湖北省荆州市沙市第五中学高三数学二轮总复习 第四讲 推理与证明学案.doc

第四讲推理与证明考点一：合情推理问题1归纳推理(1)归纳推理是由某类事物的_具有某些特征，推出该类事物的_具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出_的推理(2)归纳推理的思维过程如下：2类比推理(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理(2)类比推理的思维过程如下：考点二：演绎推理问题1“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般性原理(2)小前提所研究的特殊情况(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断2合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确考点三：直接证明问题1综合法用p表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：2分析法用q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： 得到一个明显成立的条件 考点四：间接证明问题 反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如下图所示的框图表示表示条件p 否定结论 - 导致逻辑矛盾 - “既p又q“ 为假 - “若p则q”为真考点五：数学归纳法数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行：(1)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立；(2)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时，命题也成立考点自测1. (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测： b2 012是数列an中的第_5 030_项；b2k1_(用k表示)(2)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：（“夹在两个平行平面之间的平行线段相等”，）这个类比命题的真假性是 （真命题）2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.”这段推理的结论显然是错误的，这是因为(a)a大前提错误b小前提错误c推理形式错误 d非以上错误3对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ab中至少有一个成立；ab，bc，ac不能同时成立其中判断正确的个数是( c)a0个b1个c2个d3个4用反证法证“至多有两个解”，应假设(c )a有一个解 b有两个解c至少有三个解 d至少有两个解高考热点突破突破点1 合情推理例1.观察下列等式n2n，2n3n2n，3n4n3n2，4n5n4n3n，5n6n5n4n2，6n7n6n5n3n，kak1nk1aknkak1nk1ak2nk2a1na0.可以推测，当k2(kn*)时，ak1，ak，ak1_，ak2_.思路点拨：当k2,3,4,5,6时，写出ak1，ak2的值，通过观察归纳可得解析：当k2时，a1，a00；当k3时，a2，a10；当k4时，a3，a20；当k5时，a4，a30；当k6时，a5，a40；由此可得：ak1，ak20.答案：0规律方法：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论.跟踪训练1观察下列不等式：1，1，10且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn*)证明：对任意的nn*，不等式 成立思路点拨：(1)由snbnr求an，再由a2ba1求r. (2)转化所证不等式，利用数学归纳法证明解析：(1)由题意，snbnr.当n2时，sn1bn1r.ansnsn1bn1(b1)，b0且b1，n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，b，r1(2)由(1)知当b2时，an2n1，bn2n(nn*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk(kn*，k1)时结论成立即，由当nk1时，.要证当nk1时结论成立，只需证 ，即证，成立，故 成立所以当nk1时结论成立由可知nn*时，不等式成立规律方法：(1)在用数学归纳法证明第(2)问时，涉及不等式的放缩和均值不等式的应用，证明过程中对式子的变形方向应非常清晰(2)在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确nk1时证明的目标，充分考虑由nk到nk1时，命题形式之间的区别和联系，并且在递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法跟踪训练4已知点pn(an，bn)满足：an1anbn1，bn1，nn，且已知p0.(1)求过p0，p1的直线l的方程；(2)判断点pn(n2)与直线l的位置关系，并证明你的结论解析：(1)由p0知a0，b0，得b1，a1，b1.点p1.过点p0，p1的直线l的方程为xy1.(2)由a1，b1，得b2，a2b2，p2l.猜想点pn(n2)在直线l上，证明如下： 当n2时，点p2l.假设当nk(k2，kn*)时，点pkl，即akbk1.当nk1时，ak1bk1akbk1bk1(1ak)bk11.点pk1l.由知，点pnl(n2)小结反思1归纳、类比推理是根据个别事实，通过分析提出猜想的推理，