(必修2)：数学(人教A)答案.pdf

书书书 答案与提示 第 章 空间几何体 单元能力测控题 点拨 注意平行四边形包括矩形 点拨 当投影的方向与线段平行时 则线段的平行投影为一点 点拨 设原棱长为 则 点拨 设变化前的圆锥的高为 底 面半径为 变化后的高为 底面半径为 则 点拨 设正四棱柱的底面边长为 高 为 对角线为 解 得 或 或 点拨 用斜二测画法画正方形的直 观图时 一般取一边为平面方向 则与它相邻一 边竖直方向 它与水平方向成 角且其长度为 原来的一半 故它的直观图为平行四边形 点拨 可以想象这个空间几何体是 一个有三个面互相垂直且这三个面交线都为 的三棱锥 其底面积为 体积为 点拨 设圆柱的底面半径为 高为 油 桶 直 立 时 油 面 的 高 度 为 则 点拨 利用侧面展开图 第 题图 点拨 如右图 所示 三棱锥 的顶点看做 底 面看 做 三 棱 锥 的顶点看做 底面看做 三棱 锥 可看做棱台减去两个三棱锥 和 后剩余的几何体 分别求几何 体的体积 然后相比即可 设棱台的高为 则 又 棱台 棱台 所求体积比为 球 正方体等 点拨 设圆锥的底面半径为 母线 长为 则 侧 底 点拨 截去的每个小三棱锥体积为 所以截去部分的体积为 即剩余部分的体积为 点拨 如图所示 设正方形的边长 为 则 槡 解得 第 题图 第 题图 点拨 如上图所示 在正三角形 中 高 槡 槡 形成的是圆锥 形成的是半球去掉 圆锥 形成的是圆柱去掉半球 设正方形的 边长为 三部分旋转所得旋转体的体 积分别为 和 则 所 以 三 部 分 所 得 几 何 体 体 积 之 比 为 第 题图 由三视图知直观图 如右图 则高 槡 底面边长 槡 槡 表面积槡 槡 已知长方体可以看成直四棱柱 设它的底面 的面积为 高为 则它的体积为 而棱锥 的底面 面积为 高是 因此 棱锥 的体积 为 余下的体积是 所以棱锥 的体积与剩余部分的 体积之比为 设全面积为 的圆锥的底面半径为 高为 则 槡 即 槡 圆锥 的 体 积 槡 槡 当 时 取最大值槡 即当 时 取最大值槡 第 题图 如右图所示 建立 模型 设直三棱柱为 破损处为 并 且 则罐内所剩液油的最大值 即为几何体 的 体积 连 接 而 又 故 即最理想的估计是剩下 将三棱锥的侧面展开 如下图乙所 示 要使周长最小 则三边 共线 又 为等腰三角形 为等腰三角形 又 代入上述比例式中得 又 即 周长的最小值为 第 题图 由 知 截面 为等腰三角形 如上图甲所 示 过 作 于 则 槡 槡 槡 槡 即截面三 角形周长最小时截面的面积为 槡 第 章 点 直线 平面之间的位置关系 单元能力测控题 点拨 在 中 表示直线 不 在平面 内 但 可能与 相交 可能在 内 不正确 在 中直线 在平面 内 只 能是 而不能是 不正确 在 中 由 且 可知 点不在直线 上 且 在平面 内 但 点可能是 内直线 外 的点 不正确 在 中 是错的 点 在平面 内只能表述为 不正确 第 题图 点拨 由直线与 平面垂直的定义可知 正确 由直线与平面平行的性质定 理可知 正确 如图所示 在 图中直线 平面 点 于 点 直线 且 则 平面 不正 确 在 中 直线与平面不平行 可能此直线在 平面内 此时平面内一定有无数条直线与此直线 平行 不正确 点拨 以正方体为模型 可知 正确 点拨 四个点在同一平面内的射影 若在一条直线上 则这四个点在同一平面内 故 这四个点所确定的平面是一个 第 题图 点拨 如图所 示 分别是 的中点 故有 瓛 瓛 瓛 则 为平行四边 形 又所有边长均相等 故 此四边形是菱形 取 中点 连接 面 故四边形 为正方形 点拨 验证 垂直于同一条直 线的两个平面互相平行 故不可能垂直 不 正确 验证 平行于同一条直线的两个平面相 交或平行 不正确 再考察 知 正 确 点拨 若 与 都不相交 则 知 与 是异面直线矛盾 点拨 对于 和 应相交 对于 应考虑三个点在 的同侧或异侧两种情况 对于 和 应相交 点拨 槡 设截面面积为 则 槡 槡 点拨 如下图 还原成正方体 可知 正确 第 题图 第 题图 点拨 如上图 在面 内过 作 交 于 连 则 为 的平面角 即 设 则 槡 点拨 如下图 取 中点 连 则 平面 平面 平面 连接 在正方形 中易证 平面 第 题图 第 题图 点拨 如上图所示 设 由 可得 同理 于是 点拨 本题对平行关系的传递 情形作了比较 注意线在面内的可能 或 点拨 本题可通过作棱的 垂面来得到二面角的平面角 已知 直线 平面 直线 平面 求证 证明 过直线 作平面 使 则 平面 平面 第 题图 如右图所示 设 过 可以 确定一个平面 即 又 过 可以确定一个平面 同理可证 都过相交直线 与 重合 即 共面 平面 又 平面 平面 平面 又 平面 平面 面 又 平面 又 平面 在长方体 中 取 的中点 连接 在 中 因为 分别是 的中点 所以 且 则 又因为 是 的中点 且 所以 故四边形 是平行四边形 则 又 平面 平面 于是 平面 连接 因为 平面 所以 是 与平面 所成的 角 在 中 槡 槡 槡 槡 即 与底面 所成角的正切值为 槡 作 交 的延长线于 连接 易证 是二面角 的平面角 在 中 易得 槡 在 中 槡 即二面角 的正切值是槡 如下图所示 延长 交 的延 长线于点 连接 因为 是 的中点 所 以 为 的中点 为 的中点 又 是线 段 的 中 点 故 又 平面 平面 平面 第 题图 如右图所示 连接 交 于 由直四棱柱 可知 平面 又 平面 四边形 为菱形 故 又 平面 平面 在四边形 中 且 所以 四边形 为平行四边形 故 平面 又 平面 平面 平面 由 知 平面 又 平面 因为 故 又由 可知 就是平面 与平面 所成 二面角的平面角或其补角 在 中 槡 故 平面 与平面 所成二面角的大 小为 或 如下图甲所示 是正方形 底面 平面 平面 平面 平面 第 题图 平面 已证 为二面角 的平面角 平面 在 中 槡 槡 为 的中点 槡 由 得 槡 槡 即二面角 的余弦值为槡 如上图乙所示 延长 交于点 平面 为 在平面 内的射影 为 即 与平面 所成 角 在 中 槡 与平面 所成的角的正弦值为 槡 第 章 直线与方程 单元能力测控题 点拨 直线过 点拨 点拨 由两直线垂直得 由交点为 及方程 得 把 代入 得 点拨 槡 就是直线上点到原 点的距离 它的最小值就是原点到直线的距离 点拨 直线 满足两个条件 过 点 在两坐标轴上的截距相等 应 先设法求出截距 看有几组解 从而就确定有几 条 依条件设 的方程为 把点 代入直线方程得 解得 从而得到直线方程为 又当直线的 两坐标轴上的截距为 时 设直线方程为 由题意有 则 直线方程 为 故满足条件的直线方程为 和 因此选 点拨 解法 槡 解得 槡 槡 舍去 所以选 解法 设与 距离为 的直线方程为 槡 槡 故轨迹方程为 槡 将 代入 得 槡 或 槡 由 得 槡 点拨 解法 与 关于 对称 则 上任一点关于 的对称点都在 上 故 与 的交点 在 上 又易知 为 上一 点 设其关于 的对称点为 则 得 即 为 上两点 可得 方程为 故选 解法 由于 与 关于 对称 故 到 的角与 到 的角相等 记为 并设 斜率为 则 即 解得 又因为 过 与 的交点 故 的方程为 选 点拨 把原方程化为 即 或 表示两条平行直线 点拨 点 关于 轴的对称点 为 连 与 轴交于 点 则 槡 槡 点拨 把原方程化为 即恒过点 或 点 拨 设所求的直线方程为 由题意 有 槡 槡 或 点拨 又线段 中点为 直线 方程为 即 点拨 去掉绝对值符号 画出图形 可得所围图形是三角形 或 点拨 设所求 直线的方程为 因为点 在直线上 故 或 点拨 利用过两直线的交点的直线系方程 求解 即 解得 或 把 或 分别代入 与 的方 程 两直线都不重合 故 或 设所求直线与直线 交于 它 关于原点的对称点 且 在直线 上 所求直线方程为 即 联 立 方 程 组 解 得 即点 为平行四边形的一 个顶点 它关于对角线交点 对称的点 为平行四边形中与 相对的顶点 它在 另外两边上 设另外两边分别为 与 将 点 坐 标 代 入 得 平行四边形另两边所在直线方程分别为 与 第 题图 建立如右图所示平面 直角坐标系 则线段 的方 程为 设点 的坐标为 则 公寓占地面积为 当 时 此时 故点 的坐标为 时 公寓的占地面积 最大 最大面积约为 即 又点 在 上 由 得 且 斜率存在 故 和 的方程分别表示为 又 原点到 和 的距离相等 或 或 假设存在符合题意的直线 分两类讨 论 如两个截距都不为零 设 即 再由点 到 的距离为 得 槡 即 槡 槡 或 槡 若截距为零 则 必过原点 设 即 则 槡 化简得 解出 槡 所以 槡 或 槡 综上所述 存在直线 有四条 方程分别 为 槡 槡 槡 槡 第 章 圆与方程 单元能力测控题 点拨 实数 满足 所以 是圆 上的点 记为 又 是直线 的斜率 记为 则 方程为 当直线 与圆相切时 取最 值 所以 槡 槡 得 槡 因此 的 最大值为槡 点拨 依题意 解得 点拨 当过点 的直线在经过 圆心 时 截得的弦长最大 这时直线方 程为 即 点拨 两圆关于直线 对称 即两圆 圆心关于 对称 所以两圆圆心连线的中垂线就 是 点拨 将已知圆化为 可知点 在圆外 所以过点 的切线有两条 点拨 由于圆心到直线 的距离为 所以 槡 于是 以 为三边的三角形是直角三角 形 点拨 设圆心坐标为 由 直线 与圆相切 可得圆心到直线 的距离 槡 解得 或 舍去 故所求的圆的 方程为 即 点拨 过点 向平面 作垂线 垂足为 则 为 和其对称点 的中点 又 所以 点拨 由两点间距离公式得 槡 槡 槡 槡 槡 槡 是以 为顶点的等腰三角 形 点拨 两圆的方程可分别化为 及 圆 心分别为 两者都在直线 上 半径分别为 和槡 所以当两圆的公共 弦恰好为小圆的直径时 两圆的公共弦长取最 大值 这时公共弦长为 点 拨 圆 心 到 直 线 的 距 离 所求圆的方程为 槡 槡 点拨 将两圆的方程分别 化为 所以它们的圆心分别是 半径分别为 槡 当 分别在两圆 上移动时 其长度 的最小值是两圆的圆心之 距减去两圆的半径 即 槡 槡 第 题图 或 槡 点拨 曲线方程 槡 表 示圆 的右半部分 为直线 在 轴上的截 距 如图 当直线与曲线恰有一 个公共点时 易得 的取值范围 是 或 槡 点拨 设动圆圆心坐标为 则 槡 当 时 化简得 当 时 槡 两边平方得 无轨迹 舍 点拨 因 故需设 即需满足 也就是 因而需要联立方程组 将 代入圆方程得 由 得 又 故 即 设圆心坐标为 则圆方程为 点 在圆上 又 即 解 方 程 组 得 槡 槡 或 槡 槡 所以所求圆的方程是 槡 槡 或 槡 槡 解 直线 的方程可写成 令 解得 则直线 经过定点 又圆心 槡 即点 在圆 内部 由平面几 何的垂径定理知 当 与 垂直时 被圆截得的 弦长最短 即 解得 所以当弦长最短时 第 题图 设 为轨迹上 任意一点 过 作 切圆 于 点 连 则 如右图所示 即 整理得 当 即 时 方程化为 是一 条直线 当 即 时 方 程 化 为 方程表示圆心为 半径为 槡 的一个圆 槡 槡 即 化简得 即 满 足关系式 要 最小 即要 最小 过原点 作 的垂线 垂足即为所求点 原方程可化为 又使其表示圆 需有 设 即 又 又由 得 代入 解得 以 为直径的圆的方程为 即 而 故所求圆的方程为 第 题图 如右图所示建立空 间直角坐标系得 过 作 于 在 中 槡 槡 所以 槡 槡 槡 所以 槡 由三角形的相似可得 槡 所以 点的坐标为 则 点的坐标为 所以 槡 槡 所以 两点之间的距离为槡 综合测试题 点拨 显然不正确 对于 若每 三点都共线 则 和 都在直线 上 与条件矛盾 故 正确 作图可知 不正 确 点拨 同理 点拨 设 在水平线上 在斜二 测图 中 作 轴 交 于 使 在 延长线上 是钝角三角形 点拨 点拨 设 的倾斜角依次为 由图可知 且 故选 点拨 已知圆的方程可化为 要使其都在 轴右侧 应满 足 但 否则不表示圆 点拨 直线方程可化为 所以它经过定点 而点 在圆 的内部 故不论 取何 值 直线与圆总相交 点拨 由题意有 槡 点拨 由数形结合 圆心为 直线过原点 切 于 则这条直线的倾斜 角为 点拨 设四边形 的面积为 棱 到面 的距离为 则三棱柱的 体积为 由题意得 根据棱锥 的体积公式及平面几何知识 即可求得 或 点拨 设直线方程为 由题意圆心到直线 的距离 槡 槡 槡 槡 解得 或 点拨 过 的所 有直线中 与原点距离最远的是与 垂直的直 线 设所求直线斜率为 由 得 所求直线方程为 即 点拨 点的坐标为 为 的中点 点拨 直线化为 当 即 且 时 直线 经过点 槡 槡 点拨 且圆 的半径 大 于圆 的半径 两 圆 圆 心 距 满 足 即有 槡 解得 槡 槡 设所求圆的方程为 点 在圆上 又知该圆与 轴相切 由 得 由 消去 可得 由题意知方程 有唯一解 当 时 当 时 由 可得 此时 综上可知 的值为 或 当 时 圆的方程为 当 时 圆的