绕流阻力的斯托克斯修正公式.pdf

第 卷第 工期华南工学院 学报 吕 年 月 绕流阻力的斯托克斯修正公 式 曾英光 提要 本文运用与电磁场进行类比的方法 对 一 阿 3 是运动粘滞系数 如果作用在流体上的单位体积质量力是具势的 则由理论力学可匆 可以写出一势 函数万心 二 犷 二 使得 9 6 几 二一6 二份6 仃万 方1 一 二匕 犷 尹 9 二一 口之 连 或者写成矢量的形式 则有 9 7 4 1一 娜 厅 从而 3 式可以改写成如下的形式 袱知 8 似1 一 2 十 八 利用矢量分析中我们熟知的公式 万 且 二 6 7 7 玄 夕8 于 将 式写成 少 一 3 十 切 十 边 一 2 6争 争 一户 份拭 似 十 护么妙 其中 少 6 二 气 么 巧 3 粉尹1公么 由上式可见 盯干 夕 2 是单位体积质量能 记为 勺即 9 刀 一 3 夕 七1 十 一十一 针6 户 3 而有 对 台 式两边施加 得 9 脚 6 6 姆二 9 八少 6 7 运算 并利用 式及 滋 召 5 钾爹 一 户 7 二 姓 刀一 刀司 么君1 1 梦 多十 分 八 卜粉 仑 基 本假 一 定 6钾 从 直观上看 方程 中的 与 应该有某种算符上的联系 并且 应 该是线性 期 浇流阻力的斯托克斯修正公式 的 基于这 一论点 作如 下 的假设 9 一 7少 久 1 叻 其中几是 一算子 叻是一未知函数 对方程的两边施加 运算 便可得 乙 久公 1 1 算子 几与 并不是 可以对易的 然而 就某种物理意义 上 说 我们总是力求使问题具 有更大的简洁性和清晰性 从这一论点出发 考虑最简单的情形 即假设几是一常数 而有 9 份 久 别二 这 就是简化了的线性 一 凡刁 丈二 艺 积分一次后得 刁 名4 久刁41 因为在 无限远处的速度为一常数 听以它的导数为零 从而有 9 因此在球座标系中有 以 犷 乙 一厂一 刁于 刁才1 3 令元1 由 3 式 可解得沂 尸 9 一次积分后得出 9 令 二亡正 4 十一6二 一 33 二次积分 后得 了 二 声 声 一 一 十 犷 艺 冬 卜 了 户 了4 常数 的引入是 无关紧要的 因为引进速度中的只 是 一立 二 式后经过简单计算 就可分别给出 9 9一 9 李 9 9 一 粤飞 9 育 公七 夕 佗 一盆二 亡口 3 无 丫 9 一 如争 山卜巾 争 一 竹 孔 韶 十龙 十双 3 口 一 3 一 公 1 1 才 9 一 补 期 绕流阻力的斯托克斯修正公式 其中 可依边界条件定出 9 5 二 了 二 气 一 忿 白 1 一 式 一二二 33 3 式 353 对 于速度 9 可写出在球座标系中的分量 式为 9 39 去 一 佘丫 一 癸 二 左 9一 十 牛 一共 了 十 小 6 6一 3 1 3 丫无叮夕 下 面给 出张量的分量 表达式 其中除可 可 哪 之外 其余分量都为零 拼 二 3刀 不 一 7 1 粉 口 卜一了 一引 气 一气 一 一一9 一了 下 仁 下 3此 尤 一 一 4 口夕 夕 口 二 了几 一 6 二1一 十一二 一 一 万 犷 日 了 产 3 0 3 了 了 护 月 二 粤 一 0 一 6 1 丁 乙 叻 于是 3 式可表为如下的形式 矛二 一 户 十 丁户沙 乙 一 6申 一巾 几公 刃刁 岁 下 面仅考虑价1 几1 二 的情形 方程 现在变为 9 4 二一 口 6 万户 十 么9 祥 刁万 3 将 代入 3 式 可得 丁 夕 乙 1 1 刃 刁厂 4 刀 刁 4 无 刁4 万住才 件 因为刁 丁 无 刁4二 所以 由此得 9 2 乞 丁2 乙 1 刀 刁4 无 4 户 了 十 音 名二 乙 办 兮 艺 户 刃 必9 了一无 么 4 以 丁2 专 是 尤限远处流体的 能量密度 乙 表达式为 代入 厂 后 即得流体 能鼠密度的最 口 一 一 月 尤 一 二 艺 1 气2 二2 了 左 式 就可以确定流体压力 常数 一 的估计 因为功二 所以 可用下式进行估计 9 6 一 一 少 1 显然 由上式求得的 对整个空间而言并不是常数 与假定矛盾 这可归因 于对 一0 期 绕流阻力的斯托克斯修正公式 方程的线性化 解决的办法是 9 让 9 5 最后可求得 9 夕1 再引进一修正系数 甲 十 丁 一 十一一气二6 要 艺 口双大 0 定义雷诺数如下 二 兰 则 0 式可写为 9 了一而一 一 七1 一 一以一 一二 7 6 允 5 5 利用 上面求得的公式可以计算流体对球施加的 总压力 资显然力声 的方向与速度育 方向相同 取球面坐标的极轴在速度 的方向上 由于对称性 仅有 9 两变量 流体施于球体表面上 的单位面积 的力的绝对值由下式给定 2 1 一 9 1 一 气 将上 式给 定的分量投 影到了的方向上 即得 9 一 一 一 一 积分遍及整个球面 由式 3 及 可得在球面上 9 1 号 抚一 专 小 1 告 二 一 5 音 5 音 一 香十 一 式 代入 得 9 3 厂 1 万刀 式 十爪一十 一日一 十一6 二二6一 式 尽 七 友 一 一 一 一 才 呵 了 十 洲 八矿 八 火 翻丽一 十 各 5 6 止兰 7 5 2 5 拉普拉斯算子 二 价 口 分 夕 3 一丁甲 9 口万 万 口 3 口 3 一二甲了6 一二厂不一 一 万 6 口 口 之 口 3 梯度算子 分口4 价口4 寸口4 丁二3 二 十 二一七6 二一 口岁 口3 散度算子 了 二 卫生 十 7 旦生 口 刀 口 口之口 1 3 其中采用 了爱因斯坦 的求和约定 9 指标重复一次 表示连续求和三次 6 一 响 8 6 口 公 1 沙劣 6 万竹6 口 约 一 口 夕 口 之 6知 夕 口之 今 口 一 曲 6 尹 一 今 夕口 一 褪 户 一 户 叭 侧 一 由 施度算子 9 7知 公1 参考