一道美国数学奥林匹克几何题的推广.pdf

1 0 中 等 数 学 一 道美 国数 学奥林 匹克几何题 的推广 李 涛 天津师范大学数学科 学学院 0 7级研究生 3 0 0 3 8 7 李 建 泉 天津师范大学数学教育科学与数学奥林 匹克研究所 3 0 0 3 8 7 中圈分类号 0 1 2 3 1 文献标识码 A 文章编 号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 3 题 1 设 E F分别是凸四边形 A 曰 C D的 边 A D B C上的点 满足 A E E D B F F C I 于 线 F E分别与射线 B A C D交于点 s 明 x S A E S B F T C F和 T D E的外接 圆 有一个公共点 2 o o 6 芋 1 数学奥林匹克 证明如 图 1 设 脚和 T D E的外 接圆交于另一点 P 异于点 图 1 下证 P A E S P B F S分别四点共圆 注意列 P D r四点共圆 则 PDE PT E P E D 1 8 O 一 PT D 因为 P C 四点共 圆 所以 PCF PT F PFC 1 8 0 一 PT C PDE PCF PED PFC 故 P D E P C F P E P F E D F C 注意到 A E B F E D F C 得 PE PF A BF 收稿 日期 2 0 0 9 0 9 0 2 修 回 日期 2 0 0 9 1 2 3 1 又 A E P 1 8 0 一 P肋 1 8 0 一 PFC BFP 则 A P E B P F 所 以 A P E F P E PF JP 曰 由式 得 B P A F P E 结合式 可知 P B A P F E 则 P B A P F E 即 P B S P F S 所 以 P 曰 F s四点共圆 进一步 由式 知 P A B P E F 故 P A S P E S 从而 P A E Js四点共 圆 龠 题 获证 沿着题 1的思 瞎继续思考 若题 1中的 点 E F分别在边 A D B C的延长线上 且满 足 A E E D B F F C 情况又会怎样 题 2 已知在 凸四边形 A B C D中 动点 E F分别在射线 A D B C上 满足 D E C F A D B C 若 C D与 旭 交于点 G 证明 D E G 与 C F G的外接 圆的另一个不 同于点 G的 交点 P是定点 证明如 图 2 设 B A与 C D交 于点 由题 1 知 AM A D 6 C F 的 外 接 圆 有 一 个 公 共 点 图2 2 0 1 0年第 3期 设为 P 因 A B C D M均为定点 所以 A D A M 与A C B M的外接圆交点 P是定点 题 2是在深入挖掘题 1基础上的进一步 推广 使点 E 不再局限在线段 A D B C上 而是在直线 A D B C上 与题 1相 比 题 2中 的 A B与 C D的交点 并未给出 而构造出 此点正是解本题的关键 可见 题 2的难度有 所增加 题 2简化后 即为 2 0 0 7年全国初 中数学 竞赛试题 受题 1 题 2启发 在满足题 1的线段 比 例的情况下 设 B A与 C D交于点 Q A S A E A S B F A T D E T C F A Q A O A Q B C的 外接圆是否共点 题 3 如图 3 在凸四边形 A BC D 中 A D B C E F分别是边 A D B C上 的点 满足 A E E D B F F C 射线 F E分别 与射线 B A C D交于点 S T B A与 C D交 于点 Q 证 明 A S A E S B F T D E T C F Q a D Q B C 的外接圆共点 图 3 证明如图 3 记 S A E S B F A T D E A T C F Q A D Q s c的外 接 圆分 别 为 oD 00 2 o0 3 o0 o0 5 o0 6 设射线 D A 与 交 于 点 记 A B L E F L C D L的外接圆分别为o0 o0 o0 由密克 定理 知 对 凹 四边 形 S A L F 有 Go Go 2 Go 7 Go 交于一点 P l P 对四边形 T E L C 有00 o0 o0 s o0 交 于一点 尸 2 对 四边形 Q A L C 有o0 0 D 6 o0 00 交于一点 P 3 又由题 1 知 P 设为点 P 即o 0 7 与o0 的交点为 L P 故 P 继续思考 若去掉题 1 的线段成比例的 条件 情况又会怎样 题 4 如 图 4 在 四边形 A B C D中 射线 与 C D交于点 Q 射线 D A与 C B交于点 E F分别是 凸四边形 A 曰 C D的边 A D B C上 的任意点 射线 F E分别与射线 B A C D交于 点 S T D E S A E的外接圆交于异于点 E的另一点 S B F T C F的外接 圆交 于异于点 F的另一点 M S B F S A E的 外接圆交 于异于点 S的另一点 P A T D E T C F的外接圆交于异于点 的另一点 P 证明 M P P 四点共圆或四点共线 幽 4 证明考虑四边形 T S A D 由四边形 的密克定理知 r S Q的外接 圆过点 再考虑四边形 T S B C 于是 r S Q的外接圆也过点 M 故 S Q五点共圆 同理 E P F五点共圆 若射线 T M与 F P交于点 取 S M 延长 1 2 中 等 数 学 线上任意一点 则 MM W XT S WM P XFS 故 MM W W M P 1 8 0 所以 P四点共圆 同理 P 四点共圆 故 P P 五点共圆 若 T MffF P 则 MM W WM P M T S S 即 1 8 0 所以 M P三点共线 同理 P P 三点共线 故 P P 四点共线 注 特别地 在题 1 的线段成比例的条 件下 肘 M 尸 P 四点重合为一点 由上述证 明过程再受启发 射线 T M 与 F P的交点 在 P P 四点所在 的圆 上 而点 变动时 P P 也作相应 的变动 结合反演变换 的相关知识 考虑是否存 在一个反演 变换使得 与 M 与 s P 与 E P与 F互为反演 笔者经过进一步研究 得到了下面的结论 题 5 如 图 5 在四边形 A B C D中 射线 与 C D交于点 Q 射线 D A与 C B交于点 E F分别是 凸四边形 A B C D的边 A D B C上 的任意点 射线 F E分别与射线 B A C D交于 点 Is T D E S A E的外接圆交于异于点 E的另一点 S B F T C F的外接 圆交于 异于点 F的另一点 M S B F S A E的外 接圆交 于异 于点 S的另 一 点 P T D E T C F的外接圆交于异于点 的另一点 P 证明 A B C C D A的充分必 要条件是 T M F P S M E P 四线交 于一点 或四线互相 平行 证明如图 5 由题 4知 肼 S Q 五点共 圆 设该 圆为o0 设 T D E S B F的外 接圆分别为 o0 o0 o0 与o0 交 于点 l f I 幽 5 由蒙 日定理知 MT M S L L 要么交于一 点 要么互相平行 若 MT M S L 交 于一 点 设 为 若 MT M S L 互相平行 则点 0 1 0 2 0 3 共线 设 的外接圆为 o0 考虑 o0 oD3 o0 由蒙 日定理知 E P 要么交于一 点 要么互相平行 若 E P P F L L 2 交 于一点 设 为 z 若 P E P F 2 互相平行 则 0 0 0 三点共 线 由 P F P T F P D E F M S S B F P E S P D Q 则 A B C C D A 甘 P M F FM S十 P ES 1 8 0 舒 P E S四点共 圆 设过点 M P E s的圆为oD 若 JP E s四点共圆 且 S M I E P 考虑o0 o0 3 o0 5 由蒙 日 定理知 S M E P 1 T M F P S M t E P 若 M P E S四点共圆 且 S M 与 E P 交于点 考虑o0 o0 o0 由蒙 日定理 知 S M 厶 交 于一点 K 即 K Y Z 故 T M F P S M E P 四线交于一点 2 0 1 0年第 3期 1 3 赛题斯 解 一 道 波 兰 竞 赛 题 的 另 解 张 国 清 张 慧 丰 江西省抚州市一 中 3 4 4 O O 0 南京师范大学数学 与计算机信息科学学 院2 0 0 9级研究生 2 1 0 0 9 7 中圈分类号 01 2 2 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 0 0 3 0 0 1 3一O l 复旦大学黄宣国教授在其编著的 数学 奥林匹克大集 一书中用了大量篇 幅解答了 1 9 9 4年波兰数学奥林匹克 第六题 解后注 记有不满意之感 并期待有上乘的证明出现 笔者通过努力 给出一种证明思路 题 目设 琏 7 4 个两 两不 同的实数 满足 条件 o 和 1 求证 一定能在 中找到四个不同 的实数 a b c d 使得 口 6 c n a b c 3 口 6 d 百 证明不妨设 1 2 否则 调 整下标记号总能达到这一点 令 一 2 z 一 1 x 当 1 i n一 3时 O 一 f 一 f x o 于是 f C x 0 收稿 日期 2 0 0 9 1 1 0 9 而Y 2 f x l 一 I I I 1 一 一 l I x 一 2 厶x i 一 眦 一 I x l I 又 1 0 则 I l l f x I 1 一 2 l 一 l 1 故 l l 肼 令 n 一 1 b 戈 c l d 一 2 则 口 6 c n o b e n 6 d n a b d 此为比题 目单边取等号更强的结论 若 T M F P S M E P 则 0 0 0 3 0 四点共线 且该直线为 S M E P 的中垂线 于是 四边形 M P E S为等腰梯形 因此 M P E S四点共圆 若 F P S M E P 四线交于一点 则 K M KS K P K E 因此 M P E s四点共圆 注 若在满足题 5的四线共点的条件 下 则存在一个反演变换 以