2012年浙江省高中数学竞赛预测试题.doc

2012年浙江省高中数学竞赛预测试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的2题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。一、 选择题 （本大题满分50分，每小题5分）1已知集合，则下列正确的是（ ）A B. C. D. 解：因为，所以有正确答案为 A。2当时，则下列大小关系正确的是（ ） A B. C. D. 解：当时，。又因为。所以 。 选 C。3设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为（ ）A； B. ； C. ； D. 解：函数的定义域为 。当时，应有，即；当时，应有，即。 因此，选 B。4已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则ABC一定为( )A直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形解：因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。5已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是（ ）A B. 2 C. D. 4解：由已知条件可知，函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则。因此 选 A。6圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AMMP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）A. B. C. 3 D.解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0), ，P(x,y,0).于是有由于AMMP，所以，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。 因此 选 B。7.若在复平面上三个点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）A. B. C. 1 D . 解：依题意，。的面积为。应选。8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ ）A. 4 B.8 C. 16 D. 32解答：平面区域的四个边界点（1，1），（1，1），（1，1），（1，1）满足，即有由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。9. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ ）A. B C. D. 解答：问题等价于函数与直线在上有两个交点，所以m的取值范围为。正确答案为C。10. 设有算法如下：如果输入A=144, B=39,则输出的结果是（ B ）A. 144 B. 3 C. 0 D. 12解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。2、 填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，满分49分）11. 满足方程所有实数解为。解答 变形得，解得。12. 函数的最小正周期为. 解答 。13. 设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为.14. 直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。则直线的夹角为_。解答：因为平面ABC平面，ADBC，所以AD平面，所以ADPE，又PEPD，PE平面APD，所以PEPD。即夹角为。15设为实数，则_4_。解答：16. 马路上有编号为1，2，3，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_种。（用组合数符号表示）17. 设，。当函数的零点多于1个时，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0或q.解答 因为函数为偶函数，由对称性以及图象知道，在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q。三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18. 设数列，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.解（1）将数列分组：因为1+2+3+62=1953；1+2+3+63=2016，所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为。 - 10分（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+4018）+2010=809428。 - 17分19.已知抛物线和点。过点任作直线，交抛物线于B,C两点。（） 求的重心轨迹方程，并表示成形式；（） 若数列，满足。试证：。解：（）设过的直线方程为。又设，联立方程组，消去，得。从而有，。 5分设的重心坐标为，则消去，即得。 10分（）因为，所以，上式右边等号成立当且仅当。假设，则， 15分上式右边等号成立当且仅当。由此得到（）。从而有 。20. 已知椭圆，以（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若ABC面积的最大值为，求的值。解： 不妨设的方程，则的方程为。由得： 由得： 从而有于是 。令，有 - 10分因为 时等号成立。因此当 - 14分令 - 17分四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21.设正实数及非负实数满足条件求的最小值，并论证之。解：根据，有 5分 10分（） 15分上式取等号当且仅当。 20分22.设，为子集。若，且存在，则称为“好集”。求最大的，使含的 任意33元子集为好集。解：令，。显然对任意，不存在，使得成立。故是非好集。因此。 5分下面证明：包含21的任意一个33元子集一定为好集。设。若1，3，7，42，63中之一为集合的元素，显然为好集。 10分现考虑1，3，7，42，63都不属于集合。构造集合，。 15分由上可见，每个集合中两个元素都是倍数关系。考虑最不利的情