§4.4 椭球面.doc

4.4 椭球面一、概念：在空间直角坐标系下，由方程+1所表示的曲面叫做椭球面，或称椭圆面，通常假定abc0. 该方程叫做椭球面的标准方程.二、图形(如图4-4)：1. 讨论方法：一般地，运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为：(1) 曲面的对称性：讨论图形各部分之间的关系；(2) 曲面的范围：讨论图形存在的范围；(3) 曲面和坐标轴、坐标平面的关系：以便对图形的大概轮廓有所了解；(4) 确切研究曲面的弯曲变化情况：主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面来截割曲面，研究截口曲线是怎样变化的，也叫平行截面法，或平行截口线法.2讨论过程：(1) 曲面的对称性：椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称. 椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.(2) 曲面与坐标轴的交点：椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点, 因此椭球面的顶点为 (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c). 同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a, 2b, 2c叫做椭球面的轴，它的一半叫做半轴. 当abc0时，2a, 2b, 2c分别叫做椭球面长轴、中轴、短轴，而a, b, c分别叫做椭球面的长半轴、中半轴、短半轴.(3) 曲面的存在范围：椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：xa, yb, zc所围成.(4) 被坐标面所截得的曲线： 分别为xOy, xOz, yOz坐标面上的椭圆，它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆).(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：考虑截线 或 椭球面可以看成由此椭圆族所生成，这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行，而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆与上.用平行于其他坐标面的平面来截割椭球面，结论类似.3. 椭球面的参数方程为 (0qp, 0j2p)从中消去 q, j 可得椭球面的标准方程.例1. 由椭球面 +=1的中心(即原点)，沿某一定方向到曲面上一点的距离是r，设定方向的方向余弦分别为l, m, v, 试证.证明：设P(x, y, z)为曲面上任一点，依题意有r, 其中l, m, n,即有 xrl, yrm, zrv代入椭球面方程整理得.例2. 由椭球面1的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面于点P1, P2, P3，设OP1r1, OP2r2, OP3r3,试证+.证明：设的方向余弦分别为li, mi, ni(i1, 2, 3)则由上题结果有,=,从而 .由于与x轴夹角的方向余弦分别为l1, l2, l3, 从而在O;,下, Ox的方向余弦就是l1, l2, l3, 于是，同理有，. 所以有 +.例3. 一直线分别交坐标面yOz, zOx, xOy于三点A, B, C. 当直线变动时，直线上的三定点A, B, C也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四点P，它与A, B, C三点的距离分别为a, b, c，当直线按照这样的规定（即保持A, B, C分别在三坐标面上）变动，试求P点的轨迹.解：设直线的方向余弦为cosa, cosb, cosg, P点的坐标为(x0, y0, z0)，则直线的方程为,即 xx0tcosa, yy0tcosb, zz0tcosg.令x0, 得直线与yOz面的交点A的坐标，因此有x0tcosa0. 根据t的几何意义 | t |a，得x0acosa0 或 x0acosa.同理得 y0bcosb, z0cosg,从而有 +cos2a+cos2b+cos2g1,所以P点的轨迹为椭球面+1.例4. 已知椭球面 +1 (cab)，试求过x轴并与曲面的交线是圆的平面.解法一：设所求平面为zky，要使它与曲面的交线 为圆，则其圆心为(0, 0, 0)，半径为a，故该圆的方程还可改写成 ,对于xOy平面的射影柱面分别为+,+,它们应为同一曲面，故有+,解得 k,故所求平面为z,即 c.解法二：由题设交线圆总可以看成以原点为中心，a为半径的球面与已知椭球面的交线由于此圆在过x轴的平面上，故此圆对于yOz平面的射影柱面即为所求平面，为此从上述两方程中消去x即得c.作业题：1