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葫芦岛市第一高中 2004级高一数学竞赛辅导不等式的证明之柯西不等式一.知识要点:1.柯西不等式:(a12+a22+an2)( b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)22.含参的柯西不等式: (12a12+22a22+n2an2)( +)(a1b1+a2b2+anbn)2利用柯西不等式可以证明数学竞赛中难度较大的分式不等式,只要恰当的选取参数i,问题即可获证.二.例题:1.设ai,biR+,(i=1,2,3,n),且满足a1+a2+an= b1+b2+bn.求证: +(a1+a2+an)（a1+a2+an)2=(+)2()2+()2+()2()2+()2+()2(a1+b1+a2+b2+an+bn)(+)=2(a1+a2+an)()+ +(a1+a2+an)例2.设a1,a2,anR+,且a1+a2+an=1. 求证: +等价于：+ 即：-1+-1+-1 +-n +n=(2n-1)(+)=(2-a1)+ (2-a2)+(2-an)(+)=()2+ ()2+()2()2+ ()2+()2(+)2=2n2 (2n-1)(+)2n2 +n=例3.已知a1,a2,ak,为互不相同的正整数,（1+）(+)(+)(+)(+)2=(+)2求证:对任何正整数n,不等式+成立.例4.设a,b,c为正实数,且满足abc=1,求证:+ + + +=+2(ab+bc+ca)(+)=(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)(+)(+)2=(ab+bc+ca)2+(ab+bc+ca)=例5.设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的正实数,求证:+ + + （a2+b2+c2+d2）2=(1+2+3+4)2 (12+22+32+42)(+)令=即1 2=a(b+c+d),同理22=b(c+d+a), 32=c(d+a+b), 42=d(a+b+c)上式变为：（a2+b2+c2+d2）2(12+22+32+42)（+ + + ）而12+22+32+42=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd3(a2+b2+c2+d2）(均值不等式）（a2+b2+c2+d2）23(a2+b2+c2+d2）（+ + + ）+ + + （a2+b2+c2+d2）（ab+bc+cd+da）=例6.已知a,b,cR+,求证:+ +练习:1.设，求证：2设正数的和为1，求证：3设，且，求证：4设且，求证：5若，且
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