一道几何试题的解法探析及变式改编.pdf

9 3 2 数学教学 2 0 1 4 年第9 期 一 道几何试题 的解法探析及变式改编 3 1 5 0 4 0 浙江省宁波市曙光中学 胡伟斌 1 试题 呈现 题 目如 图1 四边形 A B C D C 1 2 0 A B BG A m上C D C D 7 BC 4 则 该四边形的面积是 图 1 分析 此题是笔者所在学校初三月考试卷 中的一道填空题 该题 以四边形为背景 综合 考查了直角三角形 三角函数 转化 方程等 核心知识与思想方法 因原四边形的非特殊性 为问题的解决增加了难度 那么解决此题该从 何入手 原题又能如何变式改编 对此笔者撰 文试与同行分享交流 2 解法探析 不难发现 原题表述简洁 图形结构简单 具有一定的代表性 但求解需要一定的技巧 笔者经过思考并结合学生的反馈结果 通过以 下几种思路对原题的解法进行了探析 思路 1 巧用 两直角 补全找相似 解 如图2 延长 JE DG 两者交于点 易知CE 8 BE l 4 3 显然R t C B E R t D E 得 塑幽 B SACBE 一 器 故 B G 亦 可延长AD与 j5 C进行求解1 丑 图 2 思路 2 分割 原图 逐个击破 解 如图3 过点D作 DE L A B 垂足为点 E 过点 作 C F I DE 垂足为点F 于是 四 边形 A B C D就被分为两直角三角形和一矩形 而不 知DF C F A 故 s四边形AB D DFc SAADEn C 矩形8 GFE 5 9 V 一3 亦有不同分法 不再赘述 D C E B 图 3 思路3 构造 K 形图 整体减局部 解 如图4 过 点 分别作 B C和 的平 行 线 两 者 交 于 点E 延 长 B 交 直 线 E于点F 显然四边形 A B F E为矩形 且 易知 C F 7 DF 萼 E 故s 四 边 形 A B G D s 梯 形 A B F s F 旦 亦 可 按 图2 利 用 S Z A D E与S A C B E作 差求 解 图4 思路 4 添加坐标系 直观又简洁 解 如图5 以点B为坐标原点 分别 以 A B B C所在直线为 轴 建立平面直角 坐 赢 易 搏 的 坐 标 为 一 2 0 1 4 年第9 期 数 学教学 9 3 3 由 D A B 6 0 不难求得直线 的解 析式 为 x 3 a 1 8 则点A的坐标为 一 6 O 而 根 据 两 点 间 距 离 公 式 得 A D 5 故 D D B B 5 9 3 s A B C D 一 j l 厂 C B x 图 5 思路 5 借助余弦定理 建立方程求解 解 如 图6 连 结 JE D 设 D为x A B为 Y 则由余弦定理 得 X Y 0 2 x Y C O S ADAB D 2 2 CD BC C O S ABCD 9 3 X 2 CD2 y 2 BC 2 将上述两方程联 立 解得 5 3 Y 6 3 故 S 四 边 形 A B D AD CD AB 5 9 图 6 C 思路 6 利用 四点共圆 辅以正弦定理 解 如 图7 连结 C B D 由 DC A BC 9 0 得 A B C D四 点共 圆 且 为四边形 BC D外接圆直径 由思路 5 知 B D 厕 则 根 据 正 弦 定 理 得 砉 r 2 豇 由勾股定理 知A D v A C 2 C D2 5 3 A B 2 一BC 2 6 3 于 是 S四边形ABG D AD CD AB BC 5 9 D 图 7 评析 前三种思路的关键是添设合理的辅 助线 把原题转化为解直角三角形问题 常规 高效 后三种思路的可取之处是能看到问题的 本质 将几何问题代数化 高屋建瓴 充分体现 了形与数的联想 当然 关于这道试题的解法 并不止于上述内容 有兴趣的读者可继续探究 3 变式改编 其实 原题的特点不仅仅体现在解法多样 而更在于题设简洁 图形简单 整题上下无不 散发着浓郁的 草根 气息 也正因如此 此题 便具有了较强的可塑性 于是 在保持原题图 形结构的前提下 为使其 价值 最大化 笔者 尝试对原题进行 转型包装 通过将原四边形 的四个特殊内角作为 包装 基础 经过探究 改编 创新 得到如下变式 变式 1 理解原图本质 如图1 在四边形 A BC D中 A C 1 2 0 A B B l C D 求 AB AD I输 信 B CD 解 如图2 延长 DC A B 两者相交于点 E 设C D为 B C为 则 C E 2 y B E x 3 y AD D E t a n3 0 v 3 x 2 V一 y A AE 3 一 B 2 AD B E 2 v v y 故 A B AD 变式2 考查图形变换 如图8 在四边形 A BC D中 A BC D I 2 0 B j B A D L C D C D 7 BC 4 点M 分别为线段 JE D 上的动点 求 C MN周长的最小值 解 如图8 分别作点 C关于 AD和 B的 对称点 连结 分别交 D和 B 于点 M 因此 周长 的最 小值 为 而 由余弦定理 得 2 9 3 故 C MN周长的最小值为2 9 3 图 8 9 3 五 数学教学 2 0 1 4 年第9 期 变式 3 利用 函数求最 值 在 AA BC中 A B A C 1 B A C 1 2 0 求 AB C外接 圆半径的最小值 解 如图9 作线段 A B AC的中垂 线 两者交于点0 垂足分别为点 D E 延长 交直线 D E于点F 易知点0即为A A B C b 接 圆 圆 心 设 D 为 三 由 葫O D t a n 3 0 得O D 所以 0 2 AD2 OD2 z 2 昙 量 1 十 故 z J 十 1 故 外接圆半径的最小值为1 c 图 探究至此 笔者反观原题 发现原图的一 组对角均为直角 而这就为试题的进一步改编 创造了条件 其次 若考虑将题设条件弱化 再 与初中阶段其他核心知识 方法相结合 那将 会擦出怎样的 火花 呢 于是 笔者带着上述 想法对原题进行了如下改编 改编 1 以圆为载体 整体思想蕴其中 如图1 0 圆D的直径 JE 垂直弦 C D于点 E 点 在劣弧 C D上 点F在线段 C E上且 1 连结B F并延长 交 圆0于点 G1 连结 G并 延长 交 的延长 线于 点日 若 胛 8 求 弦 的长 解 如图 l 0 取线段 胛 的中点 连结 G M OG OC 易证 MG 0 9 0 设圆 O的 半径为a 0 为b 则在四边形 ME O G中 有 4 0 2 5 0 6 2 则n 2 一b 2 9 在 0 中 有 CE 0 一 b 2 3 故C D 2 C E 6 O E M C 曰 图 1 0 改编 2 借助坐标系 静态几何动态化 如 图1 1 在直角坐标系中 已知点A 1 2 动点 B 分别 从 点D 5 0 与原 点 出发 点B沿 着 轴负方 向匀速 运动 点 沿着 轴正 方 向匀速运动至 A C z 轴停止 若B C两点同 时 出发 并同时停止 且在整个运动过程 中 B始终为直角 那么从出发到停止 线 段 B 的中点经过的路线长为多少 解 如图 1 1 过点 作 Y 轴的垂线 垂 足分 别 为点E F 连结 E F 取 E F O D的 中点G 日 连 结 G H 易知 点G 日的坐标 分 别 为 寺 1 和 0 则 直 线G H 的 解 析 式 1 匕 为Y 一 J o 且 G H v 设点 C速度为 运动时间为 t 可知点B速度为2 则在运动过 程中 点 B的坐标分别为 0 v t 和 5 2 v t o 故 线 段 B C A M的 坐 标 为 下5 2 v t 1 不难发现 点 在线段 G H上 所以线段 B 的中点经过的路线长为 5 图 1 1 改编3 与函数结合 思维经验齐展现 如图1 2 在四边形 A BO C中 点 在第二象限 点 B在 轴 的 负半轴 上 点 为原 点 点 在 Y 轴的正半轴上 A B I A C且S 四 边 形 A 口 c 1 若反比例 函数 一 的图像经过点A 将四 边形 A J石 D 绕点0逆时针旋转 1 3 5 点B恰 1 好落在 l 一 的图像上 求t a n ZO AC的值 解 如图 1 2 过 点 分别 作X Y 轴的垂 线 垂 足 分 别 为 点 F 连 结 B 由于 四 边 形 A B o G 形 A E o F 1 所 以S A A B E S A A C F 而易证 AA B Ec AA C F 故 B E C F A E A F I 则A D 2 Z A O B 4 5 因 D JE 1 3 5 故 二 B 三点共线 由反比 例函数的中心对称性 得 O B O B D 由此可得 D 2一 2 又因点A B 四点共 圆 故 t a n O A C t a n ZO BC L D 一 1 2 0 1 4 年第9 期 数学教学 9 3 5 例谈垂直伸压变换与相关椭圆试题 2 2 1 2 0 0 江苏省睢宁高级 中学南校刘亚平 平面7 r 上的点之间的一个一一变换 若满 足以下条件 1 任何共线点的像仍是共线点 2 任何共线三点的简单 比不变 则此一一变 换叫做平面7 上的仿射变换 由仿射变换的定 义可知 仿射变换是可逆的 且它的逆变换也 是仿射变换 垂直伸压变换是特殊的仿射变换 因此它具有仿射变换的不变性和可变性性质 利用这些性质可以解某些椭圆问题 1 垂直伸压变换的性质 1 1垂直伸 压 变换 的不变性 1 保持三点的共线性不变 2 保持两直线的平行性不变 3 保持共线三点的简单比不变 从而保 持两平行线段的比值不变 4 保持两个封闭图形的面积比不变 1 2垂直伸压 变换的可变性 l 0 圆 Y a 2 a 0 在 矩阵I b l u a 或 喜 6 作 用 下 z一 I 一 X 2 1 或 1 此 时 直 线 的 斜 率 变 为 原 来的 倍f 或 倍 1 三 角 形 的 面 积 变 为 原 来 的 倍f 或 倍 1 2 垂直伸压变换与相关椭圆试题 2 1椭 圆中平行 或共线 线段的长度比值 问题 如图1 A B 是圆 二 z Y 2 1 上两点 AA 0 B 的面积为 EI 为线段 B 的中点 射线0 E 与圆0 交于点P 设 A 0 E Q 则 A O B 2 a 因为 O B 妄 1 X 1 X s in 2 a 故s i n 2 a 因为2 a 为三角形 内角 故 2 吾 或 故 7r 或 K 若 设 t 2 或 2 45 COS l i JB 图