24届高数竞赛.doc

中国石油大学（华东）第二十四届高等数学竞赛试卷 专业年级： 学 号： 姓 名： 成 绩： 页 号一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。中国石油大学（华东）教务处、数学学院主办基础数学系承办2010年6月6日一、填空题（每小题4分，本题共20分）： 本页满分40分本页得分1、 。2、设，则= 。3、设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分_ _，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。 4、设，则= 。5、 。二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1、( ) 2、 ( )3、方程的根的个数 ( ) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 34、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是( )(A)(B)(C)0(D)15、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分( ) (A) ab(B) 0(C) a+b2(D) ab2本页满分14分本页得分三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：1、设二阶连续可微，且，试确定，使曲线积分与路径无关。2、计算表达式 本页满分14分本页得分3、设，计算积分4、设连续，且满足，计算积分本页满分14分本页得分5、 计算二重积分，其中D是由直线及上半圆周所围成的区域. 6、 计算，其中L是圆周沿正向从点到点的一段圆弧.本页满分12分本页得分四证明题：（每小题6分，本题共18分）：1、设在0，1上连续，且。证明在（0，1）内至少存在一点，使得。2、设连续，且，证明：在内至少有一个零点。本页满分6分本页得分3、 证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量(密度=1)为其中是连续的正值函数.中国石油大学（华东）第二十四届高等数学竞赛试题答案一、填空题（每小题4分，本题共20分）：1、 。2.设，则= 0 。3.设L为沿抛物线y=x2上从点(1，1)到点(2，4)的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分 可化成对弧长的曲线积分_，其中P(x,y)和Q(x,y)是在L上的连续函数。 4.设，则= 0 。5、。二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1、( C ) 2、(A)3、方程的根的个数(B) (A)0 (B) 1 (C)2(D) 34、若曲线在对应于点处的切线与平面交角的正弦值是(A)(A)(B)(C)0(D)15、设C表示椭圆，其方向为逆时针方向，则曲线积分 (B) (A) ab(B) 0(C) a+b2(D) ab2三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：1、设二阶连续可微，且，试确定，使曲线积分与路径无关。解 由曲线积分与路径无关的条件得即积分两次得代入条件，得故所求函数为：2、计算表达式解 3、设，计算积分解 4、设连续，且满足，计算积分解 在中令，有在中令，则从而5、 计算二重积分，其中D是由直线及上半圆周所围成的区域.解 积分域D如图所示，可表示为，则. 6、 计算，其中L是圆周沿正向从点到点的一段圆弧.解 ，积分与路径无关，选折线段为积分路径. .四证明题：（每小题6分，本题共18分）：1、设在0，1上连续，且。证明在（0，1）内至少存在一点，使得。证明：设：F（x）=x,x(2分)F（x）在0，1连续，（0，1）可导，且F（0）F（1）0由罗尔定理：即：2、设连续，且，证明：在内至少有一个零点。证明：由积分中値定理，存在使得因，所以，于是存在使得，同理存在使得，由零点定理存在，使得3、证明:由及轴所围的平面图形绕轴旋转一周所