生灭过程理论在沙堆模型中的应用.pdf

生灭过程理论在沙堆模型中的应用 第六图书馆 探讨了一种确定的 保守 非定向的临界高度沙堆模型 与其他模型相区别的是临界高度依不同位置而取不同的值 将沙堆模型 中各类格点之间的转化过程看作是不同格点粒子数的生灭过程 并找出它们之间的对应关系 然后借助生灭方程和生成函数方 法导出了颗粒崩塌这类非平衡相变的序参量即失稳格点粒子数密度的运动方程 通过对方程分析 得到了一纽临界指数 并提出 了进一步深入研究的一些思路 探讨了一种确定的 保守 非定向的临界高度沙堆模型 与其他模型相区别的是临界高度依不 同位置而取不同的值 将沙堆模型中各类格点之间的转化过程看作是不同格点粒子数的生灭过程 并找出它们之间的对应关系 然后借助生灭方程和生成函数方法导出了颗粒崩塌这类非平衡相变的序参量即失稳格点粒子数密度的运动方程 通过对方程分 析 得到了一纽临界指数 并提出了进一步深入研究的一些思路 沙堆模型 生灭过程 自组织临界 临界指数黔南民族师 范学院学报李朝辉 蔡绍洪 1 江苏科技大学数理学院 镇江江苏212003 2 贵州财经学院 贵州贵阳5500042008第六 图书馆 第六图书馆 盟蓥学院学报2 0 0 8 年第3期 生灭过程理论在 沙堆模型 中的应用 李朝辉 蔡绍洪 1 江苏科技 大学 数理学院 镇江 江苏2 1 2 0 0 3 2 贵州财经学院 贵州 贵阳5 5 0 0 0 4 摘要 探讨 了一种确定的 保守 非定 向的临界 高度沙堆模型 与其他模型相 区别的是 临界 高度依 不同位置而取不 同的值 将 沙堆模型 中各类格点之 间的转化过程看作是不 同格 点粒子数的 生灭过程 并找 出它们 之 间的对应关 系 然后 借助生灭方程和生成函数方法导出了颗粒崩塌这类非平衡相变的序参量即失稳格点粒子数密度的运动方程 通过对方 程分析 得到了一纽临界指数 并提 出了进一步深入研究的一些思路 关键 词 沙堆模 型 生灭过程 自组织临界 临界指数 中图分类号 0 3 4 5 文献标识码 A 文章编号 1 6 7 4 2 3 8 9 2 0 0 8 0 3 0 0 0 6 0 5 T h e Ap p l i c a t i o n s o f Bi r t h d e a t h P r o c e s s i n S a n d p i l e mo d e l LI Zh a o h ui CAI S h a o h o n g 1 D e p a o f p h y s i c s J i a n g s u U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y Z h e n j i a n g 2 1 2 0 0 3 C h i n a 2 G u i z h o u C o l l e g e o f F i n a n c e a n d E c o n o m i c s G u i y a n g 5 5 0 0 0 4 C h i n a Ab s t r We i n v e s t i g a t e a d e t e r mi n i s t i c c o n s e r v a t i v e un d i r e c t e d a n d c rit i c a l h e i g h t s a n d p i l e mo d e l wi t h d i s s ipa t i o n o f a r I e n e r g y a t b o u n d a tie s t h a t C a l l s i mu l a t e a v a l a n c h e d y n a mi c s I t wa s d e riv ed f r o m t h e Ba k T a n g Wi e s e ff e l d Mo d e l i n tr o d u c i n g an F a n d o ll q h i g h e r t h r e s h o l d wh i c h i s d i ff e r e n t f r o m o t h e r mo d e l s S it e s o f t h e l a t t i c e a r e d i v i d e d i n t o t h r e e p a r t s t h u s t h e p r o c e s s o f tr a ns f o r ma t i o n i n v a rio u s k i n d s o f s i t e s c 8 r I b e reg a r d e d a s a k i n d o f b i r t h a n d d e a t h p r o c e s s Co mp a r i n g t h e t wo k i n d s o f p r o c e s s e s t h e e q u a t i o n o f o r d e r p a r a me t e r c a n be o b t a i n ed v i a t h e b i r t h d e a t h e q u a t i o n an d t h e g e n e r a t i n g f u n c t i o n a n d a s e t o f c ri t i c a l e x p o n e n t s C a l l b e d e ri v ed i n t h e fol l o w i n g a n aly s i s f o r t h e e qu a t i o n F i n a l l y s o me s u g g e s t i o n s a p u t f o r wa r d t o s o l v e t h e p r o b l e ms e x i s t i n g i n t h e c u r r e n t t h e o r y Ke y wo r d s s a ed pil e mo de l b i rt h d e a t h p r o c e s s s e l f o r g a n i z e d c r i t i c ali t y c ri t i c al e x p o n e n t 1 引言 B a k T a n g a n d Wi e s e n f e l d B T W 发展了一个简单 的模型来描述空间延展动力学系统 该 系统是 一 个含有时空 自由度的系统 他们提 出了理论框架 即所谓 的 自组织临界性 S O C 用来解释无处 不在的 i f 噪声的一般机 制 如分形结构 湍 流等等 但 是 S O C的概 念却 引起 了众多 的的实验 的 数值的 1 2 2 4 和理论的 研究 用来解释现实系统 自组织l 临界性 S O C 基本概念的经典模型就是沙堆模型 然而利用颗粒物质 做的自组织临界性 S O C 模 型的首 次实验 并未 证实沙堆 的动力学行 为和物理 系统 有直接 的相 似 性 I 3 这似乎得出这样的结论 颗粒物质不显示自组织l临 界性 F r e t t e 等人 从研究米堆实验中论 证 了临界行为与非l 临界行为间的转换 发现对于细长的谷物其动力学行为显示存在 S O C 但是对于长宽 比较小的谷物却不行 他们的结论是 S O C并不是普遍存在的 并且认为起重要作用的是能量耗散机制 项目来源 贵州省科学技术基金 2 0 0 7 2 0 0 4 收稿 日期 2 0 0 8 0 3 2 8 作者简介 1 李朝辉 1 9 7 9一 男 江苏科技大学 数理学院助教 研究方向 非平衡统计物理 2 蔡绍洪 1 9 5 8一 男 贵州财经学院教授 博导 研 究方 向 复杂系统 自组织理论 介观量子涨落 6 维普资讯 第六图书馆 第六图书馆 黔南民族师范学院学报 2 0 0 8 年箜 三 塑 非保守的S O C模型是由 O l a m i F e d e r a n d C h i s t e n s e n O F C 提出的 他们 的模型指 出了在不同 尺度耗散的标度指数的稳固性 但另一方面 标度指数却并不是普适 的 而是依赖于弹性参数 在很长 一 段时间内 人们用非普适的标度指数去描述满足幂次定律的雪崩动力学系统 弱 然而 更大尺度下 的数值模拟却证明在相当宽泛的模型参数下 标度指数的普适性是存在的 并且与描述地震的G R模型 的指数相吻合 本文安排如下 在第二部分 定义了沙堆模型 在第三部分通过对比不同格点粒子的转化和粒子生 灭过程 的特点 利用生灭方程和生成函数方法进行分析 得到一组平均场指数 在最后一节 我们对结 果进行了总结 并给出了进一步研究的一些建议 2 模型 在此我们引人一个沙堆的元胞 自动机模型 考虑一个 d维格子 定义整数变量 代表格点 i 的粒子 数 同时存在一个缓慢驱动的外场 向系统中加人粒子 将格子中的格点分为三种类型 n 失稳格点 与其他沙堆模型不 同的是 这里并不取为 固定值 而是对不 同格点取不 同的值 这主要是考虑到各 个格点周围的环境不同可能会对该格点的稳定造成影响 由于外场的影响和系统 中粒子的转移 稳定格 点和不稳定格点可以相互转化 当一个稳定格点得到粒子而变成一个失稳格点时 这个稳定格点将会有 粒子流向随机选择的最近邻格点 若该格点处于边界 粒子会流出系统 假定初始条件下整个格子 中这 两种格点的粒子数分别为 和 同时控制外场保证粒子数 守恒 即从边界处流失的粒子和外场加 人的粒子数相等 3 生灭过程方法求解 临界指数 由以上分析 系统的演化过程就等价于三种不 同格点处 的粒子 的生灭过程 将其用下面的简单公 式来描述 v h s c 口 1 0 1 其 中s c 口 分别代表稳定格点 I临界格点和失稳格点 其相应的转移概率分别为 v h 0 h 1 其中0 表示I l占 界格点不会转化为稳定格点 1 表示只要该格点成为失稳格点 则它必然会向一个被随机选择的最近邻 格点转移粒子 于是该格点就转化为I l缶 界格点 故失稳格点转化为I 临界格点的概率为 1 表示稳定格点 得到粒子后只有 占其份额为 的部分会转化为I 临界格点 而一个稳定格点是以概率h 从外场得到一个粒 子 所以稳定格点转化为I l缶 界格点的概率为 其 中概率 h受外场控制 即控制外场使平均每个格点得 到一个粒子的概率等于 h 同理 I 临界格点转化 为失稳格点的概率为 h 由于粒子数守恒 在定态 可以得 到一个关于 h的等式 J h L J 印 L 2 其中 和 分别代表流人系统和流出系统 的粒子数 为系统的尺度 是指每个格点耗散的平均粒 子数 这个关系式在下面的分析 中将用到 则这个生灭过程中的粒子数涨落的生灭方程为 h N 1 P l l c N 1 P N l l f 1 P N c 一1 N 1 f 一 u h N h N N P N N c N f 3 利用类似的办法 可以得出生成函数方程 C f C f 一 v tt x 一 1 维普资讯 第六图书馆 第六图书馆 黔直 族师范学院学报 2 0 0 8年第3期 一 一戈 4 用 比较系数法可以得到 a t 一v h a t v h a 一h a 5 a t h a 一a 用 a i i s c a 表示每种格点 的平均粒子数的涨落 因此 将上式改写为 一 v h v h一h 6 h一 若定义稳定格点 临界格点和失稳格点的粒子数密度分别为 P 半 一P半一P 字 s 一 c n 一 则有 P 一 h p P h p 一h p P 8 P h p 一P 定性地来分析上式 稳定格点的粒子数密度是呈指数衰减的 这也是系统演化的必然要求 临界格点和 失稳格点的粒子数密度方程中都出现了耦合项 相比较要复杂一些 稳定或临界位置仅仅因为外部场或 一 个活泼的最近邻 n i l 位置的存在就能够改变它们的位置 只有失稳态才能产生非平凡解 因为只有失稳态才能产生非平凡解 所以下面重点考察失稳格点密度的演化方程 上面我们在定义 格点间相互转化规则时 只考虑了外场对失稳格点粒子数 的增长产生作用 而实际上另外还有一单一作 用项 那就是一个失稳格点会因最近邻位置粒子的释放而产生于一个临界格点 参考文献 z 9 我们可 以把该作用项定义为 g J D 其中g是一实际 比率 它取决于几何形状 和释放过程 中的粒子数 是 每个位置耗散的平均粒子数 考虑 以上这些因素 就可以写 出完整的P 演化方程为 P 一 P g一 JD 9 可导出该方程处于稳定态 p 0 的解为 P h p g e p o 1 0 若用 P 替换 P 并考虑到总粒子数守恒 可以得到下面的函数组 P h p g p P P 7 g JD P 1 1 P 1 一P 一P 由以上几个函数式 就可 以得到P 的一个闭合方程 g p 1 1 h g P 一v h 0 1 2 把 P h 对 h的小量进行展开 展开的初始项为零 则第一个线性项为 1 3 考虑到粒子数守恒 即输人的平均粒子数 和耗散的平均粒子数 必须达到平衡 而在定态 粒子数 守恒可以写成 2 式 所以 3 式的结果应该与粒子数守恒一致 比较 1 3 式和 2 式 可得 1 g一1 1 4 在 一0的极限下 有 8 维普资讯 第六图书馆 第六图书馆 黔南 民族师范学 院学 报 2 0 0 8年第 3期 p p 专 p 1 5 由文献 2 9 用随机近似方法可得到g的估计值 如对于B T W模型 可得到g 2 d 对于两层模型 可得 g 2 现在来讨论本模型系统的临界特性 正如文献 1 3 指 出的那样 守恒律和耗散之间的平衡是本模 型临界特性的关键 类似于森林火灾模型 本模型只有在 h 占 一0 一0双重极 限下才能达到临界 从 非平衡相变的观点来分析 则本模型中的序参量即为活泼位置的粒子数密度 而且这个序参量在临界点 时趋 于零 所 以现在就可以把这些参数转化为一个 函数 h 来区分几种不 同的体系 当h 占时 系统没有 稳定态 这是因为P 必须要大于方程 2 中的任一项 当时 h 0 本模型是超 临界的 占 当时 一0 本模型是亚临界的 动力学表现为崩塌 而且 占 一0 当系统处于超临界状态时 序参量就 h而言是线性的 P h 6 l 1 6 而在亚临界状态 系统行为受耗散控制 序参量随的变化率会发生临界发散 由 1 6 式 其行为可标度为 墼 占 一 一1 1 7 占 J 上式在占 0 处发散 所以对任意一个不为零的占 值 系统都处于亚临界状态 这里的占 就对应了平均场 理论 中的约化温度 t 因此可以用标度律 占 和 占 来表征临界行为 其 中 是特征长度 在这里 表现为崩塌的最大尺度 即第一章中所讲的崩塌半径 上述的分析是针对边界和整体两种耗散 的 所以完全可以用一些指数来表征守恒的沙堆模型 在守 恒沙堆模型系统中 当尺寸增加时 有效耗散取决 于系统尺度 因此有理 由设定 占 为了保证能够 得到崩塌能量 在 同一时间 崩塌的特征长度必须趋于与 一样 即 即它们 的标度关 系为 1 把上面所有的这些分析结果组合在一起 就可以得到一组平均场 MF 指数 1 2 1 2 1 8 这些值与文献 2 9 得到的结果是一致 的 4 结论 我们探讨 了一种确定的 保守 非定向的临界高度沙堆模型 为了不失一般性 我们将临界高度不 同位置而取不 同的值 注意到沙堆模型中各类格点之间的转化过程本质上可以看作是不同格点粒子数 的生灭过程 借助生灭方程和生成 函数方法导出了沙堆模型的序参量即失稳格点粒子数密度的运动方 程 通过对方程分析 得到了一组临界指数 当然 对于临界指数的普适性本文并没有讨论 鉴于沙堆模 型的特点 若将 以上 的生灭 过 程看作 是 非 平衡 相 变 过程 通 过 N P C规格 化 和 粗粒 化过 程 进行 简 化 可以建立对一般颗粒系统都成立的随机广义势 由随机广义势函数可 以讨论系统相变点附近 的各种性质 对于各类指数之间的标度关 系也可以给出清楚的表达式 这对于解决不 同模型的普适类问 题有所启发 参 考文献 1 P B a k C T a n g a n d K Wi e s e n f e l d J P h y s R e v L e t t 5 9 3 8 1 1 9 8 7 2 P B a k C T a n g a n d K Wi e s e n f e l d J P h y s R e v A 3 8 3 6 4 1 9 8 8 3 H M J a e g e r C 一H L i u a n d S R N a g e l J P h y s R e v L e t t 6 2 4 0 1 9 8 9 4 G A H e l d D H S o l i n a I I D T K e a n e W J H a a g P M H o r n a n d G G r i n s t e i n J P h y s R e v L e t t 6 5 1 1 2 0 1 9 9 0 5 S R N a g e l I n s t a b i l i t i e s i n a s a n d p i l e f J R e v Mo d P h y s 64 3 2 1 1 9 9 2 6 V F r e t t e K C h r i s t e n s e n A Ma h h e S o r e n s s e n J F e d e r T J o s s a n g a n d P M e a k i n J N a t u r e L o n d o n 3 7 9 9 维普资讯 第六图书馆 第六图书馆 黔南 民族师范学院学报 2 0 0 8年第 3期 4 9 1 9 9 6 7 K C h r i s t e n s e n A C o r r a l V F r e t t e J F e d e r a n d T J o s s a n g J P h y s R e v L e t t 7 7 1 0 7 1 9 9 6 8 E A h s h u l e r O R a m o s C M a n n e z L E F l o r e s a n d C N o d a J P h y s R e v L e t t 8 6 5 4 9 0 2 0 0 1 9 K L B a b c o c k a n d R M We s t e r v e l t J P h y s R e v L e t t 6 4 2 1 6 8 1 9 9 0 f 1 0 H J S F e d e r and J F e d e r J P l a y s R e v L e t t 6 6 2 6 6 9 1 9 9 1 1 1 S F i e l d J Wi t t F N o r i a n d X L i n g J P h y s R e v L e t t 7 4 1 2 0 6 1 9 9 5 1 2 L P K a d a n o ff S R N a g e l L Wu a n d S 一M Z h o u J P h y s R e v A 3 9 6 5 2 4 1 9 8 9 1 3 s S Ma n n a J J P h y s A 2 4 L 3 6 3 1 9 9 1 1 4 s S Ma n n a J P h y s i c a A 1 7 9 2 4 9 1 9 9 1 1 5 Z O l a mi H J S F e d e r a n d K C h r i s t e n s e n J P h y s R e v L e t t 6 8 1 2 4 4 1 9 9 2 1 6 I M J a n o s i and J K e n e S Z J P h y s i c a A 2 0 0 1 7 9 1 9 9 3 1 7 K E B a s s l e r a n d M P a c z u s k i J P h y s R e v L e t t 8 1 3 7 6 1 1 9 9 8 1 8 E M i l s h t e i n O B i h a m a n d S S o l o m o n J P h y s R e v E 5 8 3 0 3 1 9 9 8 1 9 D A He a d a n d G J R o d g e r s J e p ri n t c o n d m a t 9 8 0 5 1 8 6 v 2 2 0 A C h e s s a H E S t a n l e y A V e s p i g n a n i a n d S Z a p p e r i J P h y s R e v E 5 9 R 1 2 1 9 9 9 2 1 D V K t i t a r e v S L u b e c k P G r a s s b e r g e r a n d V B P r i e z z h e v J P h y s R e v E 6 1 8 1 2 0 0 0 2 2 s L u bec k J P h y s R e v E 6 1 2 0 4 2