2014年中考数学压轴题精编--广东篇(试题及答案).doc

2014年中考数学压轴题精编广东篇2014年中考数学压轴题精编广东篇1广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图，已知P是线段AB上的任意一点（不含端点A，B），分别以AP、BP为斜边在AB的同侧作等腰直角APD和BPE，连接AE交PD于点M，连接BD交PE于点N（1）求证：MNAB；（2）若AB4，当点P在AB上运动时，求MN 的取值范围APDBNME1解：（1）证明：APD和BPE都是等腰直角三角形，DAPEPB45APDBNMEADPE，DAMPEM，ADMEPMDAMPEM，AD : PEAM : ME同理可得PD : BEPN : NE，ADPD，BEPE，AM : MEPN : NEMNAP，即MNAB 3分证明：MNAB，PMNACP45，PNMBPE45PMNPNM45，PMN是等腰直角三角形PMMNAPMABE45，PAMBAE（公共角）APMABE，PM : BEAP : ABAP :( APBP)MN : BPAP :( APBP)来源:Z_xx_k.Com整理得： 6分（2）解：MN(APAB)2AB 2MNAB（当APAB时，MN取得最大值为AB）AB4，MN 1，又P不与A，B重合，APAB，MN00MN 1 9分2广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB6，BC4，点F在DC上，DF2动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得FMN，过FMN三边的中点作PQW设动点M、N的速度都是1个单位秒，M、N运动的时间为x秒试解答下列问题：（1）说明FMNQWP；（2）设0x4（即M从D到A运动的时间段）试问x为何值时，PQW为直角三角形？当x在何范围时，PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值图（1）ABCDFWMPQN图（2）ABCDFWMPQN2解：（1）由题意知：PWMN，PQFN，MNFPWF，PWFWPQMNFWPQ同理可得：NFMPQW或NMFPWQFMNQWP 2分（2）FMNQWP，当FMN为直角三角形时，PQW也为直角三角形图（1）ABCDFWMPQN当0x4时，若NMF90，则有MF 2MN 2FN 2即( x 22 2 )( 4x )2( 6x )2( 4x )24 2，此方程无实数解若MNF90，则有MN 2FN 2MF 2即( 4x )2( 6x )2( 4x )24 2 x 22 2 解得x4或x10（舍去）3分图（2）ABCDFWMPQN若NFM90，则有MF 2FN 2MN 2即( x 22 2 )( 4x )24 2( 4x )2( 6x )2解得x 4分所以，当x或x4时，PQW为直角三角形 5分当0x，x4时，PQW不为直角三角形 6分（3）在0x4时间段，当x4时，点M与点A重合，线段MN最短，此时MN27分当4x6时，如图（2）MN 2AM 2AN 2( x4 )2( 6x )22x 220x522( x5 )22 8分当x5时，MN 2有最小值2，即线段MN最短，此时MN综上所述，当x5时，线段MN最短，此时MN 9分3（广东省广州市）如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧 上的任一点（与端点A、B不重合），DEAB于点E，以D为圆心、DE长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点CCPDOBAE（1）求弦AB的长；（2）判断ACB是否为定值，若是，求出ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC的面积为S，若，求ABC的周长3解：（1）如图，连结OA、OB，设OP与AB的交点为F，则有OA1弦AB垂直平分线段OP，OFOP，AFBF在RtAOF中，AFAB2AF 4分（2）ACB是定值 5分理由：由（1）易知AOB120连结AD、BD，点D为ABC的内心，CAB2DAB，CBA2DBADABDBAAOB60，CABCBA120ACB60（定值）8分CPDOBAEFGH（3）记ABC的周长为l，设AC、BC与D的切点分别为G，H，连结DG，DC，DH则有DGDHDE，DGAC，DHBCS SABDSACDSBCD ABDEACDGBCDH(ABBCAC)DElDE，lDECG，CH是D的切线，GCDACB30在RtCGD中，CGDE，CHCGDE又由切线长定理可知AGAE，BHBElABBCACDE8DE，解得DE 13分ABC的周长为 14分4（广东省广州市）如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线yxb交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；ADyBCOEx（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由ADyBCOEx图14解：（1）由题意得点B的坐标为（3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上，即1b时，如图1此时E（2b，0）S OECO2b1b 4分若直线与折线OAB的交点在BA上，即b时，如图2ADyBCOEx图2此时E（3，b），D（2b2，1）S S矩形OABC (SCODSAOESBDE )3(2b2)13(b)(52b)(b)bb 2S 8分ADyBCOEx图3B1A1MO1C1NH（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDEMDME，平行四边形DNEM为菱形 10分过点D作DHOA，垂足为H由题易知，tanDEN，DH1，HE2设菱形DNEM的边长为a，则在RtDHN中，由勾股定理得：a 2(2a )21 2，a 12分S四边形DNEM NEDH1 13分故矩形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积不发生变化，面积始终为14分ODCAB5（广东省深圳市）如图是一圆形纸片，AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦BC折叠后，劣弧BC与AB交于点D，得到（1）若，求证： 必经过圆心O；（2）若AB8，2，求BC的长5解：（1）过C作CEAB于E，连接CA、CDODCABEmCDABCDCBDCADACCD，BDCD，BCDCBDCDA2CBD，CAD2CBDAB是直径，ACB90CADCBD90，2CBDCBD90CBD30，CDA60CAD是等边三角形，ADCDADBD， 必经过圆心O 4分（2）ACCD，2，半圆连接CO，则OPC18045CEOEOC4BEOEOB4BC 7分ADyBCOx6（广东省深圳市）如图，抛物线yax 2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（2，0），B（1，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标ADyBCOx图1M6解：（1）抛物线yax 2c经过A（2，0），B（1，3） 解之得：抛物线的解析式为yx 24 3分（2）如图1，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为ykxb则 BD的解析式为yx2，令x0，则y2M（0，2）5分ADyBCOx图2MP1P2NP3（3）如图2，连接AM，设BC与y轴的交点为N，则N（0，3）由（2）知，OMOAOD2，AMB90BNMN1，AM，BMSABMAMBM2设P（x，x 24），依题意有：AD| x 24|42即4| x 24|42，整理得：| x 24|4解之得：x1，x2，x30故符合条件的P点有三个：P1（，4），P2（，4），P3（0，4）9分7（广东省深圳市）如图1，以点M（1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线yx与M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F（1）请直接写出OE、M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP : PH3 : 2，求cosQHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交M于点T，弦AT交x轴于点N是否存在一个常数a，始终满足MNMKa，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由图1ADyBHOxMCEF图3ADyBHOxMNCEKTF图2ADyBHOxMCEQPF7解：（1）OE5，r2，CH2 3图2ADyBHOxMCEQPF分（2）如图2，连接QC、QD，则CQD90PHCPDQ，CPHQPDCPHQPD，即，QD3CD4，cosQHCcosQDC6分（3）如图3，连接AK、AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则GTA901290图3ADyBHOxMNCEKTFG1234532，13904390，54，15又NMAAMK，NMAAMK，即MNMKAM 24故存在常数a，始终满足MNMKa，常数a49分ADBCOP8（广东省珠海市）如图，ABC内接于O，AB6，AC4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、PC、PD（1）当BD的长度为多少时，PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）若cosPCB，求PA的长ADBCOPE8解：（1）当BDAC4时，PAD是以AD为底边的等腰三角形P是优弧BAC的中点，PBPCBDAC4，PBDPCAPBDPCAPAPD，即PAD是以AD为底边的等腰三角形4分（2）由（1）可知，当BD4时，PDPA，ADABBD642过点P作PEAD于E，则AEAD1PCBPADcosPADcosPCBPA9分9（广东省珠海市）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6）将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上（1）直接写出ABE、CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；（2）过F点作FGx轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线yax 2bxc经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；（3）若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PNBC分别交BC和BD于点N、M，设hPMMN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN、PMMN、PMMN成立的x的取值范围ADyBHOxMCEPFNG9解：（1）ABECBD30 1分在ABE中，AB6ADyBHOxMCEPFNGBCBECDBCtan304ODOCCD642B（，6），D（0，2）设BD所在直线的函数解析式为ykxb则 BD所在直线的函数解析式为yx2 3分（2）EFEAABtan30，FEG180FEBAEB60又FGOAFGEFsin603，GEEFcos60，OGOAAEGE又H为FG中点H（，）4分抛物线yax 2bxc经过B（，6）、H（，）、D（0，2）三点 抛物线的解析式为yx 2x2 5分（3）PM(x2)(x 2x2)x 2xMN6(x2)4xhPMMN(x 2)(4x)x 2x4 6分hOx由x 2x4得x1，x2该函数的简图如图所示：7分当0x时，h0，即PMMN当x时，h0，即PMMN当x时，h0，即PMMN 9分10（广东省佛山市）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：如图，在ABC中，ACBABC（1）若BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证ACDABC（不包括全等）？ABC（2）请对BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证ACDABC（不包括全等）的点D的个数11解：（1）（）如图，若点D在线段AB上由于ACBABC，可以作一个点D满足ACDABC使得ACDABC 2分（）如图，若点D在线段AB的延长线上则ACDACBABC，与条件矛盾因此，这样的点D不存在 4分（）如图，若点D在线段AB的反向延长线上由于BAC是锐角，则BAC90CAD不可能有ACDABC因此，这样的点D不存在 6分综上所述，这样的点D有一个 8分注：（）中用“CAD是钝角，ABC中只可能ACB是钝角，而CADACB”说明不存在点D亦可（2）若BAC为锐角，由（1）知，这样的点D有一个9分若BAC为直角，这样的点D有两个 10分若BAC为钝角，这样的点D有一个 11分注：（2）的第一个解答不写不扣分，第二个解答回答“这样的点D有一个”给1分ABCD图ABCD图ABCD图12（广东省茂名市）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B坐标为(6，6)，抛物线yax 2bxc经过A、B两点，且3ab1（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿AB、BC运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动设运动时间为t秒，EBF的面积为S试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以点E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由AyCOxBEF备用图AyCOxBEF12解：（1）由已知A（0，6）、B（6，6）在抛物线上得方程组： 1分AyCOxBEFR1(9，3)R2(3，9)R1(3，3)解得： 3分（2）运动开始t秒时，EB6t，BFtSEBBF(6t)tt 23t 4分St 23t(t3)2当t3时，S有最大值 5分当S取得最大值时，由知t3，所以BF3，CF3，EB633若存在某点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，则FR1EB且FR1EB，即可得R1为（9，3）、（3，3）6分或者ER2BF且ER2BF，可得R2为（3，9）7分再将所求得的三个点代入yx 2x6，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R1（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形 8分13（广东省茂名市）已知O1的半径为R，周长为C（1）在O1内任意作三条弦，其长分别是l1、l2、l3求证：l1l2l3C；（2）如图，在直角坐标系xOy中，设O1的圆心O1（R，R）当直线l：yxb（b0）与O1相切时，求b的值；当反比例函数y（k0）的图象与O1有两个交点时，求k的取值范围O1yxO（备用图）O1yxO（备用图）O1R13（1）证明：l12R，l12R，l12Rl1l2l332R2RC 2分l1l2l3C 3分（2）解：如图，根据题意可知O1与与x轴、y轴分别相切O1yxOEFMNlH设直线l与O1相切于点M，则O1Ml，过点O1作直线NHx轴，与l交于点N，与x轴交于点H直线l与x轴、y轴分别交于点E（b，0）、F（0，b）O1yxOEDACBOEOFb，NEO45，ENO145在RtO1MN中，O1NO1Msin45R点N的坐标为N（R，RR）4分把点N坐标代入ykxb得：RRRb，解得：bR5分如图，设经过点O、O1的直线交O1于点A、D则由已知，直线OO1：yx圆与反比例函数图象的对称轴当反比例函数y的图象与O1直径AD相交时（点A、D除外）则反比例函数y的图象与O1有两个交点过点A作ABx轴交x轴于点B，过O1作O1Cx轴于点C则OO1O1Csin45oR，OARROBABOAsin45o(RR)RRA（RR，RR），将点A的坐标代入y解得：k()R 2 6分同理可求得点D的坐标为D（RR，RR）将点D的坐标代入y，解得：k()R 2 7分当反比例函数y（k0）的图象与O1有两个交点时，k的取值范围是：()R 2 k ()R 2 8分ACOBDP14（广东省湛江市）如图，在ABC中，以AB为直径的O交BC于点P，PDAC于点D，且PD与O相切（1）求证：ABAC；（2）若BC6，AB4，求CD的值14（1）证明：连接OPACOBDPPD与O相切，OPPDACPD，OPACOPOAOBAB，OPACABAC 6分（2）解：连接APABAC，P为BC的中点，APBC在RtCDP与RtCPA中，CCRtCDPRtCPA，BC6，AB4，PC3，AC4，CD 12分15（广东省湛江市）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，4），线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A（1）直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BCOC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和PAB的最大面积AxyBO15解：（1）A（5，0） 1分由抛物线经过点O，可设抛物线的解析式为yax 2bx 2分把A（5，0）、B（3，4）代入yax 2bx，得： 解得 4分抛物线的解析式为yx 2x 5分（2）如图，yx 2x( x)2抛物线的对称轴是直线x，点O、A关于直线x对称连接AB交直线x于点C，则点C使BCOC的值最小 6分AxyBOC图设直线AB的解析式为ykxb则 解得直线AB的解析式为yx 8分把x代入yx，得y点C的坐标为（，）9分（3）如图，过点P作y轴的平行线交AB于点D，设点P的横坐标为x，则P（x，x 2x），D（x，x）10分AxyBO图PDSPAB SPAD SPBD PD(xAxB)(yPyD )(xAxB)(x 2x )(x)5(3)x 2x10(x1 )2当x1时，SPAB 的最大值为 12分把x1代入yx 2x，得y此时点P的坐标为（1，）13分16（广东省肇庆市）已知二次函数yx 2bxc1的图象过点P（2，1）（1）求证：c2b4；（2）求bc的最大值；（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），ABP的面积是，求b的值16（1）证明：将点P（2，1）代入yx 2bxc1得：12 22bc1 1分整理得：c2b4 2分（2）解：c2b4，bcb(2b4)2(b1)22 4分20，当b1时，bc有最大值2 5分（3）解：由题意得：AB1AB| x2x1|，即| x2x1|2 6分亦即(x1 x2)4x1x2 7分由根与系数的关系得：x1 x2b，x1x2c12b412b38分代入(x1 x2)4x1x2得：(b)24(2b3)整理得：b 28b0 9分解得：b 1，b 2，经检验均合题意 10分17（广东省清远市）在O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CEAB，在上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM（1）如图1，当点P运动到与O点重合时，求FDM的度数；（2）如图2、图3，当点P运动到与O点不重合时，求证：FMOBDFMC图2ABOFDCEMP图1ABO(P)FDCEM图3ABOFDCEMP图1ABO(P)FDCEM17（1）解：当点P与点O重合时（如图1）CE是直径，CDE90 1分CDEFDM180，FDM90 2分（2）证明：当点P在OA上运动时（如图2）OPCE，CPEPCMEM，CMPEMPDMOEMP，CMPDMOCMPDMCDMODMCDMFCMO 3分D所对的弧是，COM所对的弧是图2ABOFDCEMPDCOM 4分DFMOCM，FMOCDFMCOBOC，FMOBDFMC 5分当点P在OB上运动时（如图3）证法一：连结AC，AEOPCE，CPEPCMEM，CMOEMODMFEMO，DMFCMO 6分CDE所对的弧是，CAE所对的弧是图3ABOFDCEMPCDECAE180CDEFDM180，FDMCAECAE所对的弧是，COM所对的弧是CAECOMFDMCOM 7分DFMOCM，FMOCDFMCOBOC，FMOBDFMC 8分证法二：OPCE，CPEPCMEM，CMOEMODMFEMO，DMFCMO 6分CDE所对的弧是CDE 度数的一半 的度数180 的度数FDM180CDE180(180) 的度数COM 的度数FDMCOM 7分DFMOCM，FMOCDFMCOBOC，FMOBDFMC 8分18（广东省河源市、梅州市）如图，ABC中，点P是边AC上的一个动点，过P作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：PEPF；（2）当点P在边AC上运动时，四边形BCFE可能是菱形吗？说明理由；（3）若在AC边上存在点P，使四边形AECF是正方形，且，求此时A的大小ABNFDCEMP18（1）证明：CE平分BCA，BCEPCEABNFDCEMP又MNBC，BCEPECPCEPEC，PEPC 2分同理可证PFPCPEPF 3分（2）解：不可能 4分理由如下：方法1：由（1）可知，PEPFPC，又PCPFCFPEPFCF即EFCF 5分又菱形的四条边都相等，所以四边形BCFE不可能是菱形 6分方法2：若四边形BCFE为菱形，则BFCE由（1）可知CFCE 5分因为在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线，所以BFCE不能成立，所以四边形BCFE不可能是菱形 6分（3）解：若四边形AECF是正方形，则APCP，ACEECF45BCEPCE，BCA907分又，即tanB 8分B60，A309分19（广东省河源市、梅州市）如图，直角梯形OABC中，OCAB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）（1）求点E、D 的坐标；（2）求过B、C、D三点的抛物线的函数关系式；OEDABCyx（3）过B、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标19解：（1）方法1：B（4，1），则A（4，0），设ODx，则DA4xD是以BC为直径的圆与x轴的交点，CDB90ODCBDA90OCDODC90，OCDBDARtOCDRtADB，即 1分解得x11，x23D（3，0），E（1，0）2分方法2：设BC的中点为G，过G作GHx轴于H，连接GD、GEOEDABCyxGH2，2G（2，2），H（2，0）1分BC，GH202又DGEGBGBCHDEH1D（3，0），E（1，0）2分（2）设过B、C、D三点的抛物线的函数关系式为yax 2bxc，则 3分解得 4分所求抛物线的函数关系式为yx 2x3 5分（3）方法1：假设存在这样的点Q，分两种情况讨论：当BDQ90时，由于BDC90，且点C在抛物线上，故点Q与点C重合Q1（0，3）7分当DBQ90时，过点B作平行于DC的直线BQ，假设直线BQ交抛物线于另一点Q由D（3，0），C（0，3）可得直线DC的解析式为yx3BQDC，故可设直线BQ为yxm将B（4，1）代入，得m5（或将直线DC向上平移2个单位与直线BQ重合）直线BQ为yx5OEDABCyx(Q1)Q2由 得 或 又点B（4，1），Q2（1，6）故该抛物线上存在两点（0，3），（1，6）满足条件9分方法2：假设存在这样的点Q（x，x 2x3）过Q作QNx轴于N，分两种情况讨论：当BDQ90时，则NDQBDA90DNQBAD90，NDQNQD90NQDBDA，NDQABD，即 6分解得x10，x23当x10时，y13；当x23时，y20Q1（0，3），Q2（3，0）（与点D重合，舍去）7分当DBQ90时，则有DQ 2BD 2BQ 2B（4，1），D（3，0），Q（x，x 2x3）DQ 2(x3)2(x 2x3)2BD 2(43)2(10)22BQ 2(x4)2(x 2x31)2(x3)2(x 2x3)22(x4)2(x 2x31)2整理得：x 23x40，解得x31，x44 8分当x31时，y36；当x44时，y41Q3（1，6），Q4（4，1）（与点B重合，舍去）综上所述，抛物线上存在点Q1（0，3）和Q2（1，6），使BDQ是以BD为直角边的直角三角形 9分20（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）已知抛物线yax 2bxc（a0）与x轴交于A、B两点，顶点为C（1）当ABC为直角三角形时，求b 24ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b 24ac的值224解：（1）设A（x1，0），B（x2，0）当ABC为直角三角形时，显然ACB90OBxyACD图1由抛物线的对称性可知ABC为等腰直角三角形如图1，过C作CDAB于D，则AB2CD抛物线与x轴有两个交点，b 24ac0AB|x1x2|CDOBxyACD图2a0，b 24ac0，2b 24ac4 5分（2）当ABC为等边三角形时，如图2，过C作CDAB于D则CDAB即，b 24ac12 10分20（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）已知一次函数y12x，二次函数y2mx 23(m1)x2m1的图象关于y轴对称（1）求二次函数y2的解析式；（2）是否存在二次函数y3ax 2bxc，其图象经过点（5，2），且对于任意一个实数x，这三个函数所对应的函数值y1、y2、y3都有y1y3y2成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由225解：（1）二次函数y2mx 23(m1)x2m1的图象关于y轴对称3(m1)0，m1y2x 21（2）存在满足条件的二次函数y3y1y22x(x 21)x 22x1(x1)20对于任意一个实数x，y1y2均成立又二次函数y3ax 2bxc的图象经过点（5，2）25a5bc2 当x1时，有y1y22，y3abc而对于任意一个实数x，都有y1y3y2成立，则2abc2abc2 由式、得b4a，c25ay3ax 24ax(25a)当y1y3时，有2xax 24ax(25a)即ax 2(4a2)x(25a)0二次函数yax 2(4a2)x(25a)对于一切实数x，函数值大于或等于零 即 a当y3y2时，有ax 24ax(25a)x 21即(1a)x 24ax(5a1)0二次函数y(1a)x 24ax(5a1)对于一切实数x，函数值大于或等于零 即 a综上，a，b，c故存在二次函数y3x 2x，对于任意一个实数x，都有y1y3y2成立226（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）如图，在ABC中，ABC为锐角，ABAC，BAC90，D为线段BC上一点，连接AD，以AD为一边在AD的左侧作正方形ADEF，连结BFEDABCF（1）当BFBC时，求ABC的大小；（2）若AB，BC3，在（1）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段BF相交于点P，当线段BP的长取最大值时，求正方形ADEF与ABC重叠部分的面积EDABCFG图1226解：（1）如图1，过A作AGAB交BC于G正方形ADEF，ADAFDAGBAD90，FABBAD90DAGFABAGDABD90，ABFABD90AGDABFADGAFB，AGABABC45 5分（2）如图2，过A作AHBC交BC的延长线于H，则AHB90又ABC45，AHBHABsin454PADEFBCH图2GK设BDx，则DH4xDPBPDB90，ADHPDB90DPBADH，又DBPAHD90DPBADH，即PBx 2x( x2)210x3，当x2时，BP取最大值1此时DH422设AB与DE相交于G，过G作GKBD，垂足为K则DGKDPB，2，KD2GK又ABC45，BKGK，KD2BK由BKKDBD得BK2BK2，GKBK正方形ADEF与ABC重叠部分为ADGSADG SABD SGBDBDAHBDGK(242) 10分227（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻沿原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港乙船从B港出发逆流匀速驶向A港已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同甲、乙两船到A港的距离S1、S2（km）与行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示（1）求甲船到B港的距离S与行驶时间t之间的函数关系式；S/kmt/h2422.53.54O甲乙（2）求救生圈在水中漂流的路程；（3）求甲船发现救生圈落入水中时，甲船到救生圈的距离227解：（1）由图象得乙船在逆流