§3收敛定理的证明.doc

3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点(2) 较高要求：理解收敛定理的证明(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点(2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题Dini定理 设以为周期的函数在区间上按段光滑, 则在每一点, 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即 ,其中和为的Fourier系数.证明思路: 设对每个, 我们要证明. 即证明 .方法是把该极限表达式化为积分, 利用RiemannLebesgue定理证明相应积分的极限为零.1 写出的简缩形式. .称这一简缩形式为的积分形式, 或称为Dirichlet积分, 2 利用该表示式, 式 可化为 + ,于是把问题归结为证明 , .这两式的证明是相同的, 只证第一式.1为证上述第一式, 先利用三角公式 建立所谓Dirichlet积分 , 利用该式把 表示为积分,即把 表示为Dirichlet积分 .于是又把上述1中所指的第一式左端化为 .2 利用所谓Riemann Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立Riemann Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化为 .3 把上式化为应用Riemann Lebesgue定理的形式, 即令 ,则 .为使最后这一极限等于零, 由Riemann Lebesgue定理, 只要函数在区间上可积. 因此希望存在. 由函数在区间上按段光滑, 可以验证存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论.预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数在区间上可积, 则有Bessel 不等式 ,其中和为函数的Fourier系数.推论1 ( Riemann Lebesgue定理 ) 若函数在区间上可积, 则有 , .推论2 若函数在区间上可积, 则有 , .预备定理2 若是以为周期的周期函数, 且在区间上可积, 则函数的Fourier级数部分和有积分表示式 .当时, 被积函数中的不定式由极限 来确定.Dirichlet积分: . 证 由三角公式 .三维空间中 则 (1) 将此结论推广到 维空间, 即为若 , 则 对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数 自然应有 这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval等式 ( 或称等式 ) 设可积函数的Fourie级数在区间上一致收敛于, 则成立Parseval等式 .证法一 注意到此时函数在区间可积 , 由Bessel 不等式, 有 .现证对, 有.事实上, 令由一致收敛于,对对, 有 , 因此 ,.即当时有 .令, . 由的任意性, 有 .综上即得所证 .证法二 由一致收敛于, .而 .因此, .由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有= .Parseval等式的意义：设在幺正系下函数的Fourier系数为和 ，可见 ； ； 同理有 ; 其中和为函数的通常Fourier系数.于是 , Parseval等式即成为 .注意到, 就有 ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval等式是无穷维空间中的勾股定理. Fourier级数与三角级数: Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数的Fourier级数 ) 的必要条件为:若三角级数 为Fourier级数, 则数项级数收敛.( 参阅复旦大学编数学分析下册P116117 ). 比如正弦级数是收敛的三角级数(利用Dirichlet判别法), 由级数发散, 正弦级数不是Fourier级数. 例 证明: 当时, 三角级数在R内收敛, 但其和函数在区间上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet判别法, 可得该级数在内收敛. 反设和函数在区间在上( R )可积, 则该三角级数是函数的Fourier级数 . 由于也在上( R )可积 , 则有Bessel 不等式 .即有上式左端的正项级数收敛 . 但由, 矛盾. 可见, 函数在区间在上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier级数.一个三角级数是否为Fourier级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP积分( Symmetric Cesaro Perron积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用 维尔斯特拉斯逼近定理定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数在闭区间 上连续, 则对任意给定的,存在多项式对一切 , 成立 pn(x)f(x) 傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。1798年参加拿破仑的远征军，回国后当了县地方长官。拿破仑垮台后，失去职务，转向数学研究1827年当选为法国科学院院士。他从1800年开始研究热传导181