高考数学解答题专题三：立体几何篇.doc

高考数学解答题专题三 立体几何篇 高考数学解答题专题三立体几何篇CDEAB1.（全国一18）（本小题满分12分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（）证明：；（）设侧面为等边三角形，求二面角的大小 1.（全国一18）解：（1）取中点，连接交于点，又面面，面，即，面，（2）在面内过点做的垂线，垂足为，面，则即为所求二面角，则，ABCDEA1B1C1D12.(全国二20)（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小2.(全国二20)解法一：依题设，（）连结交于点，则由三垂线定理知，3分ABCDEA1B1C1D1FHG在平面内，连结交于点，由于，故，与互余于是与平面内两条相交直线都垂直，所以平面6分（）作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角8分，又，ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小为12分 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，3分（）因为，故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为123（安徽卷19）（本小题满分12分如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，, , ,为的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离。3（安徽卷19）方法一（综合法）（1） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接，所以 与所成角的大小为（）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(2) 设平面OCD的法向量为,则即 取,解得设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, , .所以点B到平面OCD的距离为4（宁夏卷18）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面EFG。4（宁夏卷18）解：（）取的中点，连结，因为是等边三角形，所以当平面平面时，因为平面平面，所以平面，可知由已知可得，在中，（）当以为轴转动时，总有证明：（）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂直平分线上，即（）当不在平面内时，由（）知又因，所以又为相交直线，所以平面，由平面，得综上所述，总有5（陕西卷19）（本小题满分12分）A1AC1B1BDC三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，为中点（）证明：平面平面；（）求二面角的大小5（陕西卷19）解法一：（）平面平面，在中，D为BC中点，BCAD，又BC平面A1AD，又平面平面A1AC1B1BDCFE（第19题，解法一）（）如图，作交于点，连接，由已知得平面是在面内的射影由三垂线定理知，为二面角的平面角过作交于点，则，在中，在中，A1AC1B1BDCzyx（第19题，解法二）即二面角为解法二：（）如图，建立空间直角坐标系，则，D为BC的中点，D点的坐标为（1，1，0），又，平面，又平面，平面平面（）平面，如图，可取为平面的法向量，设平面BC的法向量为，则，如图，可取，则，二面角为6（上海卷16）（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）6（上海卷16）16解：过作，交于，连接平面是直线与平面所成的角 4分由题意，得 ， 8分，10分故直线与平面所成角的大小是 12分7（四川延考卷19）本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片中，沿它的对角线把折起，使点到达平面外点的位置（）证明：平面平面；（）当二面角为时，求的长7（四川延考卷19）解：（）证明：因为，所以因为折叠过程中，所以，又，故平面又平面，所以平面平面（）解法一：如图，由（）知，所以是二面角的平面角由已知得，作，垂足为，由可得，连结，在中，因为平面平面，所以平面，可知在中，解法二：由已知得以为原点，射线，分别为，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，由（）知，所以为二面角的平面角由已知可得，所以所以，即的长为28（江苏卷16）在四面体ABCD 中，CB= CD, ADBD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，求证：（）直线EF 面ACD ；（）面EFC面BCD 8（江苏卷16）【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定解：（） E,F 分别是AB,BD 的中点，EF 是ABD 的中位线，EFAD，EF面ACD ，AD 面ACD ，直线EF面ACD （） ADBD ，EFAD， EFBD.CB=CD, F 是BD的中点，CFBD.又EFCF=F，BD面EFCBD面BCD，面EFC面BCD ABCDEFPQHG9（辽宁卷19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0b1），截面PQEF，截面PQGH（）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（）若，求与平面PQEF所成角的正弦值9（辽宁卷19）本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力满分12分解法一：（）证明：在正方体中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）证明：由（）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值8分（）解：设交于点，连结，ABCDEFPQHGN因为平面，所以为与平面所成的角因为，所以分别为，的中点可知，所以12分解法二：以D为原点，射线DA，DC，DD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）证明：在所建立的坐标系中，可得，因为，所以是平面PQEF的法向量因为，所以是平面PQGH的法向量因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分（）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形在所建立的坐标系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值8分（）解：由（）知是平面的法向量由为中点可知，分别为，的中点所以，因此与平面所成角的正弦值等于12分10（广东卷18）如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。（1）求线段PD的长；（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。10（广东卷18）解：（1）BD是圆的直径BAD=90 又ADPBAD（2）在RtBCD中，CD=BDcos45=RPD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2PDCD 又 PDA=90PD底面ABCDSABC=ABBC sin(60+45)=RR=R2三棱锥P-ABC的体积为11（重庆卷20）（本小题满分12分，（）小问6分，（）小问6分.） 如图（20）图， 为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A，B，AA3，BB2.若二面角的大小为，求： （）点B到平面的距离;（）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）.11（重庆卷20）（20）（本小题12分）解：（1）如答（20）图，过点BCAA且使BC=AA.过点B作BDCB，交CB的延长线于D.由已知AAl，可得DBl，又已知BBl，故l平面BBD，得BDl又因BDCB，从而BD平面,BD之长即为点B到平面的距离.因BCl且BBl，故BBC为二面角-l-的平面角.由题意，BBC=.因此在RtBBD中，BB=2,BBD=-BBC=,BD=BBsinBBD=.（）连接AC、BC.因BCAA，BC=AA,AAl,知AACB为矩形，故ACl.所以BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角.在BBC中，BB=2，BC=3，BBC=，则由余弦定理，BC=.因BD平面，且DCCA，由三策划线定理知ACBC.故在ABC中，BCA=，sinBAC=.因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin12.（江西卷20）（本小题满分12分）如图，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2分别是的中点，H是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知（1）求证：平面；（2）求二面角的大小12.（江西卷20）20解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以，则平面，所以。 又是的中点，所以，则。 因为，所以面，则，因此面。（2）作于，连。因为平面，根据三垂线定理知， 就是二面角的平面角。 作于，则，则是的中点，则。设，由得，解得，在中，则，。所以，故二面角为。解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 所以所以 所以平面 由得，故：平面 (2)由已知设则由与共线得:存在有得同理: 设是平面的一个法向量,则令得又是平面的一个法量 所以二面角的大小为 13.（北京卷16）（本小题共14分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.（）求证：PCAB；（）求二面角B-AP-C的大小.13.（北京卷16）（16）（共14分）解法一：（）取AB中点D，连结PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC.CDAB.PDCDD.AB平面PCD.PC平面PCD，PCAB.（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90，即ACBC，且ACPC=C，ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE=90,BC=2,BE=，sinBEC=二面角B-AP-C的大小为aresin解法二：（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBC=C,PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB.()如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t）,PB=AB2，t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.AC=PC,AB=BP,CEAP,BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E(0,1,1),cosBEC=二面角B-AP-C的大小为arccos14.（福建卷19） （本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离14.（福建卷19）19.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以所以异面直线所成的角的余弦值为：(2)设平面PCD的法向量为，所以 ；令x=1,则y=z=1,所以 又则，点A到平面PCD的距离为：15.（湖北卷18）.（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，平面侧面 （）求证： （）若，直线AC与平面所成的角为，二面角15.（湖北卷18）18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分） ()证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC.又BC平面A1BC所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC,所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1，故ABBC. ()证法1：连接CD,则由()知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1就是二面角A1BCA的颊角，即ACD，ABA1=j. 于是在RtADC中，sin=,在RtADA1中，sinAA1D, sin=sinAA1D,由于与AA1D都是锐角，所以AA1D. 又由RtA1AB知，AA1DjAA1Bj，故j. 证法2：由()知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=c（ca，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),A1(0,c,a)，于是，（0，c,a）,=(0,c,a)设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由可取n（0，a，c），于是n=ac0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.sinq=cosb=,cosj=所以sinq=cosj=sin(),又0q，j，所以q+j=.16（山东卷19）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC,PAD是等边三角形，已知BD2AD=8,AB=2DC=.（）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD;（）求四棱锥P-ABCD的体积.16（山东卷19）（）证明：在ABD中， 由于AD=4,BD=8,AB=， 所以AD2+BD2=AB2. 故 ADBD. 又 平面PAD平面ABCD，平面平面ABCD=AD,平面ABCD，所以 BD平面PAD,又 平面MBD，故 平面MBD平面PAD.（）解：过P作POAD交AD于O，由于 平面PAD平面ABCD，所以 PO平面ABCD.因此 PO为四棱锥P-ABCD的高，又 PAD是边长为4的等边三角形，因此 在底面四边形ABCD中，ABDC,AB=2DC,所以 四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形ABCD的高，所以 四边形ABCD的面积为故 17.（四川卷19）(12分)如图：平面，四边形与都是直角梯形，G、H分别为FA、FD的中点，证明：四边形BCHG是平行四边形C、D、F、E四点是否共面？为什么？设ABBE，证明：平面.17.（四川卷19）19G、H分别为AF、DF的中点GH，又GHBC，所以四边形BCHG为平行四边形C、D、F、E四点共面理由：BEGFEFBG又由知：BGCH EFCH，又D直线FH故C、D、F、E四点共面（法二：证EF、AB、DC三线共点）连EGBEAG四边形ABEG为平行四边形，又ABBE四边形ABEG为菱形，所以BGAE又，所以AD平面ABEFADAE，又BGCH由知：F平面CED，所以CH平面CED故平面法二：AB、AD、AF两两垂直故建立如图所示的空间直角坐标系Axyz设ABa，BCb，BEc，由题意得：又G不在BC上，所以四边形BCHG为平行四边形又D直线FH，故C、D、F、E四点共面，且又CH平面CED，所以平面18.（天津卷19）（本小题满分12分）ABCDP如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小18.（天津卷19）19本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力满分12分（）证明：在中，由题设，可得，于是在矩形中，又，所以平面（）解：由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角在中，由余弦定理得ABCDPHE由（）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的大小为（）解：过点作于，过点作于，连结因为平面，平面，所以又，因而平面，故为在平面内的射影由三垂线定理可知，从而是二面角的平面角由题设可得，于是在中，所以二面角的大小为19. （浙江卷20）（本题14分）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BCF=CEF=90,AD=（）求证：AE平面DCF；（）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60？19. （浙江卷20）(20)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。方法一：（）证明：过点E作EGCF并CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形。又ABCD为矩形，所以ADEG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG。因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE平面DCF。（）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH。 由平面ABCD平面BEFG