高考数学二轮复习 专题四 数列、推理与证明 第2讲 数列的求和问题课件 理.ppt

第2讲数列的求和问题 专题四数列 推理与证明 热点分类突破 真题押题精练 热点一分组转化求和有些数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将数列通项拆开或变形 可转化为几个等差 等比数列或常见的数列 即先分别求和 然后再合并 例1 2017 山东省平阴县第一中学模拟 已知数列 an 是等差数列 其前n项和为sn 数列 bn 是公比大于0的等比数列 且b1 2a1 2 a3 b2 1 s3 2b3 7 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 解答 解设数列 an 的公差为d bn 的公比为q 且q 0 由题易知 a1 1 b1 2 an 2n 1 bn 2n 解答 思维升华 解由 1 知 an 2n 1 bn 2n tn c1 c3 c5 cn 1 c2 c4 cn n c2 c4 cn 令hn c2 c4 c6 cn 以上两式相减 得 当n n 3 为奇数时 n 1为偶数 经验证 n 1也适合上式 思维升华在处理一般数列求和时 一定要注意使用转化思想 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列 哪些项构成等比数列 清晰正确地求解 在利用分组求和法求和时 由于数列的各项是正负交替的 所以一般需要对项数n进行讨论 最后再验证是否可以合并为一个公式 证明 得nan 1 2 n 1 an n n 1 由a1 0及递推关系 可知an 0 2 求数列 an 的前n项和sn 解答 an n 2n n sn 2 2 22 3 23 n 1 2n 1 n 2n 1 2 3 n 1 n 设tn 2 2 22 3 23 n 1 2n 1 n 2n 则2tn 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 由 得 tn 2 22 23 2n n 2n 1 tn n 1 2n 1 2 热点二错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 解答 解因为数列 an 为等差数列 又因为a3 5 所以a1 1 所以an 2n 1 所以bn 2bn 1 即数列 bn 是首项为1 公比为 2的等比数列 所以bn 2 n 1 2 设cn an bn 求数列 cn 的前n项的和tn 解因为cn an bn 2n 1 2n 1 所以tn 1 1 3 2 5 22 2n 1 2n 1 2tn 1 2 3 22 5 23 2n 1 2n 两式相减 得 tn 1 1 2 2 2 22 2 2n 1 2n 1 2n 1 2 2 22 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 4 2n 1 2n 3 3 2n 2n 所以tn 3 2n 3 2n 解答 思维升华 思维升华 1 错位相减法适用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 2 所谓 错位 就是要找 同类项 相减 要注意的是相减后得到部分求等比数列的和 此时一定要查清其项数 3 为保证结果正确 可对得到的和取n 1 2进行验证 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 解答 解当n 1时 a1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 n n 检验a1 1 满足an 2n 1 n n 且bn 0 2bn 1 bn 2 设cn anbn 求数列 cn 的前n项和tn 解答 热点三裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后 某些项可以相互抵消从而求和的方法 主要适用于 其中 an 为等差数列 等形式的数列求和 例3 2017届山东省青岛市二模 在公差不为0的等差数列 an 中 a3 a6 且a3为a1与a11的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 解设数列 an 的公差为d 即 a1 2d 2 a1 a1 10d d 0 由 解得a1 2 d 3 数列 an 的通项公式为an 3n 1 a1 d 2 a1 2d a1 5d 解答 思维升华 思维升华裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an bn k bn k 1 k n 的形式 从而在求和时达到某些项相消的目的 在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 an 的通项公式 使之符合裂项相消的条件 解答 思维升华 思维升华常用的裂项公式 1 求数列 an 的通项公式 解答 解答 真题体验 1 2017 全国 等差数列 an 的前n项和为sn a3 3 s4 10 则 答案 解析 1 2 解析设等差数列 an 的公差为d 则 1 2 2 2017 天津 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 1 2 解答 解设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n n 1 2 解答 解设数列 a2nb2n 1 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 得a2nb2n 1 3n 1 4n 故tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 得 3tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 3n 2 4n 1 8 1 2 押题预测 答案 解析 押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容 也是 考试大纲 中明确提出的知识点 年年在考 年年有变 变的是试题的外壳 即在题设的条件上有变革 有创新 但在变中有不变性 即解答问题的常用方法有规律可循 1 2 1 已知数列 an 的通项公式为an 其前n项和为sn 若存在m z 满足对任意的n n 都有sn m恒成立 则m的最小值为 1 押题依据 1 2 2 已知数列 an 的前n项和sn满足sn a sn an 1 a为常数 且a 0 且4a3是a1与2a2的等差中项 1 求 an 的通项公式 解答 押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点 本题先利用an sn的关系求an 也是高考出题的常见形式 1 2 押题依据 解当n 1时 s1 a s1 a1 1 所以a1 a 当n 2时 sn a sn an 1 sn 1 a sn 1 an 1 1 1 2 故 an 是首项a1 a 公比为a的等比数列 所以an a an 1 an 故a2 a2 a3 a3 由4a3是a1与2a2的等差中项 可得8a3 a1 2a2 即8a3 a 2a2 因为a 0 整理得8a2 2a 1 0 即 2a 1 4a 1 0 1 2 解答 1 2