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数学分析教案 第十一章 反常积分 2 无穷积分的性质与收敛判别法教学目标：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法(1) 基本要求：掌握无穷积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法教学建议：(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分的敛散性(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题(3)举例说明：当收敛时，不一定有，由此使学生对柯西准则有进一步的理解教学过程：一、无穷积分的性质: 在区间 上可积 , Const , 则函数在区间 上可积 , 且 . 和在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 且 . 无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译 )定理 积分 收敛 . 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 。二、无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有. 非负函数无穷积分敛散性记法. 比较判敛法: 设在区间 上函数和非负且，又对任何, 和在区间 上可积 . 则 , , 时, , 时, . ( 证 ) Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下 0 )对任何, , 且, . ( 证 )例2、 讨论以下无穷积分的敛散性 : 1P324 E6 其他判敛法: Abel判敛法: 若在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间 上有界 ，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例3、讨论无穷积分与的敛散性. 1P325 E7例4、 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . 1P326 E8例5、 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果
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