高考数学一轮复习 第十一章 推理与证明 11.2 分析法、综合法与反证法课件.ppt

高考数学 江苏省专用 11 2分析法 综合法与反证法 考点一直接证明 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 1 2016浙江理 20 15分 设数列 an 满足 1 n n 1 证明 an 2n 1 a1 2 n n 2 若 an n n 证明 an 2 n n 证明 1 由 1得 an an 1 1 故 n n 所以 n n 均有 an 2 取正整数m0 lo且m0 n0 则 2 与 式矛盾 综上 对于任意n n 均有 an 2 思路分析 1 要证 an 2n 1 a1 2 成立 只需证明 2 经过推理可导出矛盾 从而证明原结论 评析本题主要考查数列的递推关系与单调性 不等式性质等基础知识 同时考查推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 2 2013湖北理 22 14分 设n是正整数 r为正有理数 1 求函数f x 1 x r 1 r 1 x 1 x 1 的最小值 2 证明 nr 3 设x r 记 x 为不小于x的最小整数 例如 2 2 4 1 令s 求 s 的值 参考数据 8 344 7 8 350 5 12 618 3 12 631 7 解析 1 因为f x r 1 1 x r r 1 r 1 1 x r 1 令f x 0 解得x 0 当 10时 f x 0 所以f x 在 0 内是增函数 故函数f x 在x 0处取得最小值f 0 0 2 证明 由 1 知 当x 1 时 有f x f 0 0 即 1 x r 1 1 r 1 x 且等号当且仅当x 0时成立 故当x 1且x 0时 有 1 x r 1 1 r 1 x 在 中 令x 这时x 1且x 0 得 1 上式两边同乘nr 1 得 n 1 r 1 nr 1 nr r 1 即nr1时 在 中令x 这时x 1且x 0 类似可得nr 且当n 1时 也成立 综合 得 nr 3 在 中 令r n分别取值81 82 83 125 得 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 12 12 12 12 将以上各式相加 并整理得 12 8 s 12 8 代入数据计算 可得 12 8 210 2 12 8 210 9 由 s 的定义 得 s 211 考点二间接证明1 2014山东改编 4 5分 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 答案方程x3 ax b 0没有实根 解析因为 方程x3 ax b 0至少有一个实根 等价于 方程x3 ax b 0的实根的个数大于或等于1 因此 要做的假设是方程x3 ax b 0没有实根 2 2013北京理 19 14分 已知a b c是椭圆w y2 1上的三个点 o是坐标原点 1 当点b是w的右顶点 且四边形oabc为菱形时 求此菱形的面积 2 当点b不是w的顶点时 判断四边形oabc是否可能为菱形 并说明理由 解析 1 椭圆w y2 1的右顶点b的坐标为 2 0 因为四边形oabc为菱形 所以ac与ob相互垂直平分 所以可设a 1 m 代入椭圆方程得 m2 1 即m 所以菱形oabc的面积是 ob ac 2 2 m 2 假设四边形oabc为菱形 因为点b不是w的顶点 且直线ac不过原点 所以可设ac的方程为y kx m k 0 m 0 由消y并整理得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 设a x1 y1 c x2 y2 则 k m 所以ac的中点为m 因为m为ac和ob的交点 所以直线ob的斜率为 因为k 1 所以ac与ob不垂直 所以oabc不是菱形 与假设矛盾 所以当点b不是w的顶点时 四边形oabc不可能是菱形 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏南通期中 命题 如果数列 an 的前n项和sn 2n2 3n 那么数列 an 一定是等差数列 是命题 填 真 或 假 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 30分钟分值 40分 答案真 解析当n 2时 sn 1 2 n 1 2 3 n 1 an sn sn 1 4n 5 当n 1时 a1 s1 1符合上式 an 1 an 4 n 1 5 4n 5 4 n 1 an 是等差数列 2 2017江苏徐州教学情况调研 已知点an n an 为函数y 图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 答案cn 1 cn 解析由题意得cn an bn n cn随n的增大而减小 cn 1 cn 3 2016江苏镇江中学期中 14 设函数y 的图象上存在两点p q 使得 poq是以o为直角顶点的直角三角形 其中o为坐标原点 且斜边的中点恰好在y轴上 则实数a的取值范围是 答案 解析由函数图象及线段pq的中点恰好在y轴上 可得a 0 且点p q分别在两段图象上 所以可设p x x3 x2 q x alnx x e 因为 poq是以o为直角顶点的直角三角形 所以 即 0 故有 x2 alnx x3 x2 0 整理得a x e 当x e时 所以a 4 2015江苏赣榆一模 7 设a b是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的是 答案 解析 中当a b 时 a b 1 而a b2 显然 不能 中当a b 2时 ab 1 显然 不能 只有 能 故填 二 解答题 共20分 5 2017江苏扬州 泰州 南通 淮安 宿迁 徐州六市二模 20 设数列 an 的前n项和为sn n n 且满足 a1 a2 r n p sn 1 n2 n an n2 n 2 a1 其中r p r 且r 0 1 求p的值 2 数列 an 能否是等比数列 请说明理由 3 求证 当r 2时 数列 an 是等差数列 解析 1 n 1时 r 1 p a1 a2 2a1 2a1 其中r p r 且r 0 a1 a2 1 p 0 解得p 1 2 不能 假设 an 是等比数列 设公比为k k 1 由 1 得r n 1 sn 1 n2 n an n2 n 2 a1 当n 2时 rs3 6a2 当n 3时 2rs4 12a3 4a1 r 1 k k2 6k r 1 k k2 k3 6k2 2 联立解得r 2 k 1 不合题意 舍去 因此数列 an 不能是等比数列 3 证明 r 2时 2 n 1 sn 1 n2 n an n2 n 2 a1 2s3 6a2 4s4 12a3 4a1 6s5 20a4 10a1 即a1 a3 2a2 a2 a4 2a3 a3 a5 2a4 假设数列 an 的前n项成等差数列 设公差为d 则2 n 1 n2 n a1 n 1 d n2 n 2 a1 整理化简得an 1 a1 n 1 1 d 因此第 n 1 项也满足等差数列的通项公式 综上可得 数列 an 成等差数列 思路分析 1 n 1时 r 1 p a1 a2 2a1 2a1 其中r p r 且r 0 由 a1 a2 可解得p 2 假设 an 是等比数列 设公比为k k 1 由 1 可得r n 1 sn 1 n2 n an n2 n 2 a1 求出当n 2和n 3时的式子 将两式转化为含r和k的式子 联立可解得r k 即可得出结论 3 r 2时 2 n 1 sn 1 n2 n an n2 n 2 a1 可得2s3 6a2 4s4 12a3 4a1 6s5 20a4 10a1 可化为a1 a3 2a2 a2 a4 2a3 a3 a5 2a4 假设数列 an 的前n项成等差数列 设公差为d 利用已知得出an 1 即可证明 6 2015江苏新海期中 已知 abc的三个内角a b c成等差数列 且a b c所对的边分别为a b c 求证 1 证明要证题中等式成立 只需证 1 即证bc c2 a2 ab ab b2 ac bc 即证c2 a2 b2 ac 0 而三个内角a b c成等差数列 a c 2b b 60 b2 a2 c2 ac 故题中等式成立 一 填空题 每题5分 共5分 1 2015江苏苏锡常镇一模 7 分析法又称执果索因法 当用分析法证明 若a b c 且a b c 0 则 a 时 索的因应是 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 60分钟分值 75分 答案 a b a c 0 解析0 a c 2a c 0 a c a b 0 二 解答题 共70分 2 2017南京 盐城第二次模拟考试 设a b 求证 a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 证明a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 a2 b2 2 4ab a2 b2 4a2b2 a2 b2 2ab 2 a b 4 因为a b 所以 a b 4 0 所以a4 6a2b2 b4 4ab a2 b2 思路分析利用作差法证明不等式成立 3 2017江苏扬州 泰州 南通 淮安 宿迁 徐州六市联考 19 已知函数f x g x lnx 其中e为自然对数的底数 1 求曲线y f x g x 在x 1处的切线方程 2 若存在x1 x2 x1 x2 使得g x1 g x2 f x2 f x1 成立 其中 为常数 求证 e 3 若对任意的x 0 1 不等式f x g x a x 1 恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 因为y f x g x 所以y 当x 1时 y y 0 所以曲线y f x g x 在x 1处的切线方程为y x 1 即x ey 1 0 2 由g x1 g x2 f x2 f x1 得g x1 f x1 g x2 f x2 记p x g x f x lnx 则p x 假设 e 若 0 则p x 0 所以p x 在 0 上为单调增函数 又p x1 p x2 所以x1 x2 与x1 x2矛盾 若0 x0时 r x 0 r x 在 x0 上为单调增函数 当0 x x0时 r x 0 r x 在 0 x0 上为单调减函数 所以r x r x0 1 ln 0 所以p x 0 所以p x 在 0 上为单调增函数 又p x1 p x2 所以x1 x2 与x1 x2矛盾 综合 可知 假设不成立 所以 e 3 由f x g x a x 1 得lnx aex x 1 0 记f x lnx aex x 1 00 所以f x 0 所以f x 在 0 1 上为单调增函数 所以f x f 1 0 故原不等式恒成立 当a 时 一方面 f 1 1 ae0 所以 x0 x1 1 使f x0 0 所以当x0f 1 0 不合题意 综上 a 思路分析 1 求出函数的导数 计算x 1时y 和y的值 从而利用点斜式写出切线方程 2 令p x g x f x lnx 假设 e 利用导数的性质 通过对 的范围进行讨论 求出函数的单调区间 从而证明结论 3 令f x lnx aex x 1 则可转化为f x 0在 0 1 上恒成立 从而根据函数的单调性求出a的范围 4 2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 一 20 已知n为正整数 数列 an 满足an 0 4 n 1 n 0 数列 bn 满足bn 1 求证 数列为等比数列 2 若数列 bn 是等差数列 求实数t的值 3 若数列 bn 为等差数列 其前n项和为sn 对任意的n n 均存在m n 使得8sn n2 16bm成立 求满足条件的所有整数a1的值 解析 1 证明 由4 n 1 n 得 结合an 0 所以 2 因此 2 所以是以a1为首项 2为公比的等比数列 2 由 1 得an a12n 1 则bn 若数列 bn 是等差数列 则2b2 b1 b3 则2 即 则t2 16t 48 0 解得t1 4 t2 12 当t 4时 bn 则bn 1 bn 所以数列 bn 是等差数列 符合题意 当t 12时 bn 则b2 b4 2b3 2 因为b2 b4 2b3 所以数列 bn 不是等差数列 t 12不符合题意 综上 若数列 bn 是等差数列 则实数t的值为4 3 由 2 得bn 因为对任意的n n 均存在m n 使8sn n2 16bm成立 则8 n2 16 所以m 当a1 2k k n 时 m k2n 符合题意 当a1 2k 1 k n 时 当n 1时 m k2 k 不符合题意 综上 当a1 2k k n 时 对任意的n n 均存在m n 使8sn n2 16bm成立 5 2016江苏扬州中学质检 20 已知数列 an 为等差数列 a1 2 an 的前n项和为sn 数列 bn 为等比数列 且a1b1 a2b2 a3b3 anbn n 1 2n 2 4对任意的n n 恒成立 1 求数列 an bn 的通项公式 2 是否存在非零整数 使不等式 cos 对一切n n 都成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 3 各项均为正整数的无穷等差数列 cn 满足c39 a1007 且存在正整数k 使c1 c39 ck成等比数列 若数列 cn 的公差为m 求m的所有可能取值之和 解析 1 设数列 an 的公差为d 数列 bn 的公比为q 因为a1b1 a2b2 a3b3 anbn n 1 2n 2 4 n n 所以令n 1 2 3 分别得a1b1 4 a1b1 a2b2 20 a1b1 a2b2 a3b3 68 又a1 2 所以所以 3d2 4d 4 0 所以或经检验d 2 q 2符合题意 d q 6不合题意 舍去 所以an 2n bn 2n 2 由an 2n 得cos cos n 1 1 n 1 设bn 则不等式等价于 1 n 1