与四边形相关的中考“新定义”题型举例.doc

与四边形相关的中考“新定义”题型举例所谓新定义型试题,是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。新定义型试题是以运算模式、几何模式、函数模式等形式出现, 体现出新定义型试题结构。渗透了一些新的数学知识,并且还具有一定的数学解题思想方法，反映出在新课标理念下命题方向的变化以及命题形式的变化。新定义型试题,有利于考查学生的阅读理解、合理猜想、细心说明、探索归纳、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力，提出问题、分析并解决问题的能力。解决此类问题常见思路：给什么，用什么。即：要求学生用最短时间正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题。中考“新定义”题型近些年试卷中出现非常多，其中以四边形为背景的新定义试题就是其中的一道亮丽的风景线，如“等对角线四边形、准等距点、勾股四边形、等对边四边形、筝形四边形、面积等分线、友好矩形、加倍矩形、损矩形、组合矩形、接近度、半菱形、半等角点、凸四边形的准内点”等等十几类。这对引导学生改变学习几何方式、引导教师改变几何教学方法均具有积极的意义。一、例题举例例1如图(1)，凸四边形ABCD，如果点P满足APD=APB=，且BPC=CPD=，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.（1） 在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且；（2） 在图(4)四边形ABCD中找一个半等角点P，保留作图痕迹（不需写出画法）；（3） 若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点，保留作图痕迹（不需写出画法）；（4） 若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点. 例1图【题型特点】本例以四边形为载体，结合正方形、利用所熟悉的轴对称、全等三角形等知识进行解题。【解题点睛】透彻理解“半等角点”的概念，掌握图形的特征的基础上应用以特殊的“正方形”为载体解决相关的问题；画图操作，探究“半等角点”的构造与轴对称、全等三角形的知识密切的联系；问题（3）证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点，就是需要既要证明点P1、P2在对角线AC上，又要证明点B、D关于对角线AC对称，证明的前提是利用“P1 、P2是两个半等角点”这一条件。例2四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图（l），点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PDPB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点（1）如图（2），画出菱形ABCD的一个准等距点;（2）如图（3），作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法);（3）如图(4)，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDFCBE，CECF求证：点P是四边形ABCD的准等距;（4）试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明) 例2图【题型特点】本例以四边形为载体，又结合菱形、尺规作图等知识。试题设计由浅入深，层次感、区分度强。【解题点睛】解决此题的关键是正确理解“四边形的准等距点”这个新概念，实质上这个“准等距点”必须满足两个条件：一是它必须在这个四边形的对角线上；二是它必须到所在对角线的两端点的距离不相等，且到另一对角线的两个端点的距离相等。二、模拟训练1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， （2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)， A(3,0)，B(0,4)，请你在图中画出以格点为顶点，OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图（2），将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转600，得到DBE，连接AD,DC，DCB=300求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形 第1题图1 第1题图22我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； 第2题图（3）如图，在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论3 我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC。显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OEAC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”。（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)。 第3题图1 第3题图2 4. 若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点。例如，如图的矩形中，点在边上，连，则点为直角点。（1）若矩形一边上的直角点为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；（2）若点分别为矩形边，上的直角点，且，求的长 第4题图 答案1.解：（1）矩形、正方形。D（2）勾股四边形为图1中的OAM1B和OAM2B（3）如图2，连接CE。由题意得：ABCDBE 且EBC=600 AC=DE,BC=BE， EBC是等边三角形BCE=600DCB=300DCE=900DC2+CE2=DE2即DC2+BC2=AC21题答图1 1题答图2 2.解：（1）平行四边形、等腰梯形等。（2）答：与A相等的角是BOD（或COE），四边形DBCE是等对边四边形；（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。证明：如图，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点。因为DCB=EBC=A，BC为公共边， 所以BCFCBG， 所以BF=CG， 因为BDF=ABE+EBC+DCB，BEC=ABE+A， 所以BDF=BEC，可证BDFCEG，所以BD=CE所以四边形DBCE是等对边四边形。3.解：（1）证明：是对角线的中点，是“好线”。（2）这样作：连接，作，交