高考数学一轮复习 第二章 函数 2.7 函数与方程课件.ppt

第二章函数 2 7函数与方程 高考数学 浙江专用 考点函数的零点与方程的根1 2017课标全国 理 11 5分 已知函数f x x2 2x a ex 1 e x 1 有唯一零点 则a a b c d 1 五年高考 答案c由函数f x 有零点得x2 2x a ex 1 e x 1 0有解 即 x 1 2 1 a ex 1 e x 1 0有解 令t x 1 则上式可化为t2 1 a et e t 0 即a 令h t 易得h t 为偶函数 又由f x 有唯一零点得函数h t 的图象与直线y a有唯一交点 则此交点的横坐标为0 所以a 故选c 2 2017山东理 10 5分 已知当x 0 1 时 函数y mx 1 2的图象与y m的图象有且只有一个交点 则正实数m的取值范围是 a 0 1 2 b 0 1 3 c 0 2 d 0 3 方法总结已知函数有零点 方程有根或图象有交点 求参数的值或取值范围常用的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式 再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数最值问题加以解决 数形结合法 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象 然后数形结合求解 3 2015安徽 2 5分 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 a y cosxb y sinxc y lnxd y x2 1 答案ay cosx是偶函数 且存在零点 y sinx是奇函数 y lnx既不是奇函数又不是偶函数 y x2 1是偶函数 但不存在零点 故选a 4 2015天津 8 5分 已知函数f x 函数g x b f 2 x 其中b r 若函数y f x g x 恰有4个零点 则b的取值范围是 a b c d 答案d由已知条件可得g x 函数y f x y g x 的图象 如图所示 要使y f x g x 恰有4个零点 只需y f x 与y g x 的图象恰有4个不同的交点 需满足在x2时有两个不同的解 即x2 5x 8 b 0有两个大于2的不同实根 令h x x2 5x 8 b 需即解得 b 2 综上所述 满足条件的b的取值范围是 b 2 故选d 5 2013重庆 6 5分 若a b c 则函数f x x a x b x b x c x c x a 的两个零点分别位于区间 a a b 和 b c 内b a 和 a b 内c b c 和 c 内d a 和 c 内 答案a易知f a a b a c f b b c b a f c c a c b 又a0 f b 0 又该函数是二次函数 且图象开口向上 可知两个零点分别在 a b 和 b c 内 选a 6 2017江苏 14 5分 设f x 是定义在r上且周期为1的函数 在区间 0 1 上 f x 其中集合d 则方程f x lgx 0的解的个数是 答案8 解析由于f x 0 1 则只需考虑1 x 10的情况 在此范围内 x q且x z时 设x p q n p 2且p q互质 若lgx q 则由lgx 0 1 可设lgx m n n m 2且m n互质 因此1 则10n 此时等号左边为整数 等号右边为非整数 矛盾 因此lgx q 因此lgx不可能与每个周期内x d对应的部分相等 只需考虑lgx与每个周期内x d对应的部分的交点 画出函数草图 图中交点除 1 0 外 其他交点的横坐标均为无理数 且x 1处 lgx 1 则在x 1附近仅有一个交点 因此方程解的个数为8 7 2015北京 14 5分 设函数f x 若a 1 则f x 的最小值为 若f x 恰有2个零点 则实数a的取值范围是 答案 1 2 解析 当a 1时 f x 其大致图象如图所示 由图可知f x 的最小值为 1 当a 0时 显然函数f x 无零点 当01 由二次函数的性质可知 当x 1时 f x 有2个零点 则要使f x 恰有2个零点 则需要f x 在 1 上无零点 则2 a 0 即a 2 综上可知 满足条件的a的取值范围是 2 8 2015江苏 13 5分 已知函数f x lnx g x 则方程 f x g x 1实根的个数为 答案4 解析由 f x g x 1可得f x g x 1 即g x f x 1 则原问题等价于函数y g x 与y f x 1或y g x 与y f x 1的图象的交点个数问题 在同一坐标系中作出y g x y f x 1及y f x 1的图象 如图所示 由图可知 函数y g x 的图象与函数y f x 1的图象有2个交点 与函数y f x 1的图象有2个交点 则方程 f x g x 1实根的个数为4 9 2015湖北 12 5分 函数f x 4cos2cos 2sinx ln x 1 的零点个数为 答案2 解析f x 2 1 cosx sinx 2sinx ln x 1 sin2x ln x 1 x 1 函数f x 的零点个数即为函数y sin2x与y ln x 1 x 1 的图象的交点个数 分别作出两个函数的图象 如图 可知有两个交点 则f x 有两个零点 10 2015湖南 15 5分 已知函数f x 若存在实数b 使函数g x f x b有两个零点 则a的取值范围是 答案 0 1 11 2014天津 14 5分 已知函数f x x2 3x x r 若方程f x a x 1 0恰有4个互异的实数根 则实数a的取值范围为 答案 0 1 9 解析记g x a x 1 则g x 的图象过定点 1 0 原方程恰有四个互异的实数根 则f x 与g x 的图象恰有四个不同交点 故a 0 分以下三种情况 i 四个交点的横坐标均小于1 由得x2 3 a x a 0 由 1 3 a 2 4a 0得a9舍去 故01 也相切 解得a 1且a 9 此种情形不存在 iii 两个交点的横坐标小于1 另两个交点的横坐标大于1 由得x2 3 a x a 0 由 2 3 a 2 4a 0得a 9 a9时恰有四个交点 综上 a 0 1 9 解析记g x a x 1 则g x 的图象过定点 1 0 原方程恰有四个互异的实数根 则f x 与g x 的图象恰有四个不同交点 故a 0 分以下三种情况 i 四个交点的横坐标均小于1 由得x2 3 a x a 0 由 1 3 a 2 4a 0得a9舍去 故01 也相切 解得a 1且a 9 此种情形不存在 iii 两个交点的横坐标小于1 另两个交点的横坐标大于1 由得x2 3 a x a 0 由 2 3 a 2 4a 0得a 9 a9时恰有四个交点 综上 a 0 1 9 以下为教师用书 12 2014山东 8 5分 已知函数f x x 2 1 g x kx 若方程f x g x 有两个不相等的实根 则实数k的取值范围是 a b c 1 2 d 2 答案bf x 如图 作出y f x 的图象 其中a 2 1 则koa 要使方程f x g x 有两个不相等的实根 则函数f x 与g x 的图象有两个不同的交点 由图可知 k 1 评析本题考查方程的根与函数图象间的关系 考查学生利用数形结合思想分析问题 解决问题的能力 13 2014江苏 13 5分 已知f x 是定义在r上且周期为3的函数 当x 0 3 时 f x 若函数y f x a在区间 3 4 上有10个零点 互不相同 则实数a的取值范围是 答案 解析当x 0 3 时 f x 由f x 是周期为3的函数 作出f x 在 3 4 上的图象 如图 由题意知方程a f x 在 3 4 上有10个不同的根 由图可知a 评析考查函数零点及周期性等知识 解题关键是正确地作出函数f x 在 3 4 上的图象 考查数形结合思想 有一定的难度 14 2016江苏 19 16分 已知函数f x ax bx a 0 b 0 a 1 b 1 1 设a 2 b 求方程f x 2的根 若对于任意x r 不等式f 2x mf x 6恒成立 求实数m的最大值 2 若01 函数g x f x 2有且只有1个零点 求ab的值 解析 1 因为a 2 b 所以f x 2x 2 x 方程f x 2 即2x 2 x 2 亦即 2x 2 2 2x 1 0 所以 2x 1 2 0 于是2x 1 解得x 0 由条件知f 2x 22x 2 2x 2x 2 x 2 2 f x 2 2 因为f 2x mf x 6对于x r恒成立 且f x 0 所以m 对于x r恒成立 而 f x 2 4 且 4 所以m 4 故实数m的最大值为4 2 因为函数g x f x 2只有1个零点 而g 0 f 0 2 a0 b0 2 0 所以0是函数g x 的唯一零点 因为g x axlna bxlnb 又由01知lna0 所以g x 0有唯一解x0 lo 令h x g x 则h x axlna bxlnb ax lna 2 bx lnb 2 从而对任意x r h x 0 所以g x h x 是 上的单调增函数 于是当x x0 时 g x g x0 0 因而函数g x 在 x0 上是单调减函数 在 x0 上是单调增函数 下证x0 0 若x0 2 0 且函数g x 在以和lo ga2为端点的闭区间上的图象不间断 所以在和loga2之间存在g x 的零点 记为x1 因为00 同理可得 在和logb2之间存在g x 的非0的零点 矛盾 因此 x0 0 于是 1 故lna lnb 0 所以ab 1 评析本题主要考查指数函数 基本不等式 利用导数研究初等函数的单调性及零点问题 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力 1 2017浙江台州质量评估 9 已知函数f x lnx g x 则方程 f x g x 2的实根个数为 a 1b 2c 3d 4 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案d f x g x 2等价于f x g x 2 由函数与方程的关系知 方程 f x g x 2的实根个数等价于函数y f x 和y g x 2的图象的公共点个数与函数y f x 与函数y g x 2的图象的公共点个数之和 在同一坐标系中作出函数y f x y g x 2和y g x 2的图象 如图所示 由图象可知 共有4个公共点 所以方程 f x g x 2有4个实根 故选d 2 2017浙江名校 诸暨中学 交流卷四 10 已知函数f x 满足f x 1 当x 0 1 时 f x x 若函数h x f x ax a在区间 1 1 内有两个零点 则实数a的取值范围是 a b c d 答案d当x 1 0 x 1 0 1 所以f x 1 1 因此f x 作出函数y f x 和过定点 1 0 的直线y a x 1 的图象 如图所示 易得0 a 故选d 3 2017浙江高考模拟训练冲刺卷一 10 已知函数f x 满足f x 3f 当x 1 4 时 f x lnx 若在区间内 函数g x f x mx有三个不同的零点 则实数m的取值范围是 a b c d 答案a当 x0 故要使函数g x f x mx有三个不同的零点 则 m 二 填空题 4 2017浙江名校 衢州二中 交流卷五 11 设函数f x x2 x 1 若方程f f x t恰有三个根 则t 答案 解析令f x m f m t 设f m t的两根分别为m1 m2 m1 m2 则必有m1 f 即t f m1 f 得t 5 2017温州三模 4月 17 已知函数f x x2 ax b a b r 在区间 0 1 上有零点 则ab的最大值为 答案 解析设t为函数f x x2 ax b在区间 0 1 上的零点 所以t2 at b 0 即b t2 at 所以ab at2 a2t 显然a 0 故ab at t a at 1 a a a2 故ab的最大值为 6 2016浙江名校 衢州二中 交流卷五 12 设函数f x 则f f 2 若存在互不相等的实数x1 x2 x3 使得f x1 f x2 f x3 则a的取值范围是 答案3 2 解析由题意知 f f 2 f 0 3 要使得存在互不相等的实数x1 x2 x3满足f x1 f x2 f x3 则需满足解得a 2 7 2015浙江名校 杭州二中 交流卷六 10 已知方程 1 若a 则方程根的个数为 若方程有四个不同的实数根 则实数a的取值范围是 答案2 0 解析当a 时 由 1得x 故此时方程根的个数为2 由 1得x2 a x x 0 即x2 x a 0 x 0 或x2 x a 0 x 0 而a 0时 方程只有两个根 故要使方程有四个不同的实数根 则a 0 且 1 4a 0 解得a的取值范围是 0 8 2017浙江镇海中学一轮阶段测试 22 已知a是不为1的正常数 函数f x 1 当 0时 试判断函数f的奇偶性 并说明理由 2 若函数f x 不存在零点 求实数 的取值范围 三 解答题 解析 1 当 0时 函数f是偶函数 理由如下 当 0时 f x 因此 f 因为定义域 关于原点对称 且f f 所以函数f为偶函数 2 假设f x 存在零点 即方程 0有解 其等价于 在集合 x r x 0 x 1 x a 上有解 设t g t at2 a 1 t 1 at 1 t 1 其中t 0 t 1且t 当1时 g t 的取值范围是 0 即 0 此时 0 当 1 即01时 若函数f x 不存在零点 则实数 的取值范围为 当0 a 1时 若函数f x 不存在零点 则实数 的取值范围为 9 2016浙江名校 杭州二中 交流卷三 18 已知二次函数f x ax2 bx 1 a b r a 0 设f x x的两根为x1 x2 1 如果x1 1 2 如果 x1 2 x1 0 x2 x1 2 求b的取值范围 解析 1 证明 设g x f x x ax2 b 1 x 1 a 0 x10 x0 1 2 由题意知 ax2 b 1 x 1 0的两根为x1 x2 1 b 且x1 x2同号 当x1 0 2 时 x2 x1 2 1 b b 综上可得 b 1 2017浙江名校 杭州二中 定义函数f x x x 0 这里 x 表示不超过x的最大整数 则方程f x log2x 0的根的个数为 a 0b 1c 2d 无数个 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案a作出函数f x 及函数y log2x的图象 如图所示 由图可知 两函数图象没有交点 故方程f x log2x 0无解 故选a 2 2017浙江杭州二模 4月 5 设方程x ln ax a 0 e为自然对数的底数 则 a 当ae时 方程有两个实数根 答案d对选项a 分别作出函数y x y ln ax 的图象 显然有一个公共点 即当a0时 令f x x ln ax f x 1 所以f x 在 0 1 上单调递减 1 上单调递增 所以f x min f 1 1 lna 因此 当00 方程x ln ax 无实数根 排除b 当a e时 f x min 0 故方程x ln ax 有一个实数根 排除c 当a e时 f x min 0 故方程x ln ax 有两个实数根 选项d正确 3 2017浙江镇海中学模拟卷 五 6 已知函数f x 3x x g x log3x x h x sinx x的零点依次为x1 x2 x3 则以下排列正确的是 a x1 x2 x3b x1 x3 x2c x3 x1 x2d x2 x3 x1 答案b易知三个函数都为单调递增函数 所以各自最多仅有一个零点 显然x3 0 f 0 1 f 1 由零点存在性定理知 1 x1 0 同理x2 所以x1 x3 x2 故选b 4 2017浙江镇海中学模拟卷三 9 已知函数x1 x2为函数f x x2 ax b ex c的极值点 其中a b c为实常数 若f x1 x1 x2 则关于x的方程f2 x a 2 f x a b 0的不同实根的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案cf x x2 a 2 x a b ex 所以x1 x2为方程x2 a 2 x a b 0的两个不等实根 则方程f2 x a 2 f x a b 0转化为f x x1或f x x2 作出函数f x x2 ax b ex c的大致图象 如图所示 显然函数y f x 的图象与y x1的图象有2个公共点 函数y f x 的图象与y x2的图象有1个公共点 因此 f2 x a 2 f x a b 0共有3个不同实根 故选c 5 2017浙江名校协作体 17 设函数f x x2 2ax 15 2a x 0 的两个零点分别为x1 x2 且在区间 x1 x2 上恰好有两个正整数 则实数a的取值范围 二 填空题 答案 解析令f x 0 即x2 15 2a x 1 所以 2a 令x 1 t 则t 1 问题转化为 2a在 1 上的两解t1 t2之间恰有两个正整数 作出函数y t 2和y 2a的图象 如图所示 易知 仅需t 3 t 5恰有一个满足条件即可 而当t 3时 y t 5时 y 当2a 即a 时 f x x2 x 15 x2 x 令f x 0 解得x1 x2 4 此时 x1 x2 内只有1个正整数 故 2a 所以 a 因而实数a的取值范围是 6 2017浙江镇海中学模拟卷一 17 已知二次函数f x ax2 bx c有零点 若 a b 2 b c 2 c a 2 ma2恒成立 则实数m的最大值是 答案 解析由题不妨设x1 x2为二次函数f x 的两个零点 则由根与系数的关系 知x1 x2 x1x2 a b 2 b c 2 c a 2 ma2等价于m 设g x1 x2 以x2作为主元展开 知g x1 x2 2 x1 1 2 x1 1 x2 2 x1 1 2 x1 1 x2 1 2 2 故m的最大值是 7 2016浙江镇海中学期初考试 15 已知函数f x x2 x a g x 且函数y g x ax恰有三个不