o u r i e r 变换 而c l o s e d f o r m 算法的 第二种定义形式相对第一种而言就比较简单 适合将其应用在数字信号的处理 和研究分析中 但是这种算法没有旋转相加的特性 2 2 3s p f r f t 算法 从前面介绍的o z a k t a s 采样型算法和c l o s e d f o r m 算法的定义过程中我们可 以了解到 这两种算法都是先对原始信号进行n 点的均匀离散采样 然后再一 步步地得出信号在整个分数阶域上的有限区间内的n 点均匀的离散采样值 因 而运用这两种算法对信号进行计算得出的是信号的分数阶f o u r i e r 变换在分数阶 域上的全局谱 并且分数阶域上的分辨率是固定的 但是将分数阶f o u r i e r 变换 应用在实际的信号处理中时 我们不仅需要了解信号在分数阶域上的全局谱 甚至在某些场合中需要对分数阶域上某些局部的频谱进行分析和了解 或者说 有时候只需了解分数阶域上的某个或其中几个频谱点 在这些情况下 如果再 对信号进行全局的分数阶f o u r i e r 变换的话就会降低运算的效率 增加不必要的 运算量 文酬3 5 l 针对此问题提出了f r f t 单点计算 s p f r f t 的快速计算方法 这 种算法是在f 魁可分解型算法的基础上经过改进得来的 s p f r f t 算法在应用中 更具灵活性 可以快速地计算分数阶域上的任意采样点的值 利用它计算少量 点输出时不仅可以灵活掌握分辨率 还可以明显地