习题1.2-函数的极限.pdf

微积分 A 习题解答 习题习题 1 2 P39 1 已知0 3 lim 3 x x x 满足什么条件时 才能使x001 0 3 x x 解 001 0 3 x x 即 1000 13 1 1000 1 x 故 333 1000 1001 3000 欲找0 当 10 x时 使 欲找0 当 90 x时 使 x99 欲找 当0 XXx 时 使 x 故取 2 X 4 0 欲找 当时 使 0 XXx x 故取 2 1 X 5 0 欲找0 当 40 x时 使 x44 欲找0 当 x0时 使 1 x e 即 亦即 11 x e 1ln 1ln x 取 1ln 1ln min 法 2 由指数函数的性质知 x 均有 或 xe x 1xe x 1 故当时 有 即0 10 xxe x 21 又 xe e x x 1 11 所以 x x x e x 1 1 1 1 1 故当限定 2 1 0 x时 有 即xe x 21 xe x 21 综上所述可得 0 Nx 2 1 0 即 2 1 0 欲找0 当 x0时 使 221xe x 又保证 2 1 0 0 X 当Xx 时 必有 x 得或Xx 0 1 X 当 时 必有 1 Xx 2 X Axf 取 则 当 21 maxXXX Xx Xx 时 必 有 存在正数 当 ax0时 恒有 存在正数 当0 a x 时 恒有 xf A成立 则称常数A为函 数当趋于a时的左极限 记作 xfy xAxf ax lim 简记为 或 axAxf Aaf 0 5 设 画出 213 11 101 xx x xx xf xfy 的图形 求时函数的左 右极 限 并讨论极限的存在性 1 x 解 y o 1 1 2 2 3 1 x 0 1 lim lim 11 xxf xx 2 3 lim lim 11 xxf xx 左 右极限不相等 故不存在 lim 1 xf x 第 1 章 极限与连续 第 2 节 函数的极限 3 5 微积分 A 习题解答 6 设 211 10 00 0 1 1 x xx x x x xf 求 时函数的左 右极限 讨论极限的 存在性 0 x1 x 解 1 1 1 lim lim 00 x xf xx 0lim lim 00 xxf xx 左 右极限不相等 故不存在 lim 0 xf x 1lim lim 11 xxf xx 11lim lim 11 xx xf 左 右极限存在且相等 故1 lim 1 xf x 7 证明函数极限的惟一性 局部有界性 证明 1 证惟一性 如果Axf lim Bxf lim 则BA 反证法 假设BA 不妨设BA 由于 对于给定的Axf limBxf lim 2 AB 必存在某个时刻 或 X 使得在这个时刻之后 2 A B Ax 与 f 2 f成立 即 AB Bx 与 2 xf成立 这是不 可能的 故必有 AB M 或 X 之后 有M xf 证 由于Axf lim 对于给定的1 必存在某个时刻 或X 使得在这个 时刻之后 有1 Axf 即1 1 0 当 ax0时 恒 有 Axf 而 01 01 xx xx xf 则1 lim 0 xf x 而1 lim 0 xf x 1 lim 0 xf x 即不存在 lim 0 xf x 9 证明 当 x时 xsin没有极限 证明 取 则当 2 2 nxn n时