一道课本习题的四个探究片断.pdf

第3 3 卷第7 期2 0 1 4 年7 月数学教学研究 2 7 一道课本习题的四个探究片断 范习昱 江苏省镇江市丹徒高级中学2 1 2 1 2 1 原题再现 苏教版选修1 1 课本3 5 页 一2 2 习题第9 题 已知椭圆舞 告 1 口 6 o 的两个焦点分别为F 1 F 2 短轴的一个端点 为P 1 若么F P F 2 为直角 求椭圆的离心 率 2 若么F 1 P F 2 为钝角 求椭圆离心率的 取值范围 背景高三一轮复习已经结束 专题复 习正如火如荼地进行着 教材不知被我 整 理 到哪去了 真的好久没见这位老朋友了 可就在一个晚自习偶尔被学生问起这个题 我顿时惊讶了 课本里还有这么好的资源 而我以前却没引起注意 我为我的肤浅与散 漫愧疚不已 于是 我整整花了两天以此题为背景设 计了如下的探究式教学案例 并结合教学后 的反思进行了适当修改和润色 本题并不算难题 但其中蕴含的知识却 很多 具有很好的开发利用价值 让我们开始 探究之旅吧 探究l如图1 若 么F P F 2 一口 请给出口 与离心率e 的关系 生甲 在R t P O F 2 中 么0 P F z 一詈 故 湘导 甓 詈 即 彳 6 o 的两个焦点分别为F 1 F 2 短轴的一个端点 为P 1 若椭圆的离心率e f 专 雩i 求 么F l P F 2 的范围 2 若椭圆的离心率已 l 譬 1 问是否 存在这样的椭圆 使么F 1P F z 为直角 生乙 1 由s i n 罟一e 不难求出当日 丢 譬 时 饥眠的范围是 詈 孚 2 当P I 穹 1 时 么F P F 2 的范围是 j 警 7 l 故么F P F 2 不可能为直角 师 你能以此结论说明离心率P 大小与 椭圆圆扁程度的关系吗 生丙 由s i n 罟一e 且口 o 7 c 知e 是 关于目的增函数 离心率e 越大 日越大 结合 图形可知椭圆越扁 师 分析得精彩 你的思想有多远 你就 能分析的有多深 我们发现 除了椭圆离心 作者简介 范习昱 1 9 8 0 一 男 湖北洪湖人 中教一级 主要研究方向为高中数学教育教学 E m a i l 6 6 3 8 3 8 3 2 7 q q c o m 万方数据 数学敦学研究第3 3 卷第7 期2 0 1 4 年7 月 率能描述椭圆的圆扁程度 其实么F l P F 2 也 可用来描述椭圆的圆扁程度 即么F 1 P F 2 越 大 椭圆越扁 探究2 若点P 是 椭圆上的任意一点 设 么F l P F 2 一口 请探求椭 圆离心率e 的范围 师 如果点P 不是 固定在短轴端点 而是椭 y 夕奄 6 o 的两个焦点 1 若椭圆上存在点P 使P F 上P F 2 则 厉 椭圆离心率的范围是等 P 1 2 若椭圆上存在点P 使么F 1P F 2 为锐 角 则椭圆的离心率的范围是o 已 等 3 若椭圆上存在点P 使么F P F 2 为钝 角 则椭圆的离心率的范围是等 e 6 0 的两个焦 点 椭圆的离心率为e 问 椭圆上是否存在点P 使 P F 上P F 若存在这样 的点P 探求P 点的个数 y 膨 郦肜 心 o 毯7x 西弋 叼粤 L 图3 师 由P F 上P F z 我们能联想到什么 某生 勾股定理 向量的数量积为零 师 这些都对 让我们再想想 在圆当中 有什么角为直角呢 某生 圆周角啊 师 那使P F 上P F z 的点P 的轨迹是什 么呢 生戊 以线段F 1F 2 为直径的圆 师 那P 点的个数与这个圆和椭圆有什 么关系呢 生戊 P 点的个数就是以线段F F 2 为 直径的圆与椭圆的交点的个数 师 漂亮 请大家讨论 请结合前面的探 究给出结论 一2 2 结论2 已知F 1 F 2 是椭圆紊 旁一1 而 n 6 o 的两个焦点 离心率为P 当e 一等 时 椭圆上存在两个P 点 使P F 上P F 2 当 e 辱 1 时 椭圆上存在4 个P 点 使P F 上P F 2 当e o 等 时 椭圆上不存在P 点 使P F l 上P F 2 师 那推广到一般情形呢 即 一2 2 变式3 已知F 1 F 2 是椭圆手 旁2 1 口 6 o 的两个焦点 椭圆的离心率为P 问椭圆上是否存在点P 使么F P F 2 口 若 存在这样的点P 探求P 点的个数 师 类比变式2 我们发现临界点就是当 P 为椭圆短轴的一个端点P o 时么F P 0F 2 比较么F P F 2 与么F P 0F 2 即可得出相关结 论 整理学生讨论的结果如下 一2 2 结论3 已知F F 2 是椭圆争 旁一1 口 6 o 的两个焦点 离心率为e P 点是 椭圆上的点 则使么F 1 P F 2 一口 o 口 e 口 2 a r c s i ne 时 P 点有 个 当 s i n 罢 e 口一2 a r c s i ne 时 P 点有2 个 当 万方数据 3 0数学教学研究第3 3 卷第7 期2 0 1 1 4 年7 月 s i h 罢 文口 6 o 的两个焦点分别为F 1 R 若点P 是椭圆上 的一个动点 当点P 是短轴端点时 么F 1 P F 2 最大 探究4 若将本题中的两个焦点F 1 F 2 改为长轴 或短轴 的两个端点A A 或 B 1 B 2 又有什么结论呢 师 请依次完成下列变式题 J 2 变式4 已知椭圆参 荸2 l 口 6 o 的两个长轴的两个端点A A 短轴的一个 端点为P 若么A P A z 请给出口与离心率e 的关系 生甲 在R t A t P O 中 易知 t 锄詈 詈 则e 冈妊 其中口 参丌 师 这个角也可以用来帮助理解椭圆的 离心率已是怎样反映椭圆韵圆扁程度的 你 能以此结论说明离心率e 大小与椭圆圆扁程 度的关系吗 生乙 由e 且口 吾 丌 知P 是关于口c 的增函数 故离心率e 越大 8 就越大 椭圆就越扁 师 我们发现 除了椭圆离心率和 么F t P F 2 能描述椭圆的圆扁程度 么A P A z 也可用来描述椭圆的圆扁程度 即么A P A z 越大 椭圆越扁 o 2 变式5 已知椭圆专 矗 1 口 6 o V 的两个长轴的两个端点A i A 2 椭圆离心率 万方数据 第3 3 卷第7 期2 0 1 4 年7 月数学教掌研究 3 1 为e 点P 是椭圆上的任意一点 试求 么A l P A 2 的范围 生丙 不失一般毖设点P 锄 曲 在尘 轴上方 即o 油 6 过点P 作工轴垂线 垂 足为M 则 t 碰A P M 譬 沙 t 锄么A 2 P 忙与墅 么A l P A o 口荨么A lP M 么A 2P M 苎出 垡Q 搬鲫归 歪争宰捅 胡t 又雾十紊 1 消去即 肛以 t 归一蕊 0 6 o 的两个长轴的两个端点A A z 点P 是椭圆 匕的一动点 设么A P A 口 探隶点P 位置 使口最尢 7 师 请大家类比探究 3 的方法 o L 生戊 由t a n 蕊一尚 t a n 岛 当点 鼍 P 在短轴端点时设么A l 鹏 岛 恧函数 t a n 占在口 f 吾 c 上单调递增 故蜒瑰 即 点P 在短轴端点时么A l 融z 口最大 师 类比是我们研究未知世界的一种很 有效的方法 不仅仅是数学上有很多这样类 似的性质 其他学科同样拥有 大胆类比t 严 谨论证这是科学的方法 师 如果将长轴端点换成短轴端点昵 请l 司学们类比上述探究过程 并讨论后以结 论的形式给出 结论5 已知椭圆著 荸2 I n 岁6 多o 两个端点B 1 B 长辐的一个端点南只 若 么B 飓 口 则椭 圆 离心章 P 1 一甜导 结论6 已知椭圆茅 荸一1 口 6 似 两个短轴的两个端点童 B 椭圆裔心率为 e 点P 建椭圆上的任意一点 则之B P 童 兰j 的范围是i a r c t a nl 型 号 或 a r c 协2 樗一专爿 结论7 已知椭圆著十芳 1 4 6 o 的两个璋舯哆商t 端枣 B B 2t 枣暑晷椭圆 上的嘲i 设 B 飓 口 当点P 位手长 轴端点时汐矗大 慨结论发生了细微韵变化 但整体依旧 葙谙婧袜 逸不j 筵数学乏美n 酌 师 若蒋本窟申酌椭画曾爨换盛双曲翁 是否还有类似结论呢 同学们不妨课后思考 思考7 一 T 万方数据 3 2 数学教学研究第3 3 精第7 期2 0 1 4 年7 月 反思与感想从这道课本习题出发 或 变换条件 或改变角度 或优化方法 层层深 入 步步展开 由点及面 从特殊到一般 探究 推导并从中发现了椭圆中一系列常用而对称 优美的结论 其中所覆盖的数学知识 运用的 数学思想方法都极具教学价值 令人眼前一 亮 通过探究教学 学生的思维得到有效训 练 学习积极性大为提高 学生收获颇丰 这是一道课本上的习题 表面上看非常 陈1 日 难免不能引起教师和学生的重视 问题 出在什么地方呢 我不禁要问 现在的高中 数学课堂真的已经非常功利化了 以为只要 通过大量习题训练就能迅速提高成绩 导致 我们的教师还在沉溺于辅导资料 弃本逐末 从长远来看 这种备课方式无疑是极端错误 的 不仅会给学生带来不必要的负担 而且极 不利于学生的长久发展 对教师的专业成长 也是一种无情的耽搁 我们为什么不能好好利用课本呢 要知 道 现在各省市实验通过并正在运用的教材可 都是一些大师呕心沥血之作啊 课本的例习 题是所有教学材料中的精佩 有丰富的内涵和 广阔的外延 对学生理解巩固知识 形成解题 策略和提高数学素养都具有非常典型的作用 和潜在的教育价值 新课程主张要改变学生的 学习方式和教师的教学方式 要求把学习的时 间还给学生 提倡探究启发教学 这还得依靠 我们教师深入挖掘教材 再者 教材的例习题 不仅是课堂教学时呈现给师生的一类样板范 例 也历来都是高考命题 选题的参照典范 很 多高考题正是由教材中的例习题改编而来 有 些甚至就是原题 高三复习之回归课本的出 发点不就是如此吗 我们为何放着眼前的宝 贵资源不用 偏去找些编写良莠不齐 审核又 不严格的商品世界的俗物呢 所以 如何挖掘课本例习题的潜在价值 是我们教学过程中值得深刻研究的课题 反 思我们的教学 我们真的做得不够不细不深 我想 我们的数学教师应该勤于思考 敢于思 考 乐于思考 必须深入探究每一道习题 充 分挖掘其内在的数学思想与方法 发挥典型 习题应有的功能与价值 只要我们还有这种 热情 我们就能调动学生的学习积极性 提高 学生的思维品质 就能培养出具有刨新精神 和实践能力的合格人才 同时教师自己也不 断巩固和加深了专业知识的学习 可谓教学 相长 一举多得啊 收稿日期 2 0 1 4 0 2 2 8 上接第2 6 页 4 3 加强对学科动态的学习研究探索 想让学生获得一杯水 教师得具备一桶 水 教师必须积累储备足够的研究方法 探索 资源 并加以合理的配置 在教学活动中 游 刃有余 对学生给予高屋建瓴的指导和建议 同时 只有教师具备了基本的研究问题 探究 问题的意识和素养 才能自然而然的对学生 产生潜移默化的影响和熏陶 结语我们的新课程标准不断对教师提 出越来越来高的要求 我们的教材内容不断 向更高等的领域拓展 高考对学生能力的考 察日益凸显