“陈氏框”解题.doc

盈亏问题（二）比较到哪里 较复杂的盈亏问题往往会出现两次分配的份数不同，因此，到底是求哪次的份数呢？这就在于我们自己的选择了，而选择的不同，题目的总差也就会有所不同。 例3 四（1）班中队的学生参加夏令营，如果5个人住一个帐篷，就有2个人没有住处；如果8个人住一个帐篷，就可以少搭2个帐篷。四（1）班中队有多少学生参加夏令营？ （1）摆条件，作图：我们把一个框代表一个帐篷，框里的数字表示帐篷内住的人数，因为两次安排的帐篷数量不同，所以在后面多画几个框，以便于比较。 （2）第一种比较：如上图，我们把第二次安排的帐篷数为份数，如果第一次也住同样多的帐篷，人数就会多出522=12（人），这就是总差。 第二次住的帐篷个数：（522）（8-5）= 4（个） 学生人数： 84 = 32（人） 按照第二次分配情况计算 （3）第二种比较：如下图，我们把第一次安排的帐篷数为份数，如果第二次也住满这同样的帐篷，总人数就少了82 = 16（人），总差就是 216 = 18（人）盈亏 第一次住的帐篷个数：（822）（8-5）= 6（个） 学生人数： 562 = 32（人） 按照第一次分配情况计算（三）转换条件 在比较复杂的盈亏问题中，分配后的结果（盈与亏）不是直接告诉我们，如例题3中第一种比较，前一次分配结果实际是盈522=12（人），而第二种比较，后一次分配结果是亏82 = 16（人）。这种隐藏的盈亏结果需要我们对条件进行整理转换才得到，对已知条件进行转换是解答复杂应用题的一条途径。 例4 动物园为猴山的猴子买来，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴有多少只？共买来多少个桃？ （1）作图： （2）看图分析，在本题中单差不一样，怎么办？我们可以转换条件，假释第二次分配前10只猴也分到8个桃，这样单差就一样了。不过，这样分的话，桃就少了（84）10 = 40（个）。转换图如下： 猴的只数：（84）10 = 40（个） （4032）（85）= 18（只） 桃的个数：51832 =122（个） 按照第一次分配情况计算 答：猴山共有18只猴，共买来122个桃。 例5 阿姨给小朋友们分苹果，如果其中有3个小朋友分得4个，其他人每人分2个，还多4个；如果其中有2个小朋友每人分得6个，其他人每人分4个，则少12个苹果。一共有多少个小朋友？有多少个苹果？ （1）提示：条件与转换图如下流程图（1）：直线型思维 多步应用题条件之间环环相扣，从基本条件到最终问题之间有好几个中间量，其解答过程就像现代化工业生产流水线。步骤多了，学生很容易思维混乱，理不出头绪，而逆推题更是让学生头痛不已。我的流程图构思与生产流水线何其相似 例1某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6。则这个数是 。 常见的解题方法是： （1）逐步倒推，除的变乘，乘的变除，减的变加，加的变减。 列式：（666）66（2）列方程：(x6)6 6 6 = 6以上的两种方法的弊端是：前者解释难得大，学生难以学透；后者是多步方程，解答难度大。而且列式都涉及到括号，学生往往忘记或括号位置打错。 “陈氏框”流程图如下： 说明：、表示根据题意每步运算的结果，我们可以按照这个流程图，逐步倒推，最后得到结果。 解： 由 “6 = 6” 得 = 66 = 36 由 “6 = 36” 得 = 36 + 6 = 42 由 “6 = 42” 得 = 426 = 7 原数：由“6 = 7” 得 = 76 = 1 把图中框格填好了，结果也就出来了，条理与思路很清晰。 例2 某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还少10元。这时还剩125元。他原有存款多少元？ 分析：（1）第一次取去一半还多5元，则余下数为原有数的一半少5元；（2）第二次取去余下的一半还少10元，则最后剩余的为上次剩余的一半多10元。根据条件与分析画“陈氏框”流程图如下： 图中红色字为题中条件，兰色字为推导出的新条件。 “余”表示第一次取款后的剩余款数，“余”表示第二次取款后的剩余数，即最后剩余125元。 逐步逆推分析：“余”125元是“余”的一半多10元，则12510 正好是“余”的一半，那么“余”应该是：（12510）2 = 230（元）；同理，“余”230元是原有的一半少5元，则230 +5 正好是“原有”的一半，那么“原有”应该是：（230 +5）2 = 470（元）。完成填图如下： 解：余：（12510）2 = 230（元）； 原有：（230 +5）2 = 470（元） 小结：上面的流程图把题目条件用一条线串联起来，而我们的小学生思维方式最接近的就是这样的直线型思维，所以很愿意也很容易接受。直线型思维是逻辑思维的基础，当我们把若干条思维线索交叉整合，就构成了立体型思维了，立体型思维是逻辑思维的最高形式。 流程图（2）：立体型思维 例3 甲、乙、丙三人各有连环画若干本。如果甲给乙5本，乙给丙10本，丙给甲15本。那么，三人现有的连环画都是25本。他们原来各有多少本？ 分析：因为有三个人，他们的本数都变化了，所以给甲、乙、丙三人各画一条流程图，他们之间操作了三次，就把三次情况表示出来，“”表示数量增加，“”表示数量减少，“” 表示数量不变。如下图： 填图如下：各流程图从后往前逆推即可求出数据。 解：甲 3515 = 20（本） 205 = 25（本） 乙 3510 = 45（本） 455 = 40（本） 丙 3515 = 50（本） 5010 = 40（本） 答：原有25本，乙原有40本，丙原有40本。 例4 A、B、C三个油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分倒入B、C桶，使B、C桶的油增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入A、C桶，使A、C两桶的油增加到第二次倒油之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B桶，使A、B两桶的油分别增加到第三次倒油之前桶内油的2倍。这样，各桶的油都为16千克。问：A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？（第四届小数报数学竞赛题） 分析：本题可用“列表倒推法”，结合题意画表，然后分析题意，各步逆推计算出数据，填好表格。（如下表） 我们再来看看“陈氏框”，通过对比，可以看出“陈氏框”图示把各次操作的情况表现出来了，思路更清楚更明了。（如下图） 看图可以得出：A、B的“余”都是162 = 8（千克），说明A桶和B桶在第三次操作时都增加了168 = 8（千克），那么，C桶在第三次操作中倒出了8 + 8 = 16（千克）的油（因为第三次操作中A、B两桶增加的油是从C桶倒出了），所以，丙的“余”是1616 = 32（千克）。 其他各步思路一样，综合逆推既可完成填图，得到问题的答案。 答：甲桶原有油26千克，乙桶原有油14千克，丙桶原有油8千克。 总结：“陈氏框”就是方框，但她不是简单几个方框，她是具有生命的方框，她把题目中复杂的数量关系直观化表达出来了，从而让我们和学生们通过观察图示得到思路让我们的思路看得见，是我创建“陈氏框”最初的也是最根本的目的。 其实，“陈氏框”的绘制过程也是我们对题目条件的整理与再加工的过程，作图的方法并不难，读了一个条件就画出相应的框，读完了题目，图也就作出来了。当我们能够清晰地把握非常复杂的数量关系，像“庖丁解牛”一样把条件与条件、条件与问题之间的联系明白地展现出来了，解题的思路也就形成了。“陈氏框”解题法（2） 在流程图中，我们注重的是条件之间纵向联系，在更多的时候，我们应该注意对相关条件进行横向比较，从中找到解题方案。比较与分析，是“陈氏框”解题的最常用的思维方式。（1）比较与转换 有些应用题中有两个或更多的未知量，如果列方程解答当然可以，只是列复杂方程本身就是小学生的知识难点，而解答复杂方程更超出了他们的知识基础。 例1体育老师去文具店买来了4个足球和5个篮球，我去问他足球和篮球的单价时，他说：我只记得1个篮球比1个足球多8元，这9个球一共328元，而这两种球的单价我都忘记了。聪明的同学，你能求出这两种球的单价吗？ (一)作图，题目中有两个量：足球和篮球。我们把它们都用方框表示出来，一个框代表一个球，球的单价就写在框里面，不知道的就暂时空着。（如下图） (二)比较与分析：足球与篮球单价都不知道，它们相差8元（1个篮球比1个足球多8元）。一口不能吃下俩馒头，我们可以转换条件，假释买的全是篮球或者全是足球，先求出其中一个量来。（三）解法一：把足球转换成篮球（说明：每个足球换成篮球要“+ 8”元，4个足球都换成篮球就要“+ 84”元，即总价需要“328 84 ”元） 篮球单价：（328 84 ） （4 5）= 40（元） 足球单价：40 8 = 32（元） 解法二：把篮球转换成足球（说明：每个篮球换成足球要退回8元，5个篮球都换成足球就要退回85元，也就是说总价只需要“328 85”元） 足球单价：（328 85） （4 5）= 32（元） 篮球单价：32 8 = 40（元） 答：每个篮球40元，每个足球32元。 （四）小结：“陈氏框” 解题的基本步骤如下 读题，摆条件，作图。 比较分析 确定解题思路（策略：转换或假释等） 解答 （二）计划与实际应用题 计划与实际应用题由于数量较多，条件比较杂乱，往往使学生模糊不清，如把计划的单一量与实际的单一量混淆，或把计划的时间与实际的时间混淆。我们如果把题目中的条件画成“陈氏框”，所有条件与数量关系都一目了然了。 例2 一堆煤原计划烧25天，实际每天烧煤8.5吨，比计划多烧5天，原计划每天烧多少吨？实际每天比计划节约多少吨？ 说明：本题是典型的计划实际应用题，而我们的学生最常见的错误解答是 （1）原计划每天烧煤：8. 5 25（255）7.08（吨） （2）实际每天比计划节约：8.5 7.08 = 1.42（吨） 错在哪里呢？混淆了数量关系！我们利用“陈氏框”来展示条件，就可以避免这样的错误。 摆条件，作图：把计划情况与实际情况分两行作框，每个框代表一天的烧煤量，因为计划和实际都是烧同样的一堆煤，所以总量“一样多”。（如图） 比较分析：看图，把可以一眼看得出的新条件补充上去（图中实际天数“30天”为推导出的新条件），条件越多，越有利于得到思路。 确定解题思路：先根据实际情况求出这堆煤总量，再求出计划每天烧煤量，最后求实际每天比计划节约用煤量。 解答： （1）煤总量： 8. 5 （255）= 255（吨）（2）计划每天烧煤：25525 = 10.2（吨） （3）实际每天比计划节约：10.2 8.5 = 1.7（吨） 答：略。 例3 一个木器厂要生产一批桌子，原计划每天生产48张，实际每天比原计划多生产2张，结果提前一天完成生产任务。原计划要生产多少张桌子？ 摆条件，作图：把计划情况与实际情况分两行作框，一个框代表每天生产的数量，实际每天比计划每天多生产的2张用“+2”表示，写在上下两个框之间；框的数量可以多画几个，因为天数不明，所以框之间用“”号表示若干天；实际比计划提前一天。就在实际情况里少画一个框表示少用了1 天。（如图，图中50是推导出的新条件） 比较分析：看图，你发现计划和实际两种情况有什么相同的和不同的地方吗？既然工作总量一样多（完成生产任务），那么计划中最后一天的工作在实际中是怎样完成的？ 确定解题思路：由上面的问题及其看图，我们可以知道，计划最后一天的48张工作量在实际中被分散到实际每天“多生产”的2 张里完成了，即若干个“2张”累积等于“48张”，这若干个就是实际生产的天数。实际每天生产量（48+2）乘实际天数得到实际生产总量，也就是原计划生产的总张数。 解答：实际天数：482 = 24（天）生产总任务：（48 + 2）24 = 120（张） 这是按照实际情况计算得到的或48（241）= 120（张）这是按照计划情况计算得到的 答：略。小结：若总量相同时，我们把上下对应的框之间的差称为“单差”（单一量之差），后面没有一一对应的多余数量称为总差。如；例3中，“+2”是单差，“48”是总差。 “陈氏框”解题法基本公式：单差份数 = 总差 （份数就是上下相对应的单差个数） 思考：例2中，“？吨”是单差，“8.55”是总差，所以第2问“实际每天比计划节约多少吨？”也可以这样算8.5525 = 1.7（吨） 理由何在？（总差份数 = 单差） （三）同类延伸 例4 制瓶厂每天烧1.2吨煤，比原计划每天少烧0.1吨，这样原计划烧60天的煤，现在可以多少多少天？ 、作图： 、常规解答方法: 煤总量:(1.2 + 0.1)60 = 78(吨) 实际天数:781.2 = 65(天) 多烧天数:6560 = 5(天) 、“陈氏框”巧解方法： 总差：0.160 = 6（吨） 即实际前60天少烧的煤 多烧天数：61.2 = 5（天） 节约出的6吨煤实际还可以烧多少天 例5 某班同学去划船，如果每条船少坐1人刚好坐满8条船；如果每条船多坐1人刚好坐满6条船。这个班共有多少人？（2002年重庆市沙坪区小学数学竞赛题） （1）提示图： （2）看图分析：“每条船少坐1人”与“每条船多坐1人”比较，